2线性方程组(部编)课件

线性方程组的消元法2.1线性方程组解的情况判定2.2

应用与实践2.3

目录第二章线性方程组

2.1

线性方程组的消元法

一、线性方程组的有关概念则分别称为线性方程组的系数矩阵、未知量矩阵和常数矩阵．设含有个未知数个方程的线性方程组为：

2.1

线性方程组的消元法

线性方程组（1）的矩阵方程：线性方程组的增广矩阵：例如，线性方程组的系数矩阵为，未知量矩阵为，常数矩阵为，增广矩阵为．方程组的矩阵形式为

.2.1

线性方程组的消元法非齐次线性方程组：

其中不全为零.（2）（1）齐次线性方程组：1.1

行列式的定义二、线性方程组的消元法【引例1】

用消元法解下列方程组【解】

第二个方程减去第一个方程的2倍，得上式第二个方程两边同时乘以，得上式第一个方程减去第二个方程，得上述求解过程可用对增广矩阵进行初等行变换替代：1.1

行列式的定义

引例1的求解过程可用对增广矩阵进行初等行变换替代：由最后一个行简化阶梯形矩阵，可得对应的方程组：即得方程组的解

这种利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法叫高斯消元法．2.1

线性方程组的消元法三种同解变换：

（1）互换两个方程的位置；（2）用一个非零常数乘以某一个方程；（3）将一个方程的倍加到另一个方程．

高斯消元法步骤：先对增广矩阵进行初等行变换，使其化为行简化阶梯形矩阵，然后根据行简化阶梯形矩阵，直接写出方程组的解．2.1

线性方程组的消元法【例1】用高斯消元法解线性方程组【解】对增广矩阵施以初等行变换．2.1

线性方程组的消元法

由最后一个矩阵，可得原方程组的解为（续）2.1

线性方程组的消元法【解】对增广矩阵施以初等行变换【例2

】解线性方程组由最后一个矩阵知，原方程组的同解方程组为改写成由方程组可知未知量可以自由取值．称变量为自由未知量．若令，方程组解为其中为任意选取的常数．它给出了方程组的无穷多组解，这种解的形式是用自由变量表示的解称为方程组的一般解．如果取，则得到原方程组的一组解：

【思考】例2中，是否可以取为自由未知量呢？如能，请给出此方程组的一般解和两组解．2.1

线性方程组的消元法2.1

线性方程组的消元法【例3

】解下列线性方程组【解】

写出对应的增广矩阵经初等行变换可化为2.1

线性方程组的消元法由上矩阵知，原方程组的同解方程组为例3续第三个方程矛盾，故此方程无解．2.1

线性方程组的消元法【例4】已知总成本是产量的二次函数：．根据统计资料，产量与总成本之间有如下表所示的数据．试求总成本函数中的．某厂某阶段产量和总成本统计表【解】将已知数据，代入二次函数模型中，得方程组2.1

线性方程组的消元法对上方程组的增广矩阵进行初等变换，可得故方程组的解为所以总成本函数为2.1

线性方程组的消元法用高斯消元法解线性方程组的具体步骤为：（2）根据阶梯形矩阵，判断方程组是否有解；（1）写出增广矩阵，用初等行变换将化成阶梯形矩阵；（3）在有解的情况下，写出阶梯形矩阵的同解方程，并用回代的方法求解．或继续将化成行简化阶梯形矩阵后，直接写出方程组的解．2.2线性方程组解的情况判定

【思考】方程组在什么情况下无解？有唯一解？有无穷多解呢？方程组的解与其矩阵的秩是否有关？【推论1】设是齐次线性方程组（2）的系数矩阵，则（1）齐次线性方程组（2）只有零解的充要条件是：（2）齐次线性方程组（2）有非零解的充要条件是：

【定理1】设分别是线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵，则（1）线性方程组(1)有唯一解的充要条件是：（2）线性方程组(1)有无穷多解的充要条件是：（3）线性方程组(1)无解的充要条件是：2.2线性方程组解的情况判定一、非齐次线性方程组解的情况判定

【例1】判定下列线性方程组是否有解？若有解，说明解的个数．（1）（2）【解】（1）因为，，所以方程组无解．2.2线性方程组解的情况判定【解】（2）因，即，故方程组有唯一解．（3）因即故方程组有无穷多解．2.2线性方程组解的情况判定

