高中数学：高一年级下册册知识点归纳

高中数学：高一下册知识点归纳

高中数学必修二

第一章空间几何体

1.1空间几何体的结构

1、皿

定义：有两个面互相平行，期各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都

互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五雌或用对角线的端点字母，如五棱柱

ABODE—ABCDE

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧

棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2、棱锥

定义：有一个面是多边形，台各面都是有顶点的三角形，由这些面所围

成的几

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示:用各顶点字母，如五蟆2-/女。万月

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面

相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

定义：用一评行于棱锥底面的平面去栽棱推，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母,如四棱台ABCD—ABC。’

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥

的顶点

定义：以矩形的一^在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何

体

几何特征：①底面是全等的国；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直;④侧

面展开图―

5园推

定义：以直自转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆堆的顶点;③侧面展开图是Y扇形.

定义：用一评行于圆锥底面的平面去截回推,截面和底面之间的部分

几何特征:①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是

Y弓形。

球体

定义：以半国的直径所在直浅为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距嚣于半径。

※空间几何体的结构特征:面（侧面、比面、下底面）、棱、顶点、轴

1.2空间几何体的三视图和直观图

1、中心投影与平行投影

中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。

平行投影:在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。

2三视图

正视图：从前往后

侧视图：从左往右

耐图：从上往下

画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

3、直观图：斜二测画法

斜二测画法的步曝:

(1).平行于坐标轴的我依然平行于坐标轴；

(2).平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线长度不变；

(3).画法要写好。

用斜二测画法画出长方体的步腺:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3空间几何体的表面积与体积

(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，分为斜高(I为母爱)

s=1

S=w在gWS目由g=2Q7?六一^“uS国惜"友二犷/

Sw5£ts=,(c：+c""S24r加=(r+RM

S后注表=2仃(，+/)S云展点=仃(，+/)S-^=^(r2+rl+Rl+R2)

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

%=ShV^=Sh=nr1h%=3；：/电=

%=!(S'+7??+S)以噎*=；($+^?+5)〃=?万(产+木+火：)〃

4配

(4)球体的表面积和阳公式：V毕=3";$"=4万女

第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直浅、平面之间的彳谓关系

①平面：公理1:如果一条直线上的两点在Y平面内,那么这条直线在此平面

内。

公理2:过不在一条直关上的三点，有且只有一个平面

公理3:如果两个不重合的平面有一必共点，那么它们有且只

只有一条过改点的公共直线

②线关关系:1空间的两条直统有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一转共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线:不同在任何f平面内，没有公共点。

公理4:平行于同一条直线的两条侬互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

allb1=>&//c

clib

强谓：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都

公理4作用：判断空间两条直线平行的礴

③发面位置关系

(1)直比在平面内——有无数个公共点

(2)直线与平面相交——有且只有一^M点

(3)直线在平面平行——没有公共点

指出：直我与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aa来表示G

4、面面关系

平行一没有公共点；aiip

相55~~W一条较直送。anp=b

2.2直线、平面平行的判定及其性质

1、线面平行判定

定理:平面夕1条直线与此平面内的一条直线平行,则该靛与此平面平行,符号

：

作用：直线与平面的判短理

2、面面平行

定理：一个平面内的两条相交直线与另T面平行，则这两个平面平行,

作用：证画面平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

1、线面垂直

定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

作用：证线面垂直

浅面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。

桩解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜关上一点到面的垂关；

(2)过斜统上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂发。

2.00垂直

(1)定理：f平面过另一个平面的裁，则这两个平面垂直。

作用：证面面垂直

(2)二面角：从一条直式出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线

叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

(3)二面角的平面角：以二面角的楼上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直

于棱的两条射关，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如

果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

(5)求二面角的左去

①定义法：在棱_b龌有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平

面角

②垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两个面的交线所

成的角为二面角的平面角

2、垂直关系的性质定理

①线面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的

交线的直关垂直于另一个平面。

第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角与斜率

(1)直线的豳角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的陶角。特别地，当直线与

X轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为。度。因此，倾斜角的取值范围是0°<a

<180°

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90。的直线,它的陶角的正切口撤这条直线的斜率。直关的

斜率常用k表示。即—tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当ae上,90。)时，上20；当ae(90;1$01时，上<0；当a=90•时，k不

k=——(Xj*x,)

