福建省厦门市集美区2023-2024学年下学期八年级期末数学综合练习

数学试题第页（共6准考证号：___________姓名：__________（在此卷上答题无效）2023—2024学年第二学期八年级期末综合练习数学本试卷共6页．满分150分．注意事项：1．．码名．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．可以直接使用2B铅笔作图．一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．数据2，3，4，5，5的众数是A.3B.3.8C.4D.52．下列二次根式中，最简二次根式是图1A.eq\r(4)B.eq\r(9)C.eq\r(3)D.eq\F(1,eq\r(3)) 图13．如图1，在□ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是A.70° B.110° C.120° D.140°图24．下列计算正确的是 图2A.eq\r(3)×eq\r(4)＝eq\r(7)B.eq\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)C.eq\r(18)－eq\r(8)＝eq\r(10)D.（eq\r(2)）2＝25．如图2，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D，E在l2上，若图3∠CAE＝∠ADE＝90°，则下列线段的长度是l1到l2图3A.ACB.AEC.ADD.BE6．如图3，四边形ABCD是正方形，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，E是边AD的中点，F是边AB的中点，点G在边BC上，且BG＜CG，则点E关于直线l的对称点可能是A.点GB.点FC.点CD.点D7．某校举办诗歌朗诵比赛，评委老师根据参赛选手的预赛成绩，计划选出成绩前50%的选手进入决赛.小颖的预赛成绩排在第9名，恰好能够进入决赛.后来工作人员发现少统计了两个选手的成绩，更正统计结果后，小颖不能进入决赛，且这些选手中只有小颖的预赛成绩是80分.关于更正统计结果前后的预赛成绩，下列说法正确的是A.更正统计结果后中位数变大B.更正统计结果后平均数变大C.更正统计结果后方差变大D.更正统计结果后众数变大8．一次函数y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2的部分对应值如表一所示，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5，设这两个一次函数的图象交于点P（x0，y0），则x0所在的范围是xx1x2表一x3表一x4x5y1－3－1135y2－6－22610A.x1＜x0＜x2B.x2＜x0＜x3C.x3＜x0＜x4D.x4＜x0＜x5二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9．正比例函数y＝kx的图象经过点（1，1），则k的值是.10.若代数式eq\r(x－1)有意义，则x的值可以是.（写出一个满足条件的x值即可）11.不等式2x－1>3的解集为.12.某公司计划通过笔试和面试两个环节招聘一名员工，某位应聘者的笔试成绩为80分，面试成绩90分，若他的笔试和面试的平均成绩小于85分，则笔试成绩和面试成绩中权更大的是.（填“笔试成绩”或“面试成绩”）图413．命题“如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直”的逆命题是，该逆命题是.（填“真命题”或“假命题”）图414．如图4，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D和点E分别在AC和BC上，F是EC的中点，若DE是△ABC的中位线，则DF的长度为.15．在平面直角坐标系xOy中，不重合的两点A（m，n），B（n，m）都在直线y＝kx＋b（k≠0）上，则不等式kx＋b＜0的解集为.（用含m，n的式子表示）16．阅读下列材料：如图5，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示eq\r(13)的点.图6如图6，在图5的基础上，重复上述步骤，在数轴上画出点E，若CD＝n，OE＝m，其中m，n都是有理数，且m－n＞1，写出一组符合题意的值：m＝，n＝.