用频率估计概率(导学案、教案、教学反思)

25.3用频率估计概率

一、新课导入

1.导入课题：在学完用列举法求随机事件发生的概率这节内容后，小明同学提出一个问

题.他抛掷一枚硬币10次，其正面朝上的次数为5次，是否可以说明“正面向上”这一事件发

生的概率为0.5?下面我们带着小明提出的问题进入本节课的学习——用频率估计概率.

2.学习目标：

(1)知道大量重复试验时，频率趋于一个稳定值，知道这个稳定值与概率的关系.

(2)会用频率估计概率.

3.学习重、难点：

重点：理解当试验次数较大时，试验频率趋于理论概率.

难点：用频率估计概率的思想方法解决相关实际问题.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第142页到第143页“思考”之前的内容.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：认真阅读课文，按课本要求，同学之间加强合作，进行试验，并做好

数据的统计，再对数据进行分析，观察频率的变化趋势，从中摸索有何规律.

(4)自学参考提纲：

①通过试验，完成教材第142页的表25-3以及图25.3-1.

②通过分析试验所得数据，你发现出现“正面向上''的频率有什么变化规律？

“正面向上”的频率在0.5附近摆动.

③阅读并分析表25-4中抛掷硬币实验的数据，你有什么发现？

随着试验次数的增加，“正面向上”的频率稳定于05

2.自学：学生可参考自学指导进行自学，小组交流，合作学习.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：深入课堂了解学生的试验情况，并对存在的问题进行收集.

②差异指导：对在学习中存在的突出问题进行点拨引导.

（2）生助生：小组间相互协作交流，解决学习中的问题.

4.强化：随着抛掷硬币次数的增加，硬币"正面朝上'’的频率会在0.5左右摆动，并且摆

动幅度越来越小.

第二层次学习

1.自学指导：

（1）自学内容:教材第143页“思考”到第144页“练习”之前的内容.

（2）自学时间：4分钟.

（3）自学方法：阅读、思考，并相互交流探讨各自的结论.

（4）自学参考提纲：

①当实验次数足够大时，一个随机事件出现的频率与它的概率有什么关系？

频率非常接近于概率.

②举例说明你对“概率是针对大量重复试验而言的，大量试验反映的规律并非在每一次

试验中都发生.”这句话的理解.

③练习：

a.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.

投篮次数〃5()10()15()20025030()50()

投中次数，"286078104123152251

投中频率处0.560.600.520.520.490.510.5()

//

i.计算投中频率（结果保留小数点后两位）.

ii.这名球员投篮I次，投中的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？

解：投中的概率约是0.5.

b.用前面抛掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点

数是1”的概率.

解：估计P（点数是1）=1.

6

2.自学：学生可参考自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：深入了解学生参与活动、完成任务的情况.

②差异指导：引导学生合作试验.

(2)生助生：分组合作完成试验.

4.强化：

(1)在大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数附近.只要试验的次数足

够大，我们就可以用事件A发生的频率去估计概率.

(2)概率是针对大量试验而言的，大量试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.

第三层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第144页到第145页的问题1.

(2)自学时间：4分钟.

(3)自学要求：总结用频率估计概率的思想来解决实际问题的一般思路和频率的确定

方法.

(4)自学参考提纲：

①幼树的移植成活率采用频率去估计.

②完成表25-5及表后的填空.

③怎样估计幼树移植的成活率？

随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定，用移植总数最多时成活的频率估

计幼树移植的成活率.

④练习：某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：

种子个数发芽种子个数发芽种子频率(结果保留小数点后3位)

100940.940

2001870.935

3002820.940

4003380.845

5004350.87()

6005300.883

70()6240.891

8007180.898

90()8140.904

100()9010.901

一般地，1000千克种子中大约有多少是不能发芽的？

将表中数据补全，可以看出发芽种子的频率在0.9左右摆动，所以估计种子发芽的概率

为0.9.

1000-1000x0.9=100(千克)

.,.1000千克种子中大约有100千克是不能发芽的.

2.自学：学生可参考自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：关注学困生的学习过程.

②差异指导：对完成提纲中的问题有困难的学生适时指导.

(2)生助生：交流讨论、改正错误.

4.强化：解决此类问题的基本步骤：计算频率；估计概率；作出结论.

第四层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第145页到第146页的问题2.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：先弄清损坏率的算法，再填表.

(4)自学参考提纲：

①完成教材第146页表25-6.

②可得柑橘损坏的概率为巫，所以柑橘完好的概率为3.

