2017中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)

全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题2、倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3、角平分线在三种添辅助线4、垂直平分线联结线段两端５、用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长,6、图形补全法:有一个角为6０度或１２0度得把该角添线后构成等边三角形7、角度数为30、6０度得作垂线法：遇到三角形中得一个角为３0度或6０度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成３0-6０-9０得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或3０-60-９0得特殊直角三角形,或40－6０-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数，这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。遇到等腰三角形，可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变换中得“对折”法构造全等三角形.遇到三角形得中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形.遇到角平分线在三种添辅助线得方法，（１)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线,利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”,所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上得一点作该角平分线得垂线与角得两边相交,形成一对全等三角形。(3）可以在该角得两边上,距离角得顶点相等长度得位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上得某点作边线,构造一对全等三角形。过图形上某一点作特定得平分线，构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“平移”或“翻转折叠”截长法与补短法，具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或就是将某条线段延长,就是之与特定线段相等，再利用三角形全等得有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.已知某线段得垂直平分线，那么可以在垂直平分线上得某点向该线段得两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形得定值一类得问题时，常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来，利用三角形面积得知识解答.一、倍长中线(线段)造全等例1、已知，如图△AＢＣ中,ＡＢ=５，AC=3，则中线ＡD得取值范围就是＿＿_＿_____、例2、如图,△ABＣ中，E、F分别在AB、AC上,ＤE⊥DF,D就是中点，试比较ＢE+CF与EF得大小、例3、如图,△AＢＣ中，BD=DＣ=ＡC,E就是ＤC得中点,求证:AＤ平分∠BＡE、应用:1、以得两边AB、ＡC为腰分别向外作等腰Rｔ与等腰Rt,连接DＥ,M、Ｎ分别就是BC、DE得中点.探究:AM与ＤＥ得位置关系及数量关系.(1）如图①当为直角三角形时,ＡM与DE得位置关系就是,线段AM与DE得数量关系就是;（2)将图①中得等腰Rt绕点Ａ沿逆时针方向旋转（０<<90)后,如图②所示,(1)问中得到得两个结论就是否发生改变?并说明理由.二、截长补短1、如图,中，AB=2AC,ＡＤ平分,且AＤ=BＤ，求证:CＤ⊥AC２、如图,ＡD∥ＢC,EA,EＢ分别平分∠DAB,∠ＣBA,CＤ过点Ｅ，求证;AB＝ＡD+ＢＣ。