图6图5图5三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.（本题满分12分）计算：（1）eq\r(27)－eq\r(12)＋eq\r(3)；（2）（eq\r(5)－1）（eq\r(5)＋1）.18.（本题满分8分）如图7，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，且图7CE＝DF，连接AE，BF，证明AE＝BF.图719.（本题满分8分）先化简，再求值：eq\F(a2－2a＋1,a2＋a)÷(1－eq\F(2,a＋1))，其中a＝eq\r(3)．20.（本题满分8分）已知一次函数y＝2x－4．（1）在图8中画出该函数的图象；（2）若P（a，y1）和Q（a＋1，y2）是一次函数y＝2x－4图象上的两点，比较y1和y2的大小，并说明理由．图8图821.（本题满分8分）如图9，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O.（1）在图9中求作点E，使得四边形ODEC是菱形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BE，OE，若BE＝eq\r(3)AO，求OE与AC的数量关系.图9图922.（本题满分9分）如图10，在平面直角坐标系xOy中，□ABCD的顶点A（0，m），B（m，0），D（n，p），直线AD与x轴交于点E，其中m＞0.（1）判断AB与OA的数量关系，并说明理由；（2）当AE＝AB＝AD时，直线DC与x轴，y轴分别交于点F，点G，连接OD，求eq\F(S△GOD,S△BCF)的值.图图1023.（本题满分9分）小明每天上学都需要经过一个有红绿灯的十字路口，他对这个路口早高峰期间红绿灯的时间设置产生了兴趣，于是他和同学针对该问题开展综合实践研究.他从交通部门获悉，当有一个行驶方向处于绿灯状态时，则其余三个行驶方向均处于红灯状态，各个行驶方向的饱和车流量（某个行驶方向的所有车道在单位时间内所能通过的最大车辆数）如表二所示.他们每天早高峰期间都到该路口对实际车流量进行观测，绘制了这个月每天实际车流量的频数分布直方图，如图11所示.根据这个月各个行驶方向的实际车流量占该路口的实际车流量的比例，绘制了扇形统计图，如图12所示.表二：各个行驶方向的饱和车流量道路方向行驶方向饱和车流量（单位：辆/min）南北方向直行96左转60东西方向直行112左转48图图11图1图12根据上述信息解决下列问题：（1）请计算这个月该路口早高峰期间的平均实际车流量；（2）若这个路口的绿灯总时长是171秒，请你为该路口规划一个合理的绿灯时间分配方案，并说明理由.24.（本题满分12分）如图13，∠ABM＝60°，将线段AB沿射线BM方向平移得到DC，点A的对应点D恰好落在∠ABM的平分线上，连接AD.（1）判断四边形ABCD的形状，并证明；（2）如图14，连接AC，P是AC上一点，点Q在射线BM上，连接BP，PQ，DQ，若PQ＝BP，证明：DQ2≥CP·AC.图14图14图1325.（本题满分12分）治疗某种疾病需要同时使用甲乙两种药品，甲药品采用注射的方式给药，乙药品采用口服方式给药.根据临床实验研究数据表明，注射甲药品后，血液中甲药品的浓度（单位：mg/L）随注射时间（单位：h）的变化规律如表三所示，服用乙药品后，血液中乙药品的浓度（单位：mg/L）随服药时间（单位：h）的变化图象如图15所示.（图象由两条有公共端点的线段组成）表三：甲药品的浓度随注射时间的变化情况注射时间（单位：h）02467甲药品浓度（单位：mg/L）8060402010图1图15（1）当服药时间超过1h时，求血液中乙药品的浓度随服药时间变化的函数关系式；（2）科研人员发现当血液中同时存在两种药品，且乙药品的浓度比甲药品浓度至少高20mg/L时，能够产生较好的疗效，由于药物本身存在副作用，因此在24小时内这两种药品都只能使用一次.请你估计产生较好疗效的时长是否有可能超过6小时，并说明理由.集美区2023—2024学年第二学期八年级期末综合练习数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）题号12345678选项DCADCBAB二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．1. 10．1(答案不唯一，大于等于1的值即可).11．x＞2.12．笔试成绩13．如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形；假命题.14．