江苏省扬州市2023-2024学年八年级上学期期中专题复习勾股定理部分

扬州市八年级上学期期中专题复习勾股定理部分本资料以2023年扬州市各大区县期中考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！一、单选题1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）下列条件中，不能判断（a、b、c为三边，、、为三内角）为直角三角形的是（

）A． B．C． D．2．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）若一个三角形的三边长分别为3，4，4.5，则这个三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形3．（22-23八年级下·黑龙江佳木斯·期中）的三边为且，则（

）A．边的对角是直角 B．边的对角是直角 C．边的对角是直角 D．是等腰三角形4．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边、，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．5．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处,已知∠MPN＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为（

）A．26 B．28.8 C．26.8 D．286．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（

）A． B．C． D．二、填空题7．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝2，则图中阴影部分的面积和为．8．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”．已知米，米，只为少走米的路．9．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为．10．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为．11．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）小明家有一块如图所示的地，其中阴影部分是两个正方形，其他的是两个直角三角形和一个正方形，米，米，小明家打算在阴影部分的土地上种花生，则种花生的面积为米2．12．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图所示，一棵大树在距地的B处折断，着地处A与树根C的距离比着地处A与折断处B的距离少，则原树高为m．13．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知长方体的长，宽，高分别为3cm，4cm，12cm，在其中放入一根细棒，则细棒的最大长度可以是cm．14．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为尺．三、解答题15．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）已知C、B、D在同一条直线上，且，．(1)求证：；(2)若设，，，试利用这个图形验证勾股定理．16．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．(1)求修建的公路的长；(2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？17．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？18．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，作△ACE≌△BCD．（1）求证：AE⊥BD．（2）若AD＝1，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．19．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC．（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．20．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？(2)这片绿地的面积是多少？21．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）公股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边止，顶点C、D重合，连接、．设、交于点G．，，（），．请你回答以下问题：(1)请猜想与的位置关系，并加以证明．(2)填空：=___________（用含有c的代数式表示）(3)请尝试利用此图形证明勾股定理．22．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，将矩形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于点E．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求图中阴影部分的面积．23．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？24．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题做如下探究：【问题背景】如图①，在四边形中，，，探究线段之间的数量关系．小明同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转到处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．【理解图形】（1）在图①中，若，则．【提升应用】（2）如图③，，，若，求的长．（用含a、b的代数式表示）．（3）如图④，，点P为的中点，若点E满足，，点Q为的中点，则．25．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．(1)点运动结束，运动时间______；(2)当点P到边、的距离相等时，求此时t的值；(3)在点P运动过程中，是否存在t的值，使得为等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．26．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，连结AC，CE．（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x．用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？并求出它的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．27．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图1，在中，，，，．将绕点O依次旋转、和构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．(1)请利用图1证明勾股定理；(2)请利用图1说明，并说明等号成立的条件；(3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形中，，．若，则这个四边形的最大面积为__________．28．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．(1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当__________时，与为积等三角形；(2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长；(3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题．①的度数为__________°．②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程．29．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．(1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．30．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．(1)如图，在中，，，，求中边的“中偏度值”；(2)在中，，，边上的高，求中边的“中偏度值”参考答案：1．D【详解】A、∵，∴，是以为直角的直角三角形，不符合题意；B、∵，∴，是以为直角的直角三角形，不符合题意；C、∵，，∴，是以为直角的直角三角形，不符合题意；D、∵，，∴，，，不是直角三角形，符合题意；故选：D．