第1章 三角形的证明（全章复习与巩固）（巩固篇）

第1章三角形的证明（全章复习与巩固）（巩固篇）一、单选题 1．已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则三角形的周长为（）A．1 B．1 C．1或 D．12．已知实数x，y，z满足，则以x，y，z的值为边长的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断3．如图，在中，边上的中线交于点O，则的面积为（

）A．20 B．22 C．24 D．254．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，则线段的长为（

）A．3 B．4 C．2 D．2.55．如图，点A的坐标是，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（

）A． B． C． D．6．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（

）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．138．如图，点是线段所在的直线外一点，小明进行了如下的“尺规作图”：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点；③做直线则下面结论正确的是：（

）A．B．平分C．即垂直又平分D．即不垂直也不平分9．如图,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠,使A与B重合,折痕为DE,则S△BCE：S△BDE等于（

）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：2110．已知点在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点，连接与相交于点，连接、，则①；②≌；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题11．如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则___________．12．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，那么____________度．13．如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数是为_____．14．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB=AD，过点A作分别交BC、BD于点E、F，若，则线段AE的长________．15．如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，交AD于点M、AB于点N，再分别以点M、N为圆心大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O；再分别以点A、C为圆心，大于AC，两弧相交于P、Q两点，连接PQ并延长，则图中=______．16．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．17．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为_______．18．在中，，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为______．三、解答题19．如图所示，等腰三角形中，，，线段于点D．求等腰三角形的面积；建立适当的直角坐标系，使其中一个顶点的坐标是，并写出其余两顶点的坐标．20．己知如图，中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作，交DE的延长线于点F，连接交于点G．探究和有什么数量关系和位置关系？并证明你的猜想．21．如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，，求线段的长．22．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．23．如图，在中，，AD是的角平分线，于E，点F在边AC上，连接DF．(1)求证：；(2)若，试说明与的数量关系；(3)在（2）的条件下，若，则BE的长______（用含m，n的代数式表示）．24．如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足．当时，判断的形状并说明理由；当的最小值为2时，此时；在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数．25．已知，是一条角平分线．【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：．小红的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，∵是的角平分线，且，∴______．∴______，又∵，∴______．【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：【拓展应用】如图3，在中，，分别是的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是______．参考答案1．C【分析】分是腰长和底边两种情况讨论求解．解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为，是底边时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为，综上所述，此三角形的周长是或．故选C．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．2．B【分析】根据平方式、算式平方根和绝对值的非负性求出x、y、z，再根据勾股定理的逆定理判断即可.解：∵实数x，y，z满足，∴x=5，y=12，z=13，∵52+122=132，∴x2+y2=z2∴以x，y，z的值为边长的三角形是直角三角形，故选B.【点拨】本题考查平方式、算式平方根和绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握非负性是解答的关键.3．C【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可求出的面积，根据三角形中线的性质即可求出的面积.解：，，在中，，是边上的中线，故选：C．【点拨】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．4．C【分析】根据，和的平分线相交于点F，得证，结合，计算选择即可．解：因为，和的平分线相交于点F，所以所以，所以，因为，所以，故选C．【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．5．