eq\f(5,2).15．x＞m＋n.16．eq\f(17,4)，eq\f(9,4)（答案不唯一，满足（m＋n）（m－n）＝13即可）.三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.（本题满分12分）（1）解：原式＝3eq\r(3)－2eq\r(3)＋eq\r(3)…4分＝2eq\r(3)…6分（2）解：原式＝（eq\r(5)）2－12…4分＝4…6分图718．（本题满分8分）图7解法一：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°.………………2分∵CE＝DF，∴BC＋CE＝CD＋DF，∴BE＝CF.……4分∴△ABE≌△BCF.……6分∴AE＝BF.……8分解法二：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°.………………2分∵CE＝DF，∴BC＋CE＝CD＋DF，∴BE＝CF.……4分∵在Rt△ABE中，AE＝eq\r(AB2＋BE2)，在Rt△BCF中，BF＝eq\r(BC2＋CF2)，……6分∴AE＝BF.……8分19．（本题满分8分）解：原式＝eq\F(a2－2a＋1,a2＋a)÷(eq\f(a＋1,a＋1)－eq\f(2,a+1))＝eq\F(a2－2a＋1,a2＋a)÷eq\f(a－1,a＋1)……2分＝eq\F(a2－2a＋1,a2＋a)·eq\f(a＋1,a－1)…3分＝eq\f((a－1)2,a(a＋1))·eq\f(a＋1,a－1)…5分＝eq\f(a－1,a)…6分当a＝eq\r(3)时，原式＝eq\f(eq\r(3)－1,eq\r(3))＝eq\f(3－eq\r(3),3)………8分20.（本题满分8分）解：（1）（本小题满分4分）列表：x20y0－4所以，如图所示，一次函数y＝2x－4图象即为所求.………4分解：（2）（本小题满分4分）（解法一）∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大.………6分∵a＜a＋1，∴y1＜y2.………8分（解法二）∵P(a，y1)，Q(a＋1，y2)在一次函数y＝2x－4图象上∴y1＝2a－4，y2＝2（a＋1）－4＝2a－2.………6分∵2a－4＜2a－2.∴y1＜y2.………8分21．（本题满分8分）解：（1）（本小题满分4分）如图，菱形ODEC即为所求.…4分法1：作DE＝CE＝OD法2：作DE∥OC，DE＝OD（2）（本小题满分4分）∵四边形ABCD是矩形，∴AC与DB相等且互相平分，∴AO＝DO，BD＝AC＝2AO.∵四边形ABCD是菱形，∴DO＝DE，∴AO＝DE.…5分设AO＝x，则DE＝x，BD＝2x，∵BE＝eq\r(3)AO，∴BE＝eq\r(3)x，∵BE2＋DE2＝(eq\r(3)x)2＋x2＝4x2，BD2＝(2x)2＝4x2，∴BE2＋DE2＝BD2，∴∠DEB＝90°.…7分在Rt△DEB中，∵点O为BD中点，∴OE＝eq\f(1,2)BD，∴OE＝eq\f(1,2)AC.…8分22．（本题满分9分）解：（1）（本小题满分4分）∵A（0，m），B（m，0），∴OA＝OB＝m.…1分∵在Rt△OAB中，AB2＝OA2＋OB2，∴AB2＝2OA2，…3分∴AB＝eq\r(2)OA．…4分（2）（本小题满分5分）∵AE＝AB，且点E在x轴上，AO⊥BE，∴O是BE的中点.∵AE＝AD，∴A是DE的中点，∴AO是△BED的中位线，∴BD∥AO，BD＝2AO.∴BD⊥BE，∴n＝m，p＝2m，即D（m，2m）.…6分∵四边形ABCD是平行四边形，∴C（2m，m）.…7分解法1：设直线CD的解析式为y＝kx＋b（k≠0），将C（2m，m），D（m，2m）代入解析式得：eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(2mk＋b＝m，,mk＋b＝2m))，解得：k＝－1，b＝3m，即y＝－x＋3m，∴G（0，3m）,F（3m，0）,∴BF＝2m，∵S△GOD＝eq\f(1,2)OG·xD＝eq\F(3m2,2)，S△BCF＝eq\f(1,2)BF·yC＝m2，∴eq\F(S△GOD,S△BCF)＝eq\f(3,2).…9分解法2：∵Rt△OAB是等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°，∵△EAB是等腰三角形，∴∠AEB＝∠OBA＝45°，∴∠EAB＝90°.