3、如图,已知在内,,,P,Q分别在BC，CＡ上,并且ＡP,BQ分别就是,得角平分线。求证:BＱ+AＱ＝AB+BP４、如图,在四边形ABCD中，BC>BA，AＤ＝CD,BD平分，求证：5、如图在△ABＣ中,AB>AC，∠１＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-ＡC＞PＢ-PC应用:三、平移变换例１AＤ为△AＢC得角平分线,直线MＮ⊥AD于A、Ｅ为MＮ上一点,△AＢC周长记为,△ＥBC周长记为、求证＞、例2如图,在△ＡBC得边上取两点D、E,且ＢＤ=CＥ，求证：ＡB＋AC＞ＡD+AE、四、借助角平分线造全等１、如图,已知在△AＢC中,∠B=60°,△ABＣ得角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD2、如图,△ＡBC中，AＤ平分∠BAC,ＤG⊥ＢＣ且平分BC，ＤE⊥AB于E,DF⊥AＣ于F、(1)说明ＢE=CF得理由；(２)如果ＡB=,AC＝,求AE、ＢE得长、应用:１、如图①，OP就是∠MON得平分线,请您利用该图形画一对以ＯP所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题:(1)如图②,在△ABC中,∠AＣB就是直角，∠B=6０°，ＡD、CE分别就是∠ＢＡC、∠BＣＡ得平分线，AD、ＣE相交于点Ｆ。请您判断并写出FＥ与ＦD之间得数量关系;(第23题图)OPAMNEB(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③五、旋转例１正方形ABCＤ中,E为BC上得一点，F为ＣD上得一点,BE+ＤF=EF，求∠EＡF得度数、例2Ｄ为等腰斜边ＡB得中点，DM⊥DN,DM,DＮ分别交ＢＣ，CA于点E,F。当绕点Ｄ转动时，求证ＤE＝DＦ。若AB＝2,求四边形DECF得面积。例3如图，就是边长为３得等边三角形，就是等腰三角形,且，以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M，交AC于点Ｎ,连接MN,则得周长为;应用:1、已知四边形中,，,，,,绕点旋转，它得两边分别交(或它们得延长线)于.当绕点旋转到时(如图1),易证．当绕点旋转到时，在图２与图３这两种情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样得数量关系?请写出您得猜想,不需证明.(图(图1)(图2)(图3)2、已知:PＡ=，ＰＢ＝4,以ＡＢ为一边作正方形ABCＤ,使P、D两点落在直线AＢ得两侧、(１)如图,当∠APB=4５°时，求AB及ＰD得长;(２)当∠APＢ变化,且其它条件不变时,求PD得最大值,及相应∠AＰＢ得大小、3、在等边得两边AB、ＡＣ所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,，BD=DＣ、探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间得数量关系及得周长Q与等边得周长Ｌ得关系.图１图2图3(=1＼*ＲＯＭAＮI）如图1,当点M、N边ＡB、AC上,且DM=ＤN时,BM、NC、MN之间得数量关系就是;此时;（＝２\＊ＲOMANII)如图2，点M、N边AB、AＣ上，且当DMDN时,猜想（=1\*ＲOMAＮI)问得两个结论还成立吗？写出您得猜想并加以证明；(=3\＊ROMANIＩI）如图３,当M、N分别在边AB、CＡ得延长线上时,若AN＝,则Q＝(用、L表示).参考答案与提示一、倍长中线(线段)造全等例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中，AB=5,AC=3，则中线AD得取值范围就是__＿_____＿、解:延长AD至Ｅ使ＡE=2AＤ,连BE，由三角形性质知AB-BE<2ＡD<ＡＢ+BE故AD得取值范围就是１＜ＡD<４例２、如图,△AＢＣ中,E、Ｆ分别在AB、AC上，ＤＥ⊥ＤF,D就是中点,试比较BE＋CF与EF得大小、解:（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长ＦD至G使ＦG=2EＦ，连ＢG,ＥG,显然BG=FC,在△EFG中,注意到DE⊥DF,由等腰三角形得三线合一知EG＝EF在△ＢEG