高考数学二轮复习 第3部分 考前增分策略 1 考前教材重温 4 数列与不等式教学案 理-人教版高三全册数学教学案

4.数列与不等式

■要点重温...........................................................

1.等差数列及其性质

⑴｛2｝等差数列今为+i—a=d(d为常数)或品+L&=%一品—1(〃22)=24=a+1+

an-\(77^2,〃£N*)

^-^cLn~~<377-I-Sn~~An+Bn.

(2)等差数列的性质

①2=劣+(77-血小

②当〃+刀=4+。时，则有劣+劣=与+的，特别地，当〃+刀=20时，则有am+an=2ap.

n11

@S„=nai+—+外A是关于n的二次函数且常数项为0.

④S,S〃一Sn,Sin—瓯成等差数列.

［应用1］已知等差数列｛a｝的前〃项和为S,且So=12,£o=17,则50为()

A.15B.20

C.25D.30

［答案］A

2.等比数列及其性质

f&?Qn—1•a?+1〃22,

⑴｛2｝等比数列Q」=4a=°(0为常数，

〔&W0"T

qWO)(&老0)=a=劭•q~\

［应用2］x=4几是a、x、6成等比数列的()

【导学号：078041761

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

［解析］若x=a=0,x=M直成立，但a、矛、6不成等比数列，所以充分性不成立；

反之，若a、x、6成等比数列，则I=a2x=±4瓦，所以不一定成立，必

要性不成立.所以选D.

［答案］D

(2)等比数列的性质

当时，则有a•a〃=a；,•a〃特别地，当7+〃=2。时，则有a,•a〃=a］

［应用3］(1)在等比数列｛aj中，a3+as=124,34&=-512,公比q是整数，则a.

(2)各项均为正数的等比数列｛aj中，若冼•36=9,贝!)log3&+log3a2T---Flogsaw

［答案］(1)512(2)10

(3)求等比数列前〃项和时，首先要判断公比0是否为1,再由g的情况选择求和公

式的形式，当不能判断公比°是否为1时，要对q分<7=1和gWl两种情形讨论求解.

［应用4］设等比数列｛a〃｝的前n项和为S“,若W+&=£,则数列的公比q是

［解析］①当［=1时，$+&=9ai,5)=9ai,

；.&+氏=£成立.

②当qWl时，由5)+$=S

1-/：ai1—q6ai1—

俗—一十一—=—0—

/.<?9—<?6—7+1—0,即(4—1)(q6—1)=0.

,.,gWl,/.<?3—1#0,/.<?6=1>q=—1.

［答案］1或一1

3.求数列通项的常见类型及方法

(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法.

［应用5］如图10(1),将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为

边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图10(2),如此继续下去，得图10(3)……，

试探求第〃个图形的边长&和周长Q.

［答案］a=&,4=曰X(3XT-1)

(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列

的公式写出通项公式.

⑶叠加法(迭加法):

&=(a-&一1)+(a-1—为一2)+…+(&-31)+国；

叠乘法(迭乘法):

-H-n—Q-n•Hn—l•4―2•••••&・&^―

3,\3，n-\a-25/2—3改Q-X

［应用6］已知a=1,&+1=2"为，求为.

nn~\

［答案］a=2-2-

\Sin=1,

(4)已知S与2的关系，利用关系式为={、求2.

*5/2-1n—2,

［应用7］已知数列{a}的前〃项和S=2"+l,则a=.

［解析］当刀=1时，石i=S=3.

/7-1

时，an=Sn-Sn-i=(2”+1)—(2+1)=2"—2"T=2"T.

377=1

所以an=

77=1

［答案］

启2

(5)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式.

［应用8］已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x,yeR,都有f{Xy)

=xf{y)+yf{x)成立.数列{aj满足a〃=f(2")(〃GN*),且a=2,则数列{aj的通项

公式为a„—.

［解析］令x=2,尸2"，则/1(xy)=f(2")=2f(2〃T)+2"TF(2),即a=2ai+2",

%=法=+1,所以数歹U图是首项为1,公差为1的等差数列，由此可得%=1+5—

ZL1［4J/

1)X1=77,

即a„=n•2”.

［答案］n•2"

4.数列求和的方法

(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式;

(2)分组求和法；

(3)倒序相加法；

(4)错位相减法；

(5)裂项法.

如:n缶ETrn=♦-刀

[应用9]求和：S=l+2x+3x?+…+T?X"I

rnn+1

2~x=l

［答案］S=<1,x=0

x=^\,xWO.

(6)并项法

数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法.

［应用10］数列｛a｝满足A+&+I=5(〃£N,〃21),若@2=1,S是｛a｝的前刀项和,

则的值为.

【导学号：07804177)

9

［答案］2

5.研究数列｛a｝的单调性的方法：

>0

⑴2+1—=0,如a=2"—4〃一5；

、〈0

>1

9”n+1

3,n]()〃

<1

(3)a〃=f5)增减性，转化为研究函数f(x)的增减性，如%=赤气.

2

［应用11］若为=!；；,求数列｛a｝中的最大项.