∴∠DAB＝90°，又AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.∴∠GAD＝∠CBF＝45°，∠GDA＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝AB＝eq\r(2)m，∴在Rt△ADG中，∠GAD＝∠DGA＝45°，∴DG＝AD＝eq\r(2)m，∴AG＝eq\r(DG2＋AD2)＝2m，∴OG＝3m.同理可求BF＝2m.∵S△GOD＝eq\f(1,2)OG·xD＝eq\F(3m2,2)，S△BCF＝eq\f(1,2)BF·yC＝m2，∴eq\F(S△GOD,S△BCF)＝eq\f(3,2).…9分23.（本题满分9分）解：（1）（本小题满分4分）设这个月的平均实际车流量为eq\x\to(x)，则eq\x\to(x)＝eq\f(50×7＋70×5＋90×14＋110×4,7＋5＋14＋4)＝eq\f(2400,30)＝80辆/min答：这个月该路口早高峰期间的平均实际车流量是80辆/min.…4分（2）（本小题满分5分）根据扇形统计图可知，南北直行实际车流量为80×40%＝32辆/min，南北左转实际车流量为80×15%＝12辆/min，东北直行实际车流量为80×35%＝28辆/min，东西左转实际车流量为80×10%＝8辆/min.…5分计算各个行驶方向的车流量饱和度为南北直行车流量饱和度为eq\f(32,96)＝eq\f(1,3)，南北左转车流量饱和度为eq\f(12,60)＝eq\f(1,5)，东西直行车流量饱和度为eq\f(28,112)＝eq\f(1,4)，东西左转车流量饱和度为eq\f(8,48)＝eq\f(1,6)，…7分故各个方向车流量饱和度之比为eq\f(1,3)：eq\f(1,5)：eq\f(1,4)：eq\f(1,6)＝20:12:15:10，南北直行绿灯时间＝171×eq\f(20,57)＝60（秒），南北左转绿灯时间＝171×eq\f(12,57)＝36（秒），东西直行绿灯时间＝171×eq\f(15,57)＝45（秒），东西左转绿灯时间＝171×eq\f(10,57)＝30（秒）.答：该路口的绿灯时间分配如下：南北直行60秒，南北左转36秒，东西直行45秒，东西左转30秒.…9分24.（本题满分12分）解：（1）（本小题满分5分）四边形ABCD是菱形，理由如下：∵线段AB平移得到线段DC，∴AD∥BC，AD＝CB，∴四边形ABCD为平行四边形.…2分∵AD∥BC,∴∠ADB＝∠CBD.…3分∵BD为∠ABC平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB.…4分∴□ABCD是菱形.…5分（2）（本小题满分7分）解法一：延长BP，连接DP.∵∠ABM＝60°，BD为∠ABC平分线，∴∠DBC＝30°.在菱形ABCD中，AC⊥BD且AC平分BD，∴PB＝PD.∵PB＝PQ，PB＝PD,∴PD＝PQ.…6分∵PB＝PD，∴∠PDB＝∠PBD，∴∠DPE＝2∠PBD.∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠PQB，∴∠QPE＝2∠PBQ.∴∠DPQ＝∠DPE＋∠QPE＝2∠PBD＋2∠PBQ＝2∠DBC＝2×30°＝60°，∴△DPQ为等边三角形.…8分∴DQ＝DP，设AC和BD交于点O，OC＝a，CP＝b，DQ＝DP＝c，则AC＝2OC＝2a，OP＝OC－CP＝a－b，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△OCD中，∠DBC＝30°，∴DC＝2OC，∴OD＝eq\r(DC2－OC2)＝eq\r(3)a.∵在Rt△DOP中，OP2+OD2＝DP2,∴（a－b）2＋（eq\r(3)a）2＝c2，即4a2＋b2－2ab＝c2.…10分∴DQ2－CP·AC＝c2－2ab＝4a2＋b2－2ab－2ab＝4a2＋b2－4ab＝（2a－b）2≥0∴DQ2≥CP·AC…12分解法二：连接DP.∵∠ABM＝60°，BD为∠ABC平分线，∴∠DBC＝30°.在菱形ABCD中，AC⊥BD且AC平分BD，∴PB＝PD.∵PB＝PQ，PB＝PD,∴PD＝PQ.…6分设∠PBQ＝x，则∠PBD＝30°－x.∵PB＝PQ∴∠PQB＝∠PBQ＝x，∴∠BPQ＝180°－∠PQB－∠PBQ＝180°－2x.∵PB＝PD，∴∠PDB＝∠PBD＝30°－x.