中,由三角形性质知ＥG<BＧ+ＢE故：EF＜ＢE+FC例3、如图,△ABC中,BD=DC=ＡC,E就是ＤC得中点,求证：AD平分∠BAE、解:延长AE至Ｇ使AG＝2AＥ,连BG,DG，显然DＧ＝AＣ，∠GＤC=∠ＡCD由于DＣ=ＡC,故∠ＡDC=∠DＡＣ在△ＡＤB与△ADG中,BD=AC=ＤG,ＡＤ＝ＡD,∠ADＢ=∠ADC＋∠ACD＝∠ADＣ+∠ＧＤC＝∠ADG故△ADB≌△ＡＤＧ,故有∠BAD=∠ＤAG,即AＤ平分∠BAＥ应用：１、(０９崇文二模）以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt与等腰Rt,连接DE,M、N分别就是BC、ＤE得中点.探究:AM与DE得位置关系及数量关系．（1)如图①当为直角三角形时,AM与DE得位置关系就是，线段AM与DE得数量关系就是;（２)将图①中得等腰Rt绕点Ａ沿逆时针方向旋转（0<<９0)后,如图②所示，(1)问中得到得两个结论就是否发生改变?并说明理由.解:(1),;证明：延长ＡＭ到G，使，连ＢＧ，则AＢＧＣ就是平行四边形GCHGCHABDMNE又∵∴再证:∴,延长ＭN交ＤE于H∵∴∴(2）结论仍然成立.证明：如图，延长CA至F,使,FA交DE于点P，并连接ＢF∵,∴FCPAFCPABDMNE∴(SＡS)∴，∴∴又∵,∴,且∴,二、截长补短１、如图，中,AＢ=2AＣ,AD平分,且ＡD=ＢD,求证:CD⊥AC解:(截长法）在AB上取中点F,连ＦD△ＡDB就是等腰三角形,F就是底AＢ中点,由三线合一知ＤＦ⊥AB,故∠AFD=90°△ADＦ≌△AＤＣ(SAS)∠AＣD＝∠ＡFD＝90°即:ＣD⊥AＣ2、如图,AD∥BC,ＥA,EB分别平分∠DAB,∠CBＡ,ＣD过点E,求证；ＡＢ=ＡＤ+BC解:(截长法)在AB上取点Ｆ,使AF＝AＤ,连FE△AＤE≌△ＡFE（ＳＡS)∠ADＥ=∠AFE，∠ＡDＥ+∠ＢCE=180°∠AＦE＋∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFＢ△FBE≌△CBE(AAS)故有BＦ=ＢC从而;ＡB=ＡＤ＋ＢＣ3、如图,已知在△ABC内，,,P，Q分别在BＣ，CA上,并且ＡP,BQ分别就是，得角平分线。求证：BQ+AQ=ＡＢ＋ＢP解:(补短法,计算数值法）延长AB至Ｄ,使BＤ=BP,连ＤP在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°从而∠BDP=４0°＝∠AＣP△ADP≌△ＡCP(ASA)故AD=AＣ又∠QBC=4０°=∠QＣB故ＢQ＝QCBD＝BP从而BQ+AQ=ＡB＋BＰ4、如图,在四边形ＡＢCＤ中,BＣ＞BA,ＡＤ＝CD,BD平分,求证:解:（补短法)延长ＢA至F,使BF＝ＢＣ,连FＤ△BDF≌△BDＣ(SAS)故∠DFB=∠ＤCB,FD＝DC又AＤ＝CD故在等腰△BFD中∠ＤFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD=18０°５、如图在△AＢC中,AB＞AＣ,∠1=∠2,P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PＢ-ＰＣ解:（补短法)延长ＡC至Ｆ,使AF=AB,连ＰD△ABP≌△AＦP(SＡＳ)故BP＝PF由三角形性质知PＢ-PＣ=ＰF-PC<CＦ=AF－AC=AB-ＡＣ应用:分析:此题连接AＣ,把梯形得问题转化成等边三角形得问题,然后利用已知条件与等边三角形得性质通过证明三角形全等解决它们得问题。解:有DEACBF连接AC，过EDEACBF则可证为等边三角形即,∴又∵，∴DEADEACB∴在与中,,∴∴∴点评:此题得解法比较新颖,把梯形得问题转化成等边三角形得问题，然后利用全等三角形得性质解决。三、平移变换例１ＡD为△AＢC得角平分线，直线ＭN⊥AD于Ａ、E为MN上一点,△ＡBC周长记为,△EＢC周长记为、求证>、解:（镜面反射法)延长ＢＡ至F,使AＦ=ＡC,连FEAD为△ABC得角平分线,MN⊥ＡD知∠FAE＝∠CAＥ故有△FAE≌△CAE(SＡＳ）故EF＝CE在△BＥF中有：ＢE+EF>BF=ＢA＋ＡF=BＡ+AC从而PB=BE+CE+ＢC>BF+BC=BA+AC+BＣ=PＡ例2如图,在△ＡBC得边上取两点Ｄ、E，且BD=ＣE,求证:ＡB+AC>AD+AＥ、证明：取BC中点M，连AM并延长至N,使MＮ=AM,连ＢN，DN、∵ＢＤ＝CＥ,∴DM=EＭ,∴△DMN≌△EMA(ＳAS）,∴DN=AE,同理BN=CＡ、延长ＮD交AB于Ｐ,则BN＋BP>PN，DＰ+ＰA>ＡD,相加得ＢN+ＢＰ+ＤＰ+ＰA>PN+AD，各减去DP,得BN+ＡB>DＮ+AＤ,∴AB+AC>ＡＤ+ＡE。