高中数学：函数尖子生

第三讲函数的性质及其应用

一、函数单调性

函数的单调性主要从以下几个方面来把握：

1、会证函数的单调性，会求函数的单调区间(方法有：定义法、复合法(同增异减)、图

象法(主要是对绝对值函数与分段函数的单调性而言)、导数法(待讲))

2、会利用函数的单调性比较实数的大小或证明不等式

3、求参数的值或范围

4、解方程或不等式

5、确定函数的值域与最值.

6、重要结论

(1)对勾函数/(x)=ax+2(a>0,6>0)的单调性(记住它的图象形状).

x

(2)设/(x)是单调函数，xeR,则/(g(x))=/(x)与/'(x)=x同解.

二、函数的奇偶性

1、会根据定义或图象判断函数的奇偶性(注意定义域必须关于原点的对称)

2、若f(x)是函数，且在原点有定义，则/(0)=0.

3、若奇函数f(x)存在反函数，则其反函数也是奇函数，

4、若函数/*)定义在区间D(对称区间)上，则一定可以表示为一个奇函数和偶函

数之和，即/(x)=/⑴土+1⑴二于(二%)

22

5、奇函数f(x)在其对称区间上同增同减，偶函数/(x)在其对称区间上一增一减.

三、函数的对称性：

①若f(a-x)=f(x+b),则函数y=/(x)的图像关于直线》=审对称。.

②若f(a-x)+f(x+b)=2c,则函数y=/(x)的图像关于点(巴产,。)对.。

(注意特例，即关于x、y轴与原点对称的情形)

③若/(%)=(x),则函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称.

四、函数的周期性

1、定义如果函数y=/(x)对于定义域内任意的x,存在一个不等于0的常数T,使得

yU+T)=/(x)恒成立，则称函数兀v)是周期函数，T是它的一个周期.

一般情况下，如果T是函数/)的周期，则kT(kWN*)也是4x)的周期.

2、几个结论

(1)若函数/(x)满足/(x+M=—/(x)(或f(x+wt)=±―—)，则是式x)的一个周期.

f(x)

(2)若函数兀r)满足兀¥+刈=®一机),求证：2加是式x)的一个周期.

(3)若函数满足_/(x+〃?)=匕"»,求证:2m是4t)的一个周期.

1+/(x)

（4）若函数"）满足於+附=-1-/-）（或1+"幻或"+一1），则4m是危）的

1+/（X）1-/（x）f（x）+1

一个周期.

（5）若函数1x）满足f（x+,〃）="（其中:〃力,cGR,且a2+b10），则2m是加）

cf（x）-a

的一个周期

（6）若函数於）满足知+外=外一x）且型+幻=/仍一©，则2以一可是段）的一个周

期.（a邦）

（7）若函数兀v）满足f（n+x）=-f（a-x）,i（h+x）=一/（b-x）,则2|a一例是汽x）的一

个周期.（得6）.

（8）若函数_/（x）满足_/0n+x）=/O-x）,且«r）是偶函数，则2〃?是凡0的一个周期.

（9）若函数y（x）满足yo+x）=yo—x）,且y（x）是奇函数，则4,“是犬工）的一个周期.

五、函数的凹凸性

设/（»在区间/上连续，如果对/上任意两点七,X,,

”再+%八y（x,）+/（%,）

恒有了（七＜2，那么称/⑴在1上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；

恒有八七一）＞:，那么称/（X）在1上的图形是（向上）凸的（或凸弧）•

六、函数的图像

1.熟练掌握几个基本函数的图象的作法，包括①），=6,②y=ax+9（a力＞0）③y=J

X

2.含有绝对值的函数图象的作法，包括

①y=/（x）-»y=|/（x）|把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

②y=/（x）fy=/（|x|）把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。

（注意：它是一个偶函数）

③其它，则先去掉绝对值，写成分段函数，然后逐段画出即可。如作y=x-|x-2|。

3.三大函数图象变换

（1）平移变换规律y=/（x）fy=/（x±a）与y=f[x）-＞y-f{x）±k

（2）对称变换规律y=/（x）—^互四出J与尸/㈤关于直蟒。对称〉_

（3）伸缩变换y=/（x）—（1）

会用以上三种变换解决以下三种题型：①已知变换前后的函数，确定图像的变换过程。

②己知变换过程，写出函数式的变化过程。③利用三大函数图象变换作图.

