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文档简介

§4.3函数的增减性一、函数的单调性与导数符号的关系二、函数单调性的判定法f

(x)>0f

(x)<0一、函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：函数单调增加函数单调减少

函数的单调性与导数的符号有什么关系？f

(x)>0f

(x)<0一、函数的单调性与导数符号的关系观察结果：函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数单调增加函数单调减少f

(x)>0f

(x)<0

定理4.3设函数f(x)在(a,b)内可导。(1)如果在(a,b)内f

(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调增加；(2)如果在(a,b)内f

(x)<0，则f(x)在(a,b)内单调减少。由拉格朗日中值公式，有

f(x2)=f(x1)+f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)。因为f

(x)>0，x2

x1>0，所以

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)>0，即f(x1)<f(x2)，这就证明了函数f(x)在(a,b)内单调增加。说明：

判定法中的开区间可换成其他各种区间。证：只证(1)。在(a,b)内任取两点x1，x2(x1<x2)，二、函数单调性的判定法

例1．确定函数f(x)=x3-3x的单调增减区间。-2-112-2-112Oxyy=x3-3x

定理4.3设函数f(x)在(a,b)内可导，那么(1)如果在(a,b)内恒有f

(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调增加；(2)如果在(a,b)内恒有f

(x)<0，则f(x)在(a,b)内单调减少。

解：f

(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。当x

(-

,-1)时，f

(x)>0，函数f(x)在(-

,-1)内单调增加；当x

(-1,1)时，f

(x)<0，函数f(x)在(-1,1)内单调减少；当x

(1,+

)时，f

(x)>0，函数f(x)在(1,+

)内单调增加。二、函数单调性的判定法

y-2O2-4-224xy=x3注意：

如果在区间(a,b)内f

(x)

0(或f

(x)

0)，但等号只在个别点处成立，那么f(x)在(a,b)内仍旧是单调增加(或单调减少)的。

例2．确定函数y

x3的单调性。所以函数y

x3在区间(

,

)内是单调增加的。且仅当x

0时，y

0，因为y

3x2

0，

解：因为在(1,

)内从而当x>1时，f(x)>f(1)。所以f(x)在[1,

)上单调增加，例3证：例4.24确定函数f(x)=2x3－9x2+12－3的单调区间.解由分别讨论在上述三个子区间内的符号和f(x)的单调增减性,将定义域(+∞,－∞)分为三个子区间:(－∞,1),(1,2),(2,+∞).得x1=1,x2=2.以x1,x2为分界点,区间(－∞,1)(1,2)(2,+∞)+－+f(x)函数f(x)在区间(－∞,1]和[2,+∞)内单调增加;在区间[1,2]内单调减少.例4.25确定函数的单调区间.解由此可知,x1=0时,不存在,x2=2时,区间(－∞,0)(0,2)(2,+∞)+－+f(x)f(x)在(－∞,0)和(2,+∞)内单调增加,在(0,2)内单调减少.例4.26试证明不等式:证令f(x)=x－ln(1+x),由可知,x>0时,f(x)

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