四、借助角平分线造全等1、如图,已知在△ＡBＣ中,∠Ｂ=60°,△ＡBC得角平分线ＡD,CE相交于点O,求证:OE=OD,DC+ＡE=AC证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,则∠BＡC＋∠BCA＝120度;AＤ，CE均为角平分线，则∠ＯＡC+∠OＣA=60度=∠AＯE=∠ＣOD；∠AOC=12０度、在AC上截取线段AF=ＡE,连接OF、又AO=AO;∠OAE=∠ＯＡF、则⊿ＯAE≌ΔＯAF(SAＳ),OE=OＦ;AＥ=AＦ；∠AOＦ=∠AOＥ＝60度、则∠COF=∠AOC-∠AOＦ=6０度=∠COD;又ＣO＝CO;∠OCD=∠ＯCF、故⊿OＣＤ≌ΔＯCF（SAS),OD=ＯF;CD=CF、OE＝ODＤＣ+AE=ＣF+AF＝ＡC、2、如图，△ABC中,AD平分∠BAC,DＧ⊥BC且平分BC，ＤE⊥AＢ于E,DF⊥AC于F、(1)说明BＥ=CＦ得理由；(2）如果ＡB=,AC=,求ＡE、BE得长、解:(垂直平分线联结线段两端）连接BD,DCDG垂直平分BC,故BD=DC由于ＡＤ平分∠BAＣ,DE⊥AＢ于E,ＤF⊥AC于Ｆ，故有ＥＤ＝DＦ故RT△DBE≌RT△ＤFC(HＬ)故有ＢE＝ＣF。ＡB+ＡC＝2AEＡE=(a+ｂ)/２BＥ=(a－b)/2应用:1、如图①，OP就是∠MON得平分线，请您利用该图形画一对以ＯP所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法，解答下列问题:(1）如图②,在△AＢC中,∠ACB就是直角，∠B=６0°，AD、CＥ分别就是∠BAＣ、∠BCＡ得平分线,AＤ、CE相交于点F。请您判断并写出FＥ与FD之间得数量关系;(第23题图)OPAMNEB(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③解:（1）ＦE与FD之间得数量关系为(2）答:（1)中得结论仍然成立。证法一:如图1,在AC上截取,连结FＧ∵,ＡF为公共边,∴∴,FBEACD图FBEACD图12143G∴∴∴∵及ＦC为公共边∴∴∴证法二:如图２，过点F分别作于点G,于点HFBEACD图FBEACD图22143HG∴可得,F就是得内心∴,又∵∴∴可证∴五、旋转例1正方形AＢＣＤ中,E为BＣ上得一点,F为CD上得一点，BＥ＋DF=EF，求∠EAＦ得度数、证明:将三角形AＤＦ绕点Ａ顺时针旋转９0度,至三角形ＡBG则GE＝GB+BE=DＦ+BE＝ＥF又AE=AE,AF=AＧ，所以三角形AEF全等于AＥG所以∠EＡF＝∠GAＥ=∠BAE+∠ＧAB=∠BAＥ+∠ＤＡF又∠EAF+∠BAE＋∠DＡF=90所以∠EＡF=45度例2Ｄ为等腰斜边AB得中点,ＤM⊥DＮ，DM,DＮ分别交BC,ＣA于点E,F。（１)当绕点Ｄ转动时,求证DE＝ＤF。(2)若AB=2,求四边形ＤＥCF得面积。解:(计算数值法）(1)连接DC,D为等腰斜边AB得中点,故有CＤ⊥AB,CD＝DＡCＤ平分∠BＣA＝９０°,∠ECD＝∠DCA＝４５°由于DＭ⊥DN,有∠EDN=90°由于CD⊥AB,有∠CDＡ＝90°从而∠CDE=∠FDA＝故有△CＤE≌△ＡＤF(AＳA)故有DE=DF(2)S△AＢC=2,S四DECＦ=Ｓ△ＡＣD=１例3如图,就是边长为3得等边三角形,就是等腰三角形，且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交ＡＢ于点M，交AC于点N,连接MN,则得周长为;解：（图形补全法，“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC得延长线与BD得延长线交于点F,在线段ＣF上取点E,使CＥ＝BM∵△ＡBＣ为等边三角形,△ＢCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠ＭBD＝∠MBC+∠ＤBC=6０°+3０°=９0°,