②过两点的直线的斜率公式：x：-网

:Q)当X：=%时，公郎姬取,,鹤角为90°;

(2)k与Pl、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过颇角而由直线上两点的坐

标直接求得；

(4)求直线的喇角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

3.2直线的方程

①点斜式：丁-乂藤斜率k,且过点&，N)

注意:当直线的斜率为0°时，k=0,直发的方程是y=yl。

当直我的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表

示,但因I上每一点的横坐标都等于xl，所以它的方程是x=xl。

②斜截式：y=kx+b，直辍率为k,直线在y轴上的截距为b

y-y._x-x.

③两点式：斗至一=（工f，片f）直线两点（4N）,上，力）

£+J=i

④®。b

其中直茂7与x轴交于点3°）,与）’轴交于点（°力）,即/与x轴、轴的截距分别为

Jb一

©—^，:以+功+c=°（A,B不全为0）

注意：在各式的适用范围2特殊的方程如:

包于x轴的葭：＞=＞（b为常数）；笛于y专由的陵：x=a（a为

常数）；

（5）直发系方程:即具有臬一崩性质的直线

（一）平行直关系

平行于已知直线4x+&y+C0=0（4,线是不全为0的常数）的直线系：

4x+4）y+C=0（C为常数）

（二）过定点的直比系

（i）斜率为k的直线系：＞一％=Mx—x。），直线过定点（x。，%）；

（ii）过两条直线4：4'+用＞+。1=°,4：4x+B：y+g=°的交点的直线系

方程为

（4X+3U+G）+%（4X+3J+G）=O（2为参数），其中直发乙不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当4：y=\x+4,4：y=勺工+么时,

4〃4o（=右，4.z±/2ok1k2=-i

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

3.3直线的交点坐标与睡公式

1、两条直线的交点

L:Ax+B,y+C,=0＜：Wx+5j+G=。相交

J-4.X+B,v+C,=0

交自标即成组3"B”C,"0的一螟

方程组无解o/1/4；方程组有无数解o,1与4重合

2、两点间距离公式：设题三，））用乙心）是平面直角坐标系中的两个点，

贝ijI■物=他R+OeJ

3、点到直式距离公式：一点尸（X。，％）到直线4/+为+°=°的距离

㈤+与0+＜?|

J2

4、两平行直线距离公式

在『直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

第四章圆与方程

4.1圆的方程

1、国的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心,走

长为圆的半径。

2、园的方程

（1）标准方程（X-成+、一次",圆心3。），半径为r.

（2）—+。+为+型+5=°

当小+F-4尸＞0时，方程表示国，此时圆心为G'W,半径为

2

当犷+£-4尸=0时，表示一点；当犷+炉-4尸＜0时，方程不表示任

何图形。

（3）求国方程的方法：

采用待定系数法：先设后求。确定一个国需要三个独立条件,若利用国的

标物程，

需求出a,b,r;若利用一^75^,需要求出D,E,F;

另夕陵注意多利用国的几何性质：如弦的中垂发必经过原点，以此来确定国心的位

置。

4.2直线、圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判

断：

(1)设直式/：&+3+C=°,圆C：G-ay+®-b)2=，2,圆心Qd6)到I的距

pda+Bb+C|

高为"-J笛+B：，则有d>ro/与C相离；d=ro/与C相切；

d<r<=>/与C相交

(2)设直线八加+毋'+C=0，圆C:(x-0-+U-4=L，先粉^联立消元，得

到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为△，则有

△<uo/、c汨隙.A=Ucx>/^)CWJ；△AUo/tC.相父

注：如果国心的位国在原点，可使用公式十"。="去解直浅与因相切的问

题，其中3>/。J表示切点坐标，r•表示半径。

(3)过园上一点的切发方程：

①国x2+y2=r2,园上一点为(xO,yO),则过此点的切线方程为“。干"。='

②园(x-a)2+(y-b)2=r2,园上一点％(xO,yO)，则过此点的切残方程为仪0e)仅-

a)+(yO-b)(y-b)=r2

2、园与圆的位置关系:通过两国半径的和(差)，与园心距(d)之间的大小比

较定。

设国生：5_aj-+(y_bj=r・，j：(X