∴∠BPD＝180°－∠PDB－∠PBD＝120°＋2x.∴∠DPQ＝360°－∠BPQ－∠BPD＝360°－（180°－2x）－（30°－x）＝60°.∴△DPQ为等边三角形.…8分∴DQ＝DP，设AC和BD交于点O，OC＝a，CP＝b，DQ＝DP＝c，则AC＝2OC＝2a，OP＝OC－CP＝a－b，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△OCD中，∠DBC＝30°，∴DC＝2OC，∴OD＝eq\r(DC2－OC2)＝eq\r(3)a.∵在Rt△DOP中，OP2+OD2＝DP2,∴（a－b）2＋（eq\r(3)a）2＝c2，即4a2＋b2－2ab＝c2.…10分∴DQ2－CP·AC＝c2－2ab＝4a2＋b2－2ab－2ab＝4a2＋b2－4ab＝（2a－b）2≥0∴DQ2≥CP·AC…12分解法三：在菱形ABCD中，AC⊥BD且AC平分BD，AB＝BC，∴PB＝PD.∵PB＝PQ，PB＝PD,∴PD＝PQ.…6分在边BC上取点H，使得CH＝PC，∵四边形ABCD是菱形，且∠ABM＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°,AB＝CD＝AC，∴△PHC是等边三角形，∴PH＝PC，∠PHC＝∠CPH＝60°.∵CA平分∠DCB，∴∠PCD＝∠PCB＝60°.∴△PCD≌△PHQ，∴∠DPC＝∠QPH，QH＝CD＝AC，又∠QPC是公共角，∴∠DPQ＝∠CPH＝60°，∴△DPQ为等边三角形.…8分∴DQ＝PQ，∵QH＝QC＋CH，AC＝PC＋AP，∴QC＝AP.如图，过点P作PN⊥BC于点H，设AC＝a，CP＝b，AP＝a－b，∵在Rt△PCN中，∠CPN＝30°，∴CN＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(1,2)b，PN＝eq\r(PC2－CN2)＝eq\f(eq\r(3),2)b.∵在Rt△PQN中，QN＝QC＋CN＝a－b＋eq\f(1,2)b＝a－eq\f(1,2)b，∴QP2＝QN2+PN2＝（a－eq\f(1,2)b）2＋（eq\f(eq\r(3),2)b）2＝a2＋b2－ab，…10分∴QD2＝a2＋b2＋ab.∵QD2－CP·AC＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2，∴QD2－CP·AC≥0,即DQ2≥CP·AC.…12分解法四：如图，以C为原点，CB所在的直线为x轴，过点C⊥BC的直线为y轴建立平面直角坐标系xCy，设菱形ABCD的边长是2，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形，且∠ABM＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵在Rt△ACM中，∠CAM＝30°，∴CM＝eq\f(1,2)AC＝1，∴AM＝eq\r(AC2－CM2)＝eq\r(3)，∴A（1，eq\r(3)），B（2，0），D（－1，eq\r(3)）.…6分设P（x0，y0），过点P作PN⊥BC于点N，∴N（x0，0）∵PQ＝PB，∴N是BQ的中点，∴Q（2x0－2，0）.…8分过点D作DH⊥BC于点H，则H（－1，0）在Rt△ACM中，DH＝eq\r(3)，QH＝－2x0＋1，∴DQ2＝QH2+DH2＝4x02－4x0＋4.…10分∵在Rt△PCN中，∠CPN＝30°，∴CP＝2CN＝2x0，∴CP·AC＝4x0，∴QD2－CP·AC＝4x02－4x0＋4－4x0＝4（x0－1）2≥0，∴QD2－CP·AC≥0,即DQ2≥CP·AC.…12分25.（本题满分12分）解：（1）（本小题满分5分）设服药的时间为x，血液中乙药品的浓度为y，由函数图象可知该变化关系是一次函数，故设血液中乙药品浓度服药时间变化的函数关系式为y乙＝kx＋b（x＞1），…………1分将（1，120），（7，0）代入为y乙＝kx＋b得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(k＋b＝120，,7k＋b＝0.))……3分解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(k＝－20，,b＝140.))所以服用乙药品1h后血液中的乙药品浓度随服药时间变化函数关系式为：y乙＝－20x＋140（1＜x＜7）.……5分（2）（本小题满分7分）在（1）的条件下，设