1.4.2正弦函数余弦函数的性质(部编)课件

正弦、余弦函数的性质正弦函数.余弦函数的图象和性质与x轴的交点图象的最高点图象的最低点与x轴的交点图象的最高点图象的最低点图象中关键点简图作法(五点作图法)(1)列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(2)描点(定出五个关键点)(3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,x∈R的图象24-3-99正弦函数.余弦函数的图象和性质---------1-1因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同---------1-1正弦函数的图象余弦函数的图象因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同正弦曲线余弦曲线正弦函数.余弦函数的图象和性质想一想请观察正弦曲线、余弦曲线的形状和位置,说出它们的异同点.它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与y=-1之间。但它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余弦曲线交y轴于点（0，1）.1

正弦函数、余弦函数的图像是有规律不断重复出现的；2

规律是：每隔2

重复出现一次（或者说每隔2k

,k

Z重复出现）3

这个规律由诱导公式sin(2k

+x)=sinx,os(2k

+x)=cosx

结论：像这样一种函数叫做周期函数。

一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数，使得定义域内的每一个

值，都满足那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。二建构问：正弦函数和余弦函数只有一个周期吗？

在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做这个函数的最小正周期.三讨论最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫函数f(x)的最小正周期.(2)周期函数不一定存在最小正周期;反例：常数函数f(x)=c(c为常数）,狄利克雷函数(3)高中阶段涉及的函数的周期，如无特殊说明，均指函数的最小正周期.说明：(1)不是每个函数都是周期函数;注意：1.周期函数x

定义域M，则必有x+T

M,且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)

f(x0)）3.T往往是多值的（如y=sinx2

,4

,…,-2

,-4

,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

正切函数是否是周期函数？若是周期函数，求出它的周期;若不是周期函数,请说明理由.四思考例1：求下列函数的周期解:(1)∵cos(x+2π)=cosx,∴3cos(x+2π)=3cosx

∴函数y=3cosx，x∈R的周期为2π(2)设函数y=sin2x,x∈R的周期为T，则

sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x∵正弦函数的最小正周期为2π

，∴(3)设函数的周期为T，则∵正弦函数的最小正周期为2π

，∴∴函数的周期为4π∴y=sin2x,x∈R的周期为π结论函数及函数（其中为常数，且的周期

练习：求下列函数的周期.结论函数及函数（其中为常数，且的周期

例3

为了使函数在区间[0，1]上至少出现50次最大值，求的最小值.练习：设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈（-1，0）时，f(x)=2x+1,求f(3.5)的值函数的周期性的规律及方法：1：正弦函数余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性所决定的。2；求三角函数的周期常用三种方法：（1)定义法（2）公式法（3）观察法（图像法）函数及函数（其中为常数，且的周期

wp2=Tx6yo--12345-2-3-41

y=sinx(xR)

x6o--12345-2-3-41

y

y=cosx(xR)

定义域值域周期性xRy[-1,1]T=2温故知新正弦、余弦函数的定义域、值域、周期性

正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函数正弦、余弦函数的奇偶性一般的，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)＝-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数。注意：若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？

A

正弦函数的性质-1y1

xo正弦曲线关于坐标原点O对称。

正弦、余弦函数的奇偶性x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函数正弦、余弦函数的奇偶性一般的，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。关于y轴对称

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函数x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性例1：判定下列函数的奇偶性

正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦函数的单调性

y=sinx(xR)增区间为[，]

其值从-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0……

…-1

0

1

0

-1减区间为[，]

其值从1减至-1？？？[

+2k

,

+2k],kZ[

+2k

,

+2k],kZ

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

余弦函数的单调性

y=cosx(xR)

x

cosx

-

……0…

…

-1

0

1

0

-1增区间为

其值从-1增至1[

+2k

,

2k],kZ减区间为，

其值从1减至-1[2k

,

2k+

],kZyxo--1234-2-31

正弦函数的对称性

xyo--1234-2-31

余弦函数的对称性yxo--1234-2-31

函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性1-1时，时，时，时，增函数减函数增函数减函数1-1对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：奇函数偶函数

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

例2

不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：

(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：

又

y=sinx

在上是增函数

sin()<sin()即：sin()–sin()>0cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

解：

cos<cos

即：

cos–cos<0又

y=cosx

在上是减函数从而

cos()-cos()

<0解：

y=2sin(-x)=-2sinx

函数在上单调递减[

+2k,

+2k],kZ函数在上单调递增[

+2k,

+2k],kZ

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

例3

求下列函数的单调区间：

(2)y=2sin(-x)

(1)y=3sin(2x-)

解：单调增区间为所以：单调减区间为函数单调区间的求法;若式子中x的系数是负数，要先利用诱导公式将系数变为正数，再求，对于用整体替换法。最终要将结果写成区间形式函数及函数（其中为常数，且

正弦、余弦函数的定义域和值域例5

求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么？

1

y=cosx+1，x∈R2

y=sin2x，x∈R正弦、余弦函数的定义域和值域例6

直接写出下列函数的定义域：

1

y=

2

y=例7：已知函数（1）求f（x）最小正周期及最值；（2）