B【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据①；②；③分别算出点坐标即可．解：点的坐标是，根据勾股定理可得：，①若，可得：，②若可得：，③若，可得：，或，，，，，，，，故点的坐标不可能是：．故选：B．【点拨】此题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，再分情况讨论．6．C【分析】延长AP交BC于点D，先根据已知条件可得AB=AD，再根据等腰三角形的性质可得AP=DP，再根据三角形中线的性质可得S△APB=S△DBP，S△APC=S△DPC，进一步可得△PBC的面积．解：延长AP交BC于点D，如图所示，∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，∴∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，∴∠PAB=∠PDB，∴BA=BD，∵BP⊥AD，∴AP=DP，∴S△APB=S△DBP，S△APC=S△DPC，∴S△PBC＝S△ABC，∵△ABC的面积为8cm2，∴△PBC的面积为4cm2，故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．7．C【分析】根据三角形的面积公式得到AD=6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．解：∵BC＝10，，AD⊥BC于点D，∴AD＝12，∵EF垂直平分AB，∴PA＝PB，PB＋PD＝PA＋PD，如图，当P为EF与AD的交点时，PA＋PD取最小值，此时，PA＋PD＝AD＝12，∴PB＋PD的最小值为12，故本题选：C．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD的长度=PB+PD的最小值是解题的关键．8．A【分析】根据“SSS”证明△ABC≌△ABD，可得∠CAB=∠DAB，然后根据三线合一即可证明CD⊥AB．解：连接AD，BD．在△ABC和△ABD中，∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB=∠DAB，∴CD⊥AB，故A正确，D错误，无法证明B、C的正确性．故选A．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了等腰三角形三线合一的性质．9．B【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8-x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x＝，则EC＝，利用三角形面积公式计算出S△BCE＝BC•CE＝×6×＝，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED＝＝，利用三角形面积公式计算出S△BDE＝BD•DE＝×5×＝，然后求出两面积的比．解：在Rt△BAC中，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∵把△ABC沿DE使A与B重合，∴AD＝BD，EA＝EB，∴BD＝AB＝5，设AE＝x，则BE＝x，EC＝8﹣x，在Rt△BEC中，∵BE2＝EC2+BC2，即x2＝（8﹣x）2+62，∴x＝，∴EC＝8﹣x＝8﹣＝，∴S△BCE＝BC•CE＝×6×＝，在Rt△BED中，∵BE2＝ED2+BD2，∴ED＝＝，∴S△BDE＝BD•DE＝×5×＝，∴S△BCE：S△BDE＝：＝14：25．故选：B．【点拨】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．10．D【分析】依据等边三角形的性质，判定△BCD≌△ACE，△ACN≌△BCM，△BCF≌△ACO，再分别依据全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，即可得到正确的结论．解：∵三角形ABC和三角形DCE都是等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE=120°，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD，故①正确；∴∠CBM=∠CAN，又∵∠BMC=∠AMO，∴∠AOB=∠ACB=60°，∴∠BOE=180°−60°=120°，故③正确；∵∠CBM=∠CAN，∠BCM=∠ACN=60°，BC=AC，∴△ACN≌△BCM(ASA)，故②正确；∴CM=CN，又∵∠MCN=60°，∴△MCN是等边三角形，故④正确；如图，过C作CG⊥BD，CH⊥AE，∵△BCD≌△ACE，∴△BCD中BD边上的高与△ACE中AE边上的高对应相等，即CG=CH，∴点C在∠BOE的角平分线上，即CO平分∠BOE，故⑤正确；如图，在BO上截取OF=OC，则△COF是等边三角形，∴CO=CF=OF，∠BFC=120°=∠AOC，又∵∠CAO=∠CBF，AC=BC，∴△BCF≌△ACO(AAS)，∴BF=AO，∴BO=BF+OF=AO+CO，故⑥正确；故选：D．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判断的综合运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．11．5【分析】作PC⊥MN于C，根据等腰三角形的性质求出MC，根据直角三角形的性质求出OC，计算即可．解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，∵PM＝PN，∴MC＝NCMN＝2，∵∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OCOP＝7，∴OM＝OC﹣MC＝5，故答案为：5．【点拨】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．12．15【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据线段的垂直平分线的性质得到，计算即可．解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，故答案为：15．【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．13．35°【分析】由直角三角形两锐角互余及∠BAE＝20°，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得答案．解：在Rt△ABC中，，，，，AC的垂直平分线DE交AC于点D，，，故答案为：35°．【点拨】本题考查了直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．14．15【分析】连接AC交BD于点O，可得AC是BD的垂直平分线，设BD=4x，则AE=3x，求出OF=OB-BF=2x-5，AF=AE-EF=3x-5，证明△BOE是等边三角形，得，利用AF=2OF列出方程求出x的值，进而可得AE的长．