江西省抚州市黎川县黎川一中片区八校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

数学试卷一、填空题（每题3分，共18分）1.近年来，中国自主品牌的发展取得了举世瞩目的成就．在以下国家核电、中国高铁、中国航天、中国华能这四个企业标志中，（）是中心对称图形．A. B. C. D.答案：A解析：详解：解：A.是中心对称图形，该选项符合题意；B.不是中心对称图形，该选项不符合题意；C.不是中心对称图形，该选项不符合题意；D.不是中心对称图形，该选项不符合题意．故选：A．2.如图，，，以下能作为与全等的依据是（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：∵，∴在和中，，∴，故选：C．3.在下列不等式组中，无解的是（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：A.的解集为，不合题意；B.的解集为，不符合题意；C.的解集为，不合题意；D.无解，符合题意；故选：D．4.如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（）A.绕点C逆时针旋转90度 B.沿AB的垂直平分线翻折C.绕AB的中点M顺时针旋转90度 D.沿DE方向平移答案：C解析：详解：解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，∴∠DBC=∠ECA，∴，∴BD=CE，CD=AE，A、绕点C旋转后，CD与AE不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项A不符合题意；B、△BDC与△ACE不关于AB的中垂线对称，则沿AB的中垂线翻折后BD与AE不重合，故选项B不符合题意；C、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项C符合题意；D、先沿DE方向平移△BDC，使点E与点D重合后，BD与AE不重合，故选项D不符合题意；故选：C．5.如图，直线与(且k，b为常数）的交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：由图象可知：的解集为；故选B6.如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，且点E在△ABC内部，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE，②CE⊥DE，③BD=AF，④，其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：D解析：详解：解：∵AD为ABC的高线，

∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，

∵RtABE是等腰直角三角形，

∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，

∴∠CBE+∠BAD=45°，

∴∠DAE=∠CBE，

在DAE和CBE中，

∴ADE≌BCE（SAS）；

故①正确；

②∵ADE≌BCE，

∴∠EDA=∠ECB，

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠ECB=90°，

∴∠DEC=90°，

∴CE⊥DE；

故②正确；

③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，

∴∠BDE=∠AFE，

∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，

∴∠BED=∠AEF，

在AEF和BED中，

∴AEF≌BED（AAS），

∴BD=AF；

故③正确；

④∵AD=BC，BD=AF，

∴CD=DF，

∵AD⊥BC，

∴FDC是等腰直角三角形，

∵DE⊥CE，

∴EF=CE，

∴S△AEF=S△ACE，

∵AEF≌BED，

∴S△AEF=S△BED，

∴S△BDE=S△ACE．

故④正确；

综上①②③④都正确，故选D．二、填空题（每题3分，共18分）7.点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为________．答案：解析：详解：解；∵点与点B关于原点中心对称，∴点B的坐标为，故答案为：．8.用反证法证明“”时，首先应假设__________．答案：##解析：详解：解：∵与相反的全部结果就为∴用反证法证明“”时，首先应假设故答案为：9.如图，等腰三角形ABC中，，，于D，则等于_________．答案：解析：详解：解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．10.一组学生在校门口拍一张合影，已知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都得到一张照片，每人平均分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学至少有______人．答案：6解析：详解：详解：设参加合影的同学有x人，根据题意可得：0.6+0.4x≤0.5x，解得：x≥6，∴参加合影的同学至少有6人．故答案为6．11.如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________．答案：8解析：详解：解：如图，连接，∵和都是边长为4的等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，∴的最小值为，故答案为：8．12.在中，，，，过点的直线把分割成两个三角形且交线段AC于点P，使其中只有一个是等腰三角形，则_____________________．答案：3或3.6或1解析：详解：解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5，沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：如图①所示，AB=AP=3；如图②所示，AB=BP=3，且P在AC上时，作△ABC的高BD，则BD==2.4，∴AD=DP==1.8，∴AP=2AD=3.6；如图③所示，CB=CP=4，∴AP=AC-CP=5-4=1；综上所述：AP的值为3或3.6或1，故答案为：3或3.6或1．三、解答题（共84分）13.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．答案：－1≤x＜2解析：详解：解不等式①，得：x＜2解不等式②，得：x≥－1∴原不等式组的解集是：－1≤x＜2在数轴上表示为：