③怎样计算柑橘的实际成本？

用以2元/千克的价格购进10000千克的成本除以10000千克中完好柑橘的质量9000千

克，即为实际成本.

④整个问题的问答过程与问题1的解答过程有何异同？

相同点：都是用频率估计概率.

不同点：问题2是通过损坏率求完好率，而问题1是直接求发芽率.

2.自学：学生可参考自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：关注学困生的学习过程.

②差异指导：教师对重、难点之处适时点拨引导.

(2)生助生：小组间交流互助.

4.强化：

（1）解题思路：①求频率；②估计概率；③求出问题结果；④作出结论.

（2）练习：为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获n条鱼，在每一条鱼身

上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记

an

号的，那么鱼塘中鱼的条数可估计为——.你认为这种估计方法有道理吗?为什么？

b

解：有道理.不妨设鱼塘中鱼的总条数为X,则巴=2,所以x=色.

xab

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：相互交流各自的学习态度、学习方法和收获，反省

学习中的不足.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：教师对学生在课堂学习中的态度和行为上的表现进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明

确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.当然，学生随机观念的养成是循序

渐进的.这节课教师应把握教学难度，注意关注学生的接受情况.

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（70分）

1.（10分）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（D）

A.频率就是概率B.频率与试验次数无关

C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

2.（10分）下列说法正确的是（D）

A.连续抛掷骰子20次，掷出5点的次数是0,则第21次一定抛出5点

B.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖

C.天气预报说明天下雨的概率是50%,所以明天将有一半时间在下雨

D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

3.（10分）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如

图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（D）

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌

的花色是红桃

C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，

从中任取一球是黄球

D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

4.（10分）在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只，某小组做摸球

实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的

一组数据，则摸到白球的概率约是（C）

摸球的次数〃1(X)15()20050()8()0100()

摸到门球的次数/〃5896116295484601

摸到门球的概率().580.64().580.590.605().601

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

5.（10分）盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个,为求得盒中黄色乒乓球的个数,

某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒

乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为（B）

A.90个B.24个C.70个D.32个

6.（10分）一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球若干个，每个球除了颜色外没

有任何区别，小王通过大量重复试验（每次取一个球，放回搅匀后再取）发现，取出黑球的概率

稳定在0.25左右，请你估计袋中黑球的个数为上.

7.（10分）某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示:

移植总数〃40075()900()14000

成活数///369662133532036335807312628

成活的频率%0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902

〃

根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为（精确到01）.

二、综合应用（20分）

8.（10分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:

射击次数204010()20()4001()0()

“射中9环以匕”的次数153378158321801

“射中9环以上”的频率0.750.830.780.790.8()0.8()

（1）计算表中相应的“射中9环以上”的频率（精确到0.01）；

（2）这些频率具有什么样的稳定性？

解：这些频率稳定在0.8附近.

（3）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到

0.1）.

这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约为0.8.

9.（10分）动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁

的概率为0.5,活到30岁的概率为0.3.

（1）现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？

（2）现年25岁的这种动物活到30岁的概率是多少？

解：（1）设这种动物共有10n只，则根据题意可知能活到20岁的有8n只，能活到25

岁的有5n只，能活到30岁的有3n只，所以现年20岁的这种动物活到25岁的概率为

（2）由（1）知，现年25岁的这种动物能活到30岁的概率是巴=」=—.

5715

三、拓展延伸（10分）

10.（10分）鸟类学家要估计某森林公园内鸟的数量，你能用学过的知识，为鸟类学家提

出一种估计鸟的数量的方法吗？（在一定的时期内，森林公园可以近似地看做与外部环境是

相对封闭的）

解：在一年中该森林公园内的鸟相对较多的时期，选择一天（晴天）捕捉1000只鸟，并在

这些鸟的身体上做上记号，然后全部放飞，两三天后的一天（晴天）再捕捉1000只鸟，检

查其中带有记号的鸟的数量，记为a,则这段时期该森林公园内的数量是初只.

25.3用频率估计概率

拿*教与目标

【知识与技能】

理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等

时，利用统计频率的方法估计概率.

【过程与方法】

经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时,

根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概

率.

【情感态度】

通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良

好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.

【教学重点】

对利用频率估计概率的理解和应用.

【教学难点】

利用频率估计概率的理解.

堂教学过醒

一、情境导入，初步认识

问题1400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？

那么300个同学中一定有2个同学的生日相同吗？

有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同这话正确吗？

调查全班同学，看看有无2个同学的生日相同.