9

窖

当-8-

6.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，同时要注意“同号可倒”，即a>6>0

1111

［应用12］若实数a,6GR且a>6,则下列不等式恒成立的是()

A.甘B-11

C.2S>2AD.lg(a—6)〉0

［解析］根据函数的图象（图略）与不等式可知：当a〉6时，2。2”,故选C.

［答案］C

7.用基本不等式“吟》迎（a,力0）”求最值（或值域）时，要注意到条件“一正、二定、

三相等”；在解答题，遇到利用基本不等式求最值的问题，要交待清楚取等号的条件.常

用技巧：

（1）对不能出现定值的式子进行适当配凑.

（2）对已知条件的最值可代入（常数代换法）或消元.

（3）当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值.

［应用13］（1）若log4（3a+46）=log2&^,则a+6的最小值是（）

A.6+2<B.7+2/

C.6+4/D.7+473

［解析］由题意得”所以Lc

［3a+46>0［b>0.

又Iog4（3a4-4A）=log2y［abf

所以Iog4（3a+4Z?）=log4（a6）,

43

所以3a+42?=ab,故一+7=1.

ab

所以a+仁（a+陪+（|=7+¥+*7+2Jf^=7+4小,

当且仅当一=半时取等号.

ab

［答案］D

（2）已知0<x<l<y,则log*y+log/的值域是.

【导学号：07804178】

［答案］(-8,-2］

（3）函数宣£）,的值域是

［答案］+OO

8.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如遂是指已知区

域内的点与点(一2,2)连线的斜率，而(x—1产+5—是指已知区域内的点到点(1,1)

的距离的平方等.同时解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数

的正负.

2x~\~y—220

［应用14］若实数x,y满足JW3，且/+/的最大值等于34,则正

实数乃的值等于()

13

A.2-B.4-

4

C.D.3

3

［解析］做出可行域，如图所示，£+/表示点(x,。与(0,0)距离的平方，由图知,

可行域中的点3)离(0,0)最远，故/+/的最大值为y1+32=34^a=1,

故选B.

［答案］B

9.解答不等式恒成立问题的常用方法

(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此

法.

(2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零.

(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来.

(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形.

［应用15］如果加+2"x—(什2)〈0恒成立，则实数A的取值范围是.

【导学号：07804179】

A.—1WAW0B.-1W衣0

C.一1<ZOD.-KKO

［解析］当A=0时，原不等式等价于一2〈0,显然恒成立，所以次=0符合题意.

A<0

当AW0时,由题意得，八

2-4A-[-"+2]<0,

解得一1<A<O.所以一IXA^O.

［答案］C

10.不等式有解问题：有解=司2［不x）］min；dWf（x）有解QaW［f（x）］max.

\kx~\~k1一才，x20

［应用16］已知函数f（x）={2124,2，其中“£R，若

〔3+才一4ax+3—d,矛<0

对任意非零实数荀，存在唯一实数X2（X1WX2）,使得广3）=F（X2）成立，则实数A的

最小值为（）

A.-8B.-6

C.6D.8

［解析］由数形结合讨论知F（x）在（一8,0）递减，在（0,+8）递增,

Z>0

a-4a

2030_~_a2

2k=~~~—>0

\—a

、k1-a3—a2

「0W水1

3—a2_.,.10—6a,<、，/、

3—a2，令g(a)1二，则.为二口厂一l(0Wa〈l)且g(a)

k=1-a3*2

23a—1a—3

i22(OMG),

\—a

-1

・・・gS)在(o,上递减，在1）上递增,

3-

-

即Anin={|j=8.

[答案]D

■查缺补漏.....................................................

1.已知实数X,y满足aya'（0〈a〈l）,则下列关系式恒成立的是（）

A-7+i57+TB.ln(/+l)>ln(y+l)

C.sinx>sinyD./>y

D［因为0〈水1,a<d,所以x>y.采用赋值法判断，A中，当x=l,尸0时，!<1,

A不成立.B中，当x=0,尸一1时，InKin2,B不成立.C中，当x=0,y=~

兀时，sinx=siny=0,C不成立.D中，因为函数夕=系在R上是增函数，故选

D］

2.已知数列｛2｝的前7?项和为S,功=1,Sn=2an+1,则S=()

-r*i=l-A-a+13

B［由题可知,当刀22时,9，nSnSn—12Q，n+128?,于是有京=5,

177=1

,故3=&+/-1---Fa=1T

3.已知x,y满足约束条件<x+Z3,若z=2x+y的最小值为1,则实数a的值是

、”2才一3

()

【导学号：07804180)

1

4-

A.B.2

C.1D.2

D［做出可行域及直线2x+p=0,如图所示.平移直线2x+尸0,当其经过点力时,

x=1

1'=1

z=2x+p取得最小值；解彳得J2；因为z=2x+p的最小值

［ay=x-3

y=~~a

为1,所以Zmin=2><=a=2,故选D.