2．A【详解】，不能构成直角三角形，是锐角三角形，故选：A．3．A【详解】解：∵，∴，即，∴边的对角是直角，故选：A．4．A【详解】解：设，将一张直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，，．在中，，则，，整理得：，解得：，即的长为．故选：A．5．B【详解】∵在△MPN中，∠MPN=90°，PM=3，PN=4，∴MN=，∴BC=PM+MN+PN=12，过点P作PE⊥MN于点E，∴S△PMN=MNPE=PMPN，即PE=6，解得PE=，∴矩形ABCD的宽AB=，∴S矩形ABCD=ABBC=.故选B.6．B【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是，故选：B．7．2【详解】解：设两条直角边是a，b，斜边是c，则a2+b2＝22，∵AH2+CH2=AC2,∴AH=CH=b，同理：CF=BF=a，AE=BE=×2=，∴S阴影＝×（a）2+×（b）2+×（）2＝×（a2+b2）+1＝×4+1＝2，故答案为2．8．20【详解】解：在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，则：AC==50m所以少走的路为40+30-50=20m．故答案为20．9．【详解】解：，，，，，，即，则可列方程为，故答案为：．10．9【详解】由题意得，正方形E的面积为2+4=6，则正方形D的面积6+3=9.故答案为：911．25【详解】两个阴影正方形的面积和为（米2）．故种花生的面积为米2．故答案为：．12．18【详解】解：由题意得，，，，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，∴，即原树高为，故答案为：18．13．13【详解】底面的对角线的长=长方体相对两个角的连线=即细棒的最大长度可以是13cm．故答案为：13．14．14.5【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示：设绳索有x尺长，根据题意及所作辅助线，四边形是矩形，则，在中，，，，则102＋（x＋1−5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，故答案为：14.5．15．(1)见详解(2)见详解【详解】（1）证明：，，，又，；（2）解：，，，，梯形的面积，梯形的面积，，即．16．(1)(2)【详解】（1）解：，，，，是直角三角形，，，（）．故修建的公路的长是；（2）解：在中，（），故一辆货车从点到处的路程是．17．【详解】解：设秋千的绳索长为，则，在中，，∴，解得：，答：绳索的长度是．18．（1）证明见详解；（2）BD=．【详解】解：（1）设BD交AE于F，交AC于G∵△ACE≌△BCD．∴∠EAC=∠DBC，∵∠ABC＝∠BAC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-45°-45°=90°，∴∠CGB+∠GBC=90°，∴∠FAG+∠AGF=∠GBC+∠CGB=90°，∴∠AFG=180°-（∠FAG+∠AGF）=180°-90°=90°，∴AE⊥BD．（2）连接DE，∵△ACE≌△BCD．∴AE=BD，CE=CD，∠ACE=∠BCD，∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠BCD-∠ACD=∠BCA=90°，∴△DCE为等腰直角三角形，∴∠EDC=45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDA=∠EDC+∠CDA=45°+45°=90°，在等腰直角△DCE中，CD=CE=3,∴DE=,在Rt△ADE中，AD=1，DE=，∴AE=，∴BD=AE=．19．（1）12；（2）84．【详解】（1），是直角三角形，，；（2），，是直角三角形，则四边形ABCD的面积为，，，即四边形ABCD的面积为84．20．(1)(2)【详解】（1）如图，连接，∵，，，∴，∴，答：居民从点A到点C将少走路程．（2）∵，．，∴，∴是直角三角形，，∴，，∴，答：这片绿地的面积是．21．(1)，见解析(2)(3)见解析【详解】（1）解：证明：（2）解：=故答案为：（3）解：=即22．(1)见解析(2)【详解】（1）∵四边形是矩形，∴，∴，∵折叠，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵四边形是矩形，∴，在中，，∴，解得，，∴，∴．23．（1）3秒；（2）6秒或13秒或12秒或10.8秒；（3）4秒或12秒【详解】解：（1）作PD⊥AB于D，如图1所示：则∠ADP＝∠BDP＝90°，∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝＝8（cm），∵BP平分∠ABC，∴∠PBD＝∠PBC，在△PBD和△PBC中，，∴△PBD≌△PBC（AAS），∴BD＝BC＝6cm，∴AD＝AB﹣BD＝4cm，设PC＝PD＝xcm，则AP＝（8﹣x）cm，在Rt△ADP中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴t＝3，即当t为3秒时，BP平分∠ABC；（2）①若P在边AC上时，BC＝CP＝6（cm），如图2所示：此时用的时间为6秒，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：a、若BP＝BC＝6cm，如图3所示：此时AP＝4cm，AC+AP＝12（cm），即P运动的路程为12cm，所以用的时间为12秒，∴t＝12秒时，△BCP为等腰三角形；b、若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高CD，如图4所示：则BD＝PD，由面积法得：CD＝＝＝4.8（cm），∴BD＝＝＝3.6（cm），∴BP＝2BD＝7.2cm，∴P运动的路程为：AC+AB﹣BP＝8+10﹣7.2＝10.8（cm），∴t＝10.8秒，△BCP为等腰三角形；c、若BP＝CP时，如图5所示：则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC，∴PA＝PB＝AB＝5（cm）．∴P运动的路程为：AC+AP＝8+5＝13（cm），∴时间t为13秒时，△BCP为等腰三角形；∴t为6秒或13秒或12秒或10.8秒时△BCP为等腰三角形；（3）分两种情况：①P、Q没相遇前，当P点在AC上，Q在AB上，如图6所示：则AP＝8﹣t，AQ＝16﹣2t，∴8﹣t+16﹣2t＝12，∴t＝4；②当P、Q相遇后，当P点在AB上，Q在AC上，如图7所示：则AP＝t﹣8，AQ＝2t﹣16，∴t﹣8+2t﹣16＝12，∴t＝12；∴t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．24．（1）；（2）；（3）或【详解】解：（1）在中，，由题意得，，故答案为：。（2）如图，取线段中点O，连接，并延长到E，使得，连接，∵O是线段的中点，，，∴四边形是平行四边形，∵，，，∴是正方形，，，，根据题意结论得：，，∴，∵O是线段的中点，，，，，，，∵，∴；（3）当点E在直线的左侧时，如图，连接，，点P是的中点，，，点Q是的中点，，，，∵，∴由勾股定理可求得：，由题目条件的证明过程可知：，，；当点E在直线AC的右侧时，如图，连接，同理可知：，由勾股定理可求得：，由（2）的结论可知：，∴；综上所述，的长为或．25．(1)(2)(3)存在，或3或或【详解】（1）解：中，，，，，，点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，点运动结束，运动时间（秒），故答案为：；（2）解：当点P到边、的距离相等时，平分，如图，过作于，平分，，，，，设，则，在中，，，解得，，，；∴当点P到边、的距离相等时，的值为；（3）解：根据题意，可分四种情况：①如图，当在上且时，，而，，，，是的中点，即，；②如图，当在上且时，；③如图，当在上且时，过作于，则，中，，，；④如图，当在上且时，，．综上所述，当或3或或时，为等腰三角形．26．（1）；（2）C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小，最小值为13；（3）10【详解】（1）在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB=3，DE=2，BD=12，CD=x，则BC=，AC+CE=；（2）如图1所示：C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小，过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=3，AF=BD=12，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE=；（3）如图2所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，DB=8，连接AE交BD于点C．设CD=x，则BC=，∵AE=CE+AC=，∴AE的长即为代数式的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=4，AF=BD=8．在Rt△A