问题2要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了.但要估计一个

鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？

【教学说明】在前面我们学习了能列举所有可能的结果，并且每种结果的可

能性相等的随机事件的概率的求法.那么这里的两个问题情境中，很容易让学生

想到这些事件的结果不容易完全列举出来，而且每种结果出现的可能性也不一定

是相同的.从而引发学生的求知欲，对于这类事件的概率该怎样求解呢，引入课

题.

二、思考探究，获取新知

1.利用频率估计概率

试验：把全班同学分成10组，每组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得

的试验数据，并记录在下表中：

“正面向上”

“正面向上”

抛掷次数U

的频数m的频率卫

几

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

填表方法：第1组的数据填在第1行；第1,2组的数据之和填在第2行，…,

10个组的数据之和填在第10行.

如果在抛掷n次硬币时，出现m次“正面向上”，则随机事件“正面向上”

出现的频率为m/n.

【教学说明】分组是为了减少劳动强度加快试验速度，当然如果条件允许，

组数分得越多，获得的数据就会越多，就更容易观察出规律.让学生再次经历数

据的收集，整理描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识，发现数据中隐

藏的规律.

请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？

历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下：

“正面向上”

抛掷“正面向上”

试验者

次数，，次数™频率出

77

棣莫弗204810610.518

布丰404020480.5069

费勒1000049790.4979

皮尔逊1200060190.5016

皮尔逊24000120120.5005

思考随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？

在学生讨论的基础上，教师帮助归纳，使学生认识到每次试验中随机事件发

生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性，在试验次数

较少时，“正面向上”的频率起伏较大，而随着试验次数逐渐增加，一般地，频

率会趋于稳定，“正面向上”的频率越来越接近0.5,也就是说，在0.5左右摆动

的幅度越来越小.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.

【归纳结论】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳

定于某个常数P,那么事件A发生的概率P(A)=P.

思考对一个随机事件A,用频率估计的概率P(A)可能小于0吗？可能大

于1吗？

答：都不可能，它们的值仍满足OWP(A)<1.

2.利用频率估计概率的应用

问题1某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么

具体做法？

幼树移植成活率是实际问题中的一种概率，这种实际问题中的移植试验不属

于各种结果可能性相等的类型.因而要考查成活率只能用频率去估计.

在同样的条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活

的频率，若随着移植棵树n的越来越大，频率m/n越来越稳定于某个常数.则这

个常数就可以作为成活率的近似值.

上述问题可设计如下模拟统计表，补出表中空缺并完成表后填空.

移植总数n成活数m成活的频率也

n

1080.80

47

2702350.870

400369______

750662

150013350.890

90008073

从表中可以发现,幼树移植成活的频率在左右摆动，且随着统计数据的增加,

这种规律愈加明显，所以估计幼树移植成活的频率为：.

答案:（1）表中空出依次填:0.940,0.923,0.883,0.897

（2）0.9,0.9

问题2某水果公司以2元/千克价格购进10000千克的水果，且希望这些水

果能获得税前利润5000元，那么在出售这些水果（已去掉损坏的水果）时，每

千克大约定价为多少元较合适？

解：要定出合适的价格，必须考虑该水果的“完好率”或“损坏率”，如考

查“损坏率”就需要从水果中随即抽取若干，进行损坏数量的统计，并把结果记

录下来，为此可仿照上述问题制定如下表格：

水果总质损坏质损坏率（乌）

量"（千克）量（m）千克

505.500.110

10010.500.105

15015.150.101

20019.420.097

25024.250.097

30030.930.103

35035.320.101

40039.240,098

45044.570.099

50051.540.103

从表格可看出，水果损坏率在某个常数（例如0.1）左右摆动，并且随统计

量的增加，这种规律逐渐明显，那么可以把水果损坏的概率估计为这个常数，如

果估计这个概率为0.1，则水果完好的概率为09

.•.在10000千克水果中完好水果的质量为10000X0.9=9000（千克）

设每千克水果的销售价为x元，则有：

9000x-2x10000=5000

x^2.8

二出售这批水果的定价大约为2.8元/千克，可获利5000元.

思考为简单起见，能否直接把上表中500千克对应的损坏率作为损坏的概

率？

答：可以.

【教学说明】用频率估计概率时，一般是通过观察所计算的各频率数值的变

化趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数的附近，这个常数就是所求概率的估

计值.

三、运用新知，深化理解

1.小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她

第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）

113

A-iB-7C.ID.f

2.一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、4、x