8.4幂级数(部编)课件

8.4幂级数

一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;为定义在区间I上的函数,称收敛,为其收若常数项级数发散,所有为其发散点,发散点的全体称为其发散域.为级数的和函数,并写成在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称定理.(Abel定理)若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=

时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散定理2.若的系数满足1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝∞时,则的收敛半径为说明:据此定理2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此因此级数的收敛半径对端点

x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即三、幂级数的运算定理.设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,因此由和函数的连续性得:而及例8.解:设则而故三、泰勒(Taylor)级数其中(

在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.若函数的某邻域内具有任意阶导数,注：若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:0.例1.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足类似可推出:例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x换成,得将所给函数展开成幂级数.例5.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛例6.将展成解:的幂级数.例7.将展成x－1的幂级数.解:1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当m=–1时一、近似计算四、函数幂级数展开式的应用例1.计算的