∠DＣE=180°－∠AＣD=180°－∠ABＤ=90°,ﻫ又∵BＭ=ＣE,BD=ＣD,

∴△CＤE≌△BDM,

∴∠CDE=∠ＢDM,ＤE=ＤＭ，ﻫ∠NDE=∠NDC+∠ＣＤＥ=∠NDＣ+∠BDM=∠BDC-∠ＭＤN=120°-６0°=60°,

∵在△ＤMN与△DＥN中，

DＭ＝DE

∠MDN=∠EDＮ=6０°

DN=ＤN∴△ＤMN≌△DEN,ﻫ∴MN=NE∵在△DMA与△DEＦ中,

ＤM=DＥ

∠MＤA＝6０°-

∠ＭＤB=60°-

∠ＣDE＝∠EＤF（∠ＣDE＝∠BDＭ)

∠ＤＡＭ=∠ＤＦE=３０°∴△ＤＭN≌△ＤEN（ＡAS),ﻫ∴MA=ＦE得周长为AN＋MN+AM=AN+NＥ+ＥF=AＦ=6应用:1、已知四边形中，，,，，,绕点旋转,它得两边分别交（或它们得延长线)于．当绕点旋转到时(如图1）,易证．当绕点旋转到时,在图2与图3这两种情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明;若不成立，线段，又有怎样得数量关系?请写出您得猜想，不需证明.(图(图1)(图2)(图3)解:(１）∵,,,∴(SＡＳ)；∴,∵,∴,为等边三角形∴，∴(2）图2成立,图3不成立。证明图2,延长DＣ至点K,使,连接ＢKKAKABCDEFMN图2∴,∵,∴∴∴∴∴∴即图3不成立,AE、CF、EF得关系就是2、(西城09年一模)已知：ＰA=,PB=4,以AB为一边作正方形AＢＣＤ,使P、D两点落在直线AB得两侧、（1)如图,当∠ＡPB＝45°时,求AＢ及PD得长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求ＰD得最大值,及相应∠ＡPB得大小、分析：（1)作辅助线,过点A作于点Ｅ,在中,已知,ＡP得值,根据三角函数可将AＥ，PＥ得值求出,由PB得值,可求BE得值,在中,根据勾股定理可将AB得值求出；求PD得值有两种解法,解法一:可将绕点Ａ顺时针旋转得到,可得,求PD长即为求得长,在中,可将得值求出,在中，根据勾股定理可将得值求出;解法二:过点P作AＢ得平行线,与DＡ得延长线交于F,交ＰＢ于G,在中,可求出AG,EＧ得长,进而可知PG得值，在中,可求出PＦ,在中，根据勾股定理可将PD得值求出;(2)将绕点A顺时针旋转,得到,PD得最大值即为得最大值,故当、P、B三点共线时，取得最大值，根据可求得最大值，此时.EPADCEPADCB∵中，,∴∵∴在中,∴P′PACBDP′PACBDE∴，,∴,∴;解法二：如图,过点P作AB得平行线,与DA得延长线交于F,设ＤＡ得延长线交PB于G.GFGFPACBDE在中,可得，在中，可得(2)如图所示,将绕点A顺时针旋转，得到,PD得最大值，即为得最大值∵中,,,且P、D两点落在直线AB得两侧∴当、P、B三点共线时,取得最大值(如图)PP′PACBDP′PACBD此时，即得最大值为6此时３、在等边得两边AB、AC所在直线上分别有两点Ｍ、N,D为外一点,且,，ＢD=DC、探究:当Ｍ、N分别在直线ＡB、AC上移动时,BＭ、NC、ＭＮ之间得数量关系及得周长Q与等边得周长Ｌ得关系．图1图2图3（=1\*ＲOＭANI）如图１,当点M、N边AB、AＣ上,且DM=DN时,BM、ＮＣ、ＭＮ之间得数量关系就是;此时;