解：如图，连接AC交BD于点O，∵3BD=4AE，∴，设BD=4x，则AE=3x，∵△BCD是等边三角形，∴BC=CD=BD=4x，∠DCB=∠DBC=60°，∵AB=AD，BC=CD，∴AC是BD的垂直平分线，∴OB=OD=2x，OC平分∠BCD，∠AOF=90°，∴∠DCO=∠DCB=30°，∴，∵AE∥CD，∴∠AEB=∠BCD=60°，∴∠AEB=∠FBE=∠BFE=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=BF=EF=5，∠BFE=60°，∴OF=OB-BF=2x-5，AF=AE-EF=3x-5，∵∴∴∴，解得x=5，∴AE=3x=15．故答案为：15．【点拨】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是得到AF=2OF列出方程求解．15．56°【分析】先利用平行线的性质得到∠DAC＝68°，再根据基本作图得到AO平分∠DAC，则∠DAO＝∠CAO＝34°，根据基本作图得到PQ垂直平分AC，所以∠1＝90°，然后利用互余计算出∠2，从而得到∠α的度数．解：如下图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴，∴∠DAC＝∠BCA＝68°，由作法得AO平分∠DAC，∴∠DAO＝∠CAO＝×68°＝34°，由作法得PQ垂直平分AC，∴∠1＝90°，∴∠2＝90°﹣∠CAO＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝∠2＝56°．故答案为：56°．【点拨】本题考查了角平分线及垂直平分线的作图法，要由题目的作法理解AO是角平分线，PQ是垂直平分线，也考查了对顶角相等、互余、矩形的性质等，灵活运用知识是解题关键．16．42【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．解：如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝4，∵的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，∴＝42，故答案为：42．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．17．13【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．解：∵ABCD是正方形（已知）∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E∴在Rt△AFB和Rt△AED中∵∴△AFB≌△DEA（AAS）∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等）∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13故答案为：13【点拨】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．18．或【分析】把沿折叠，点B的落点E有两种情况，分情况求解即可．解：在中，，，，，是以为折痕翻折得到的，，，．当为直角三角形时，如图，当时，，点E在线段上，设，则，，，即，解得：，即；如图，当，，，，，．综上所述：当为直角三角形时，的长为或．故答案为：或．【点拨】本题考查了折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想及选择适当的直角三角形是解题的关键．19．(1)12 (2)点C的坐标为，点A的坐标为【分析】（1）由等腰三角形三线合一可知，在中，由勾股定理可求得，即可得到的面积；（2）以所在直线为x轴，的靠近B的三等分点为坐标原点，可知B点坐标为再求出点C和点A的坐标即可．解：（1）∵，∴是等腰三角形，∵，∴，在中，由勾股定理可求得，∴；（2）如图，以所在直线为x轴，的靠近B的三等分点为坐标原点，可知B点坐标为，则且，∴点C的坐标为，点A的坐标为．【点拨】此题考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、点的坐标等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．20．，；证明见分析【分析】利用，，，得出，再通过证明为等腰直角三角形，，进而可以证明，结合三角形全等的性质及互余的关系即可证明．解：，．证明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，，∵D为的中点，∴．在和中∴∴，∴，∵，即，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查三角形全等的证明，能够熟练推理出边及角度的等量关系来判定三角形全等是解题关键．21．(1)；理由见分析 (2)【分析】（1）根据，得出，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据，得出，即可得出，即可得出答案；（2）连接，设，则，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．（1）解：；理由如下：，，是的垂直平分线，，，，，，，；（2）解：连接，设，则，，，，，解得：，则．【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是作出辅助线，熟记等边对等角．22．(1)50° (2)见分析【分析】（1）根据等边三角形的性质，然后根据已知条件进行等量代换即可得到答案；（2）根据平行线的性质以及各角之间的关系，进行等量代换即可求解；（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵DFBC，∴∠FDE＝∠DEB，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∴∠1＝∠3．【点拨】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答．23．(1)证明见分析过程； (2)∠B+∠AFD=180°，理由见分析过程； (3)【分析】（1）由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，则有∠ACB=∠AED，联合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS即可证明△ACD≌△AED，再根据全等三角形的性质即可得解；（2）由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据HL判定Rt△CDF≌Rt△EDB，得到∠CFD=∠B，再根据邻补角的定义等量代换即可得解；（3）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+BE，AC=AF+CF即可得解．解：（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE；（2）解：∠B+∠AFD=180°．理由如下：由（1）得：△ACD≌△AED，∴DC=DE，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴∠CFD=∠B