14.如图所示，在中，的平分线交于点垂直平分，（1）求的度数；（2）当时，求的长度．答案：（1）（2）解析：小问1详解：解：∵垂直平分，∴，∴，∵的平分线交于点，∴，∴，∵，∴；小问2详解：解：由（1）得，在中，，，∴，∴，∴在中，，则．15.如图所示，点的坐标为，把点绕坐标原点逆时针旋转后得到点．（1）求点的坐标；（2）若把点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的点落在第四象限，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：小问1详解：解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示：∴，∴，由旋转的性质得，∴，∴，∴，∴，∵点的坐标为，∴，∴点的坐标为，小问2详解：解：∵点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到点，∴点的坐标为，∵点在第四象限，∴，解得，的取值范围为．16.如图在网格中，三角形的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）（1）在图1中，作的平分线，交于点．（2）在图2中，作的平分线，交于点．答案：（1）作图见解析（2）作图见解析解析：小问1详解：解：如图所示：即为所求；小问2详解：解：如图所示：即为所求．17.关于的两个不等式：①与②．（1）若两个不等式的解集相同，求的值．（2）若不等式①的解都是②的解，求的取值范围．答案：（1）；（2）．解析：小问1详解：解：∵，∴，∴；∵，∴，∴．∵两个不等式的解集相同，∴，解得．小问2详解：∵不等式①的解都是②的解，∴，∴，∴，解得．18.如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长．答案：（1）证明见解析（2）解析：小问1详解：证明：于点，于点，，为的中点，，在与中，，，，，，，是等边三角形；小问2详解：解：由（1）知，是等边三角形，，，，，连接，如图所示：则，，，，，，，．19.随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球，两种球的售价分别为篮球每个160元，排球每个120元．（1）若学校从该商店一次性购买篮球和排球共60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？（2）若该商店到厂家批发购进篮球和排球共100个，按售价全部售出，厂家批发价分别为篮球每个130元，排球每个100元，要使商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的，商店有哪几种进货方案？答案：（1）36个（2）商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个解析：小问1详解：解：设学校购买篮球个，排球个，依题意得：，解得，答：学校最多可购买篮球36个．小问2详解：解：设商店到厂家购进篮球个，则排球是个，依题意得：，解得：，因为为整数，所以，59，60，所以商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个．20.阅读：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为3(2)1．若坐标平面上点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}{c，d}{ac，bd}．解决问题：（1）计算：，（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C．再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B．请你在图1中画出四边形OABC；（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P(2,3)，再从码头P航行到码头Q(5,5)，最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．答案：（1）；（2）图见解析；（3）．解析：详解：（1）原式，；（2）点O的坐标为，，即，，即，，即，先描点，再顺次连接点即可得到四边形OABC，如图1所示：（3）由题意得：从点O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即到达点P，则点O到点P的“平移量”为，同理可得：点P到点Q的“平移量”为，即，点Q到点O的“平移量”为，因此有．21.已知一次函数．（1）若关于的方程的解为负数，求的取值范围；（2）若关于的不等式组的解集为，求a，b的值．（3）在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和，直接写出该三角形的面积．答案：（1）（2）a的值为5，b的值为6（3）或解析：小问1详解：解：关于x的方程的解为负数，即的解为负数，解得，∴，解得；小问2详解：∵关于x的不等式组的解集为，即的解集为，解不等式①得：，解不等式②得：，∴，∴，解得，∴a的值为5，b的值为6；小问3详解：∵，当腰为时，底边长为，如图所示，作底边上的高，∴，∴，∴，当腰为6，底边长为时，∴，∴∴，综上所述，该三角形的面积为或．22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD（1）求证：△ABD≌△BCE；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）△DBC是等腰三角形，见解析.解析：详解：解：（1）如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△BAD和△CBE中，，∴△BAD≌△CBE（ASA），（2）证明：∵E是AB中点，∴EB＝EA，∵AD＝BE，∴AE＝AD，∵AD∥BC，∴∠7＝∠ACB＝45°，∵∠6＝45°，∴∠6＝∠7，又∵AD＝AE，∴AM⊥DE，且EM＝DM，即AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．理由如下：∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，∴CD＝BD．∴△DBC是等腰三角形．23.某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？探究一：（1）如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为______探究二：（2）如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，求“等补四