高中数学必修第一册第2课时 基本不等式的应用

第2课时基本不等式的应用

课堂探究•素养提升——强化创新性

题型1利用基本不等式证明不等式［经典例题］

2u2r2

例1已知〃、b、c>0,求证：—a4--1——^a+h+c.

bca

判的i。，b,c,-j,

2

状元随纥22疝1--F2a

b

—,土均大孑0

方法'la林i

(1)在利用a+b，2前时，一定要注意是否满足条件a>0,b>0.

(2)在利用基本不等式a+6》2相或早2面(。>0,。>0)时要注意对所给代数式通过

添项配凑，构造符合基本不等式的形式.

(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用.

跟踪训练1已知x>0,y>0,z>0.

求证：e++

\xx/\yy/\zz/

分别对乂+三，-+乙+Y用基本不等式n同向不等式相乘.

xxyyzz

题型2利用基本不等式解决实际问题

［教材P71例3］

两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；

两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.

例2(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？

最短周长是多少？

(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是

多少？

【分析】在⑴中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值;

在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值.

【解析】⑴设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得孙=100.

因为x>0,y>0,所以节10,

所以2(x+y)240.

当且仅当x=y时，等号成立，由1x=y，可知此时

(xy=100

x=y=10.

因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.

(2)设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得2(x+y)=36,即x+y=18.

因为x>0,y>0,所以弓=等>，对，

因此J讨W9,即xyW81.

当且仅当x=y时，等号成立，由］x=y,可知此时

(x+y=18

x—y—9.

因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.

教材反思

利用基本不等式解决实际问题的步骤

解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数

及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.

(4)正确写出答案.

跟踪训练2某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费

用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总

收入50万元.

(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？

(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？

状元随笔1.盈利等于总收入一支出，注意支出，由两部分组成.

2.利用基本不等式求平均利润.

第2课时基本不等式的应用

课堂探究•素养提升

例1【证明】•.&b,c,1，三均大于0,

___bca

・・・1+心2l^b=2a.

bb

2

当且仅当a时等号成立.

-+c^2l--c^2b.

C\C

当且仅当Q=c时等号成立.

c___

-+a^2l--a=2c,

ayJa

当且仅当贮=。时等号成立.

a

a2u2r2

相加得7~+方+—+c+—+422〃+2/?+2C,

bca

：.^-+-+-^a+b+c.

bca

跟踪训练1证明：因为x>0,y>0,z>0,

所以沁孑2亚>0,

XXX

。匕2>0,

yyy

。生返>0,

zzz

所以G+'G+'G+D2当叵匣返=8,当且仅当x=y=z时等号成立.

\xx/\yy/\zz/xyz

跟踪训练2解析：(1)设该船捕捞”年后的总盈利y万元.则

>=50"-98-[12xn+x4)

=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,

•••当捕捞1