【解】

对方程组的增广矩阵施以初等行变换，将它化为阶梯形矩阵．【例2】当为何值时，线性方方程组有解？由上面最后一个矩阵，可知当时，，方程组有解；当时，，方程组无解．2.2线性方程组解的情况判定

【解】对方程组的增广矩阵施以初等行变换，将它化为阶梯形矩阵．有唯一解？无穷多解？无解？【例3】讨论当为何值时，线性方程组2.2线性方程组解的情况判定讨论阶梯形矩阵的秩：（1）当时，，方程组有唯一解；（2）当时，，方程组有无穷多解；（3）当时，，方程组无解．2.2线性方程组解的情况判定二、齐次线性方程组解的情况判定

【例4】试讨论方程组是否有非零解？如果有解，求其解．

【解】对齐次方程组的系数矩阵施以初等变换，使其化为阶梯形矩阵．由于，即，故方程组有非零解．2.2线性方程组解的情况判定故知原方程组的同解方程组为继续对矩阵施以初等变换，可得若取，则原方程组的解为2.3应用与实践一、交通网络流量模型

【案例1】如图所示是某地区的交通网络流量图．设所有道路均为单行道，且道路边不能停车．图中的箭头标识了交通的方向，标识的数为高峰期每小时进出道路网络的车辆数．设进出道路网络的车辆相同，总数各为800辆．若进入每个交叉点（交叉路口）的车辆数等于离开该点的车辆数，则交通流量平衡条件得到满足，交通就不出现堵塞．求各交叉点交通流量为多少时，此交通网络不出现堵塞．

【分析】交通网络流的基本假设是网络中流入与流出的总量相等，并且每个联结点流入和流出的总量也相等2.3应用与实践

【解】设每小时进出交叉点（路口）的未知车辆如图2－１所示，根据对每一个道路交叉点的平衡条件：进入某点的车辆数＝离开此点的车辆数，可建立如下方程．A点：；B点：；C点：；D点：；E点：．故可得一个交通网络流量模型：2.3应用与实践求解交通流量模型：下面用初等行变换求此模型的解．2.3应用与实践其中为自由变量，分别设为，交通网络流量模型的解为例如，取，则得一组解必须满足：．2.3应用与实践二、电路网络模型

【案例2】在如图所示的电路网络中，求各支路上的电流强度．【解】根据基尔霍夫节点电流定律，回路上的电流：

．电路网络中的电流和电压满足欧姆定律：．用增广矩阵表示这个电路网络模型:根据基电压定律，上回路上的电压：下回路上的电压：2.3应用与实践用初等行变换将上矩阵化为行简化阶梯形矩阵：所以，电路网络模型的同解方程组是即各支路的电流为2.3应用与实践

【案例3】

某企业生产A、B、C三种玩具，每种产品需要甲、乙、丙三种零件的个数分别为2，1，2、1，1，1和3，2，1．现有原料甲7700个（零件），原料乙5200个，原料丙4700个．问A，B，C三种玩具各生产多少，才能使原料得到充分利用？

【解】

设A、B、C三种玩具的产量分别为x、y、z．为使原料得到充分的利用，x，y，z必须满足方程组（资源分配模型）：增广矩阵为2.3应用与实践对增广矩阵进行初等行变换，可得

所以当A、B、C三种玩具的产量分别为1000，1200，1500个时，才能使原料得到充分的利用．2.3应用与实践【案例4】

甲、乙、丙是经营领域不同的三家公司，为了规避市场风险，他们决定交叉持股，约定按比例分红，持股比例如表2.3所示．某年度三家公司的经营利润分别为120万元、100万元、80万元，如果公司的总利润由经营利润与投资利润组成，试分别确定这三家公司的总利润与实际利润．【解】设甲、乙、丙三家公司的总利润分别为万元，则由已知可得：2.3应用与实践甲公司的总利润=甲公司的经营利润+甲公司投资利润乙公司的总利润=乙公司的经营利润+乙公司投资利润丙公司的总利润=丙公司的经营利润+丙公司投资利润经整理，得到方程组（即资源分配模型）：这个方程组的系数行列式D=0.832≠0，所以方程组有唯一解.解得2.3应用与实践

这三家公司的总利润分别为198.8、176.9、172.8万元。

三家公司的实际利润为