4.函数图象的应用

（1）判断根的个数（2）求根之间的关系（3）解决一元二次方程根的分布问题（4）求

函数的单调区间（5）证明不等式（6）求函数最值等等

七、抽象函数

抽象函数与它的代表函数

抽象函数满足条件代表函数

1/(x±y)=/(x)±/(y)/(x)=kx(女w0)

/(X+V)=f(x)f(y)：/(x-y)=；

/(>1)

2/(x)=优(a>0,aw1)

/(xy)=[f(x)]y

/(孙)=fM+f(y)；

/(x)=log,,X

3

/(-)=/(x)-f(y)；f(xy)=yf(x)(Q>()MW1)

y

4f(xy)=/(%)/(y)：/(-)=f(X)=Xa

y/(y)

gw=2/y)%y)

5/(x)=cosx

y(x+i)=i+:(x),

6/(x)=tan—

1-/U)

7f(X+y)=MJ。)/(x)=tanx

1—/(%)/(y)

/(x)+/(y)=/(>)1-kY

8/(x)=log.产

l+xy1-x

/(x)=log“x或

9/(%)=-/(-)

f(x)=x--

X

例题讲解

1.如图22所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3

分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，H是漏斗中液面下落的距离，则H与

下落时间t(分)的函数关系用图象表示可能是图23中的().

2.设a>0力>0.证明：对一切的正整数n,有"+。")>("的.

22

3.设x,y,zw(0,1),求证：xy+yz+zx<x+y+z.

4.(1)实数x满足方程x+log2(2*-63)=6

(2)解方程log]2(«+F)=glog9X

(3)解不等式Iog6(l+J^)>log25%

(x-1)3+2008(%-1)=-1

5.(1)设x,y是实数，且满足《\,求x+y的值.

[(y-1)3+2008(>-1)=]

(2)解方程。+8严°7+*0°7+2%+8=0

(3)解不等式(V-20x+38)3+4/+152</+84x

(4)解方程(3x-1)(V9X2-6X+5+1)+(2x—3)(V4x2-12x+13+1)=0

1

6.若/(x)(xeR)是以2为周期的偶函数，当xw[0,l],时，=,试比较

/(处)"(3),/(吧)的大小关系.

191715

7.(1)已知犬x)是定义在R上的奇函数，当XG(0,+OO)时，/(x)=sin2OO6x-x2006,求函数

兀v)的表达式。

(2)设凡r)是奇函数，g(x)是偶函数；且/(x)-g(x)=e*,求函数火x)和g(x)表达式.

8.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且f(幻在(0,四)上是增函数，如果

/(分+1)W/5-2)在》€恒成立，求实数a的取值范围.

9.如果函数y=x3+/的图像沿x轴向左平移。个单位，得曲线。，设曲线。的方程

y=/(x)对任意的tGR都有于(t+1)=-/(1-r),试求/(l)+/(-l)等于()

A.—8—V2B.8—V2C.—8+V2D.8+V2

10.对于任意函数y=/(x),在同一坐标系中，若函数y=/(x—l)和y=/(-x+l)的图

像恒关于直线/对称，则直线/的方程为_____.

11.定义在R上的函数/(%)满足/(x+；)+/(—x+g)=2,则

/(；)+/《)+…+/(()=----

2+九

12.已知函数/(%)=--,记/(1)+/(2)+•••+/(!000)=m,

1+x

/(—)+/(-)H----1-/(---)=n,则加+〃=.

231000

13.a为何值时，函数y=(x+a)(|x+l—d+卜—3|)—2x+4a的图像有对称中心，若有,

求出其对称中心.

14.已知对于任意a,bGR,有加+3+./(a-Z0="ayS),且兀v)#);

⑴求证：火x)是偶函数；

⑵若存在正整数m使得火⑼=0,求满足於+7)=/(x)的一个7值(左0).

15.已知定义在R上的单调函数f(x)满足y(x+y)』x)t/U)且#1)=2.

(1)求证：共划为奇函数；

(2)当f>2时，不等式火Hog2f)tAk>g2f—log22r-2)<0恒成立，求实数左的取值范围.

16.已知/(幻是定义在R上的函数，/(1)=1.且对任意的xeR,都有

f(x+5)>f(x)+5,/(x+l)W/(x)+l.若g(x)=/(x)+l—x,求g(2008)的值.

17.已知/(幻是定义在R上的偶函数，若g(x)是奇函数，且g(x)=/(x-1),g⑴=2003

求/(2004)的值.

18.已知八幻是定义在R上的函数，且/(力(/(x+2)+l)=/(x+2)-l,若/(一2)=2005,

求了(2006)的值。

19.己知函数/(x)的定义域为N,且对任意正整数x,都有/(x)=/(x—2)+/(x+2),

若/(0)=2006,求/(2010).

20.设1x)是一个从实数集R到R的一个映射，对于任意的实数x,都有汽。区1,并且兀v+1)—

y(x)=/(x+2)-/u+1),求证人t)是周期函数.

21.7U)定义域为(-8,+8)上以2为周期的函数，对々GZ,用屋表示区间

(2左一1,2k+1],已知当xGio时，段)=/,

①求7U)在限上的解析式；

②对自然数k,求集合Mk={a|使方程凡0=以在IK上有两个不同的实根}。

2'

22.定义在R上的奇函数有最小正周期2,且xe(0,1)时，兀v)=----o

4'+1

①求犬x)在［-1,1］上的解析式

②证明人》)在(0,1)上为减函数

③当,"取何值时，方程/(x)=，"在［-1,1］是有解。

23.已知/(x)=0,对于定义/(x)