4.在各项均为正数的等比数列｛aj中，若为+〃ai=2a“(022),数列｛aj的前〃项积为

Tn,若凡T=512,则0的值为()

A.4B.5

C.6D.7

B[因为｛2｝是正项等比数列,

所以8+i•a-i=2&=W,劣=2,

\/rry____2/771

乂12m~\=aia2”".&m—\=

所以22kl=512=2、/=5/

5.在等差数列｛a｝中，含＜0,戊＞0且为＞|为|,S是数列的前〃项的和，则下列说法正确的

是()

A.S,S,&均小于0,S4,S5,&…均大于0

B.S,£,…W均小于0,&,S,…均大于0

C.S,S,…W均小于0,So,Si…均大于0

D.S,W,…S1均小于0,512,S3…均大于0

c-r4.I、c,,c石1+<310X10a+aX10

C[由寇忌可知戊+a>0,故So=2=2>0，

Hca十&X9255X9八/八

而So)=2=2=9念(0,故选C.]

6.数列｛a｝满足2+1+(-1)"a=2〃-1,则｛4｝的前60项和为()

【导学号：07804181]

A.3690B.3660

C.1845D.1830

D[当〃=2A时，/次+1+/a=4左一1；

当n=2k~\时，&攵一&-1=44-3.

所以什1+/4-1=2,所以己24+1+&々+3=2,

所以&k-l=&k+3,所以51=55——<361.

所以国+女2+&+一，+为0

=(均+83)+(当+己5)+…+(a()+a1)

=3+7+114—F(2X60-1)

30X3+1191

--------=30X61=1830.]

7.已知a,6都是负实数，则耳+*的最小值是（）

A.|B.2(72-!)

C.2^2-1D.2(72+1)

,a、ba-\-2ab-\-2l)

Br--+—----7

a+26a+Z?a,+3a6+2b

______ab

1a~\~3a,b-\~2lj

士汽一才/5).］

ba

8.已知定义域为R的偶函数r(x),其导函数为F(x),对任意xe［O,+8),均满足:

xf(x)〉一2f(x).若g(x)=xY(x),则不等式g(2x)〈g(l-x)的解集是()

C.1-1,JD.(-8,—1)U(J,+8)

C［xG［0,+8)时H(x)=2xF(x)(x)=x(2f(x)+xF(x))>0,而g(x)=

Vf(x)也为偶函数，所以g(2x)<g(l—x)og(|2x|)<g(1l-x|)

o12,x\<|1—x\o3x?+2x—KO

1、

=一1〈矛〈干J

9.若关于x的不等式4'—2-一a》0在［1,2］上恒成立，则实数a的取值范围为.

(-8,0］2--a20在［1,2］上恒成立,

4'-2'"’》a在［1,2］上恒成立.

令y=4*—=(2')2—2X2,+1-1

=(2'—1厂一1.

：1WXW2,，2W2，W4.

由二次函数的性质可知：

当2，=2,即x=l时，y有最小值0.

a的取值范围为(-8,o］.］

10.已知函数/'(x)为定义在［2—a,3］上的偶函数，在［0,3］上单调递减，并且(一病一?)>/■(一

m+2^7—2),则必的取值范围是.

[由题设可得2—a+3=0,即a=5,故f（一方-1）>/1（一0+2"一2）可

化为广(勿2+1)>/*(〃-2e+2),又1W3,1W%2—2R+2W3,故勿+1〈〃-2%十

2=水芯且0]

11.已知当一1・石〈1时，/+(@—4)才+4—2乃>0恒成立，则实数x的取值范围是.

(―°°,1)U(3,+°°)[设f{a)=(x—2)a+(♦—4x+4)，则f(a)>0对VaS[―1,1]

-1>0f/-5^+6>0

成立等价于，、、八，即2c-，解之得水1或x>3,即实数x的

[f1>0[x-3x+2>0

取值范围是(一8,1)U(3,+8).]

12.已知函数F(x)=eX—1,g(x)=—9+4x—3,若有_f(a)=g(6),则b的取值范围为

【导学号：07804182]

（2一小,2+^2）[由指数函数图象可得f（a）>—1,所以g（6）>—1,即一面+46

-3>-1,解得2—/<6<2+/.]

3x-y^一6W0

13.设x,p满足约束条件lx—y+220

,若目标函数z=wx+6Pg>0,6>0）的最大

19

值为6,则的最小值为

号后[根据题意’画出可行域（图略）.将2=2叶"变形为：尸一分+京a〉0,

x—y+2=0x=4

力0）进行平移，当,即时，z=ax+by(a>0,6〉0)取最大

3x~y—6=0y=6

所以工1+2杷11+€2、l（4a+66）=象16+华+制*1

值6,所以4a+66=6(办0,6>0),

abb.616

3A/3-3

16+8m_8+4#a=4

16+2（当且仅当《时取

63一

“=”），所以最小值为阻乎.]

14.已知数列｛2｝是各项均为正数的等比数列，a=4,｛aj的前3项和为7.

⑴求数列｛劣｝的通项公式;

n

(2)若为〃+@2益H-----\~anbn=(2/?—3)2+3,设数列｛6/的前刀项和为S,求证：《+

111

V…十不2二

热=4,

［解］⑴设数列［｝的公比为q,由已知得q〉Q,且