新人教版高中数学必修第二册：本章复习提升

本章复习提升

易混易错练

易错点1不能正确分析空间几何体的结构而致错

1.（2020天津静海第一中学高二下月考,川。圆柱的侧面展开图是边长

分别为2a、a的矩形，则圆柱的体积为的

2.（2020河北邯郸第一中学高一下月考,#?）如图所示，在边长为8的正

三角形ABC中,E、F分别是AB、AC的中点,ADJ_BC,EH_LBC,FGJ_BC,

垂足分别为D,H,G,若将^ABC绕AD所在直线旋转180°,求阴影部分

形成的几何体的表面积.易错

BHI)C

3.(2020重庆第一中学高三下月考,*；)在多面体ABCDPQ中，平面

PADJ_平面ABCD,ABllCDllPQ,ABJLAD'PAD为正三角形,0为

AD的中点，且AD=AB=2,CD=PQ=1.

(1)求证:平面POBJ_平面PAC;

(2)求多面体ABCDPQ的体积•深度解析

易错点2平面几何定理与立体几何定理相混淆而致错

4.(2020浙江杭州八校联盟高二上期中*)下列命题中为假命题的是

A.垂直于同一直线的两个平面平行

B.垂直于同一直线的两条直线平行

C.平行于同一直线的两条直线平行

D.平行于同一平面的两个平面平行

5.（2020辽宁阜新第二高级中学高二上期末,*：）若直线a和b没有公

共点，则a与b的位置关系是（易错）

A.相交B.平行

C.异面D.平行或异面

易错点3构造图形错误导致解题错误

6.（2020重庆巴蜀中学高三下月考,*?）已知正方体AiBiCiDi-ABCD

的棱长为2,点P在线段CBi上，且BiP=2PC,平面a经过点A,P,Ci,则

正方体AiBiCiDi-ABCD被平面a截得的截面面积为（.）

A.3V6B.2V6C.5D笆

4

7.（2019北京首都师范大学附属中学高三下三模,*）已知正方体的棱

长为L每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所

得截面的面积的最大值为（）

A3yB2^3©3V2口

434,2

易错点4忽略判定定理或性质定理的必备条件致错

8.（*）已知平面all平面B，AB、CD是夹在a、0间的两条线段,A、C

在a内,B、D在0内，点E、F分别在AB、CD上，且AE:EB=CF：FD=m:

n.求证:EFII平面a.

9.(*)如图，平行六面体ABCD-AiBiCiDi的底面是菱

^,zCiCB=zCiCD=zBCD=60°.

(1)求证:CiC_LBD;

(2)当署的值为多少时,AIC_L平面CiBD?

10.(*)如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEFJ_平面ABCD,四边形

ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形，且

ADIIBC,zBAD=90°,AB=AD=|BC.

(1)求证:ADII平面BCEF;

⑵求证:BDJ_平面CDE;

(3)在线段BD上是否存在点M,使得CEII平面AMF?若存在，求出瞿的

DM

值;若不存在,请说明理由.

易错点5不能准确找出空间角致错

11.(*)如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中,E是棱CG的中点，则平面

ADiE与平面ABCD的交线与直线CiDi所成角的正切值为(易错)

A扣|C.|D.2

12.(土：)已知三棱柱ABC-AiBiCi的六个顶点都在球0的球面上，球0

的表面积为136TI,AAIJ_平面ABC,AB=6,BC=8,AC=10,则直线BCi

与平面ABiCi所成角的正弦值为()

A3ysB口^A/3

,10*55,10

13.侈选)(*)如图，在直角梯形ABCD

中,ABllCD,ABJLBC,BC=CDWAB=2,E为AB的中点,以DE为折痕把

△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2百，则()

A.平面PEDJL平面EBCD

B.PC±ED

C.二面角P-DC-B的大小为：

4

D.PC与平面PED所成角的正切值为鱼

14.(*)如图,在平行四边形ABCD中,NDAB=60°,AB=2AD=2,平面

AEDJ_平面ABCD,三角形AED为等边三角形,EFlIAB,EF=1,M,N分

别为AD,AB的中点.

(1)求证:平面EMNII平面BDF;

(2)求证:平面BDF平面ABCD;

(3)求直线FC与平面BDF所成角的正切值.

思想方法练

一、分类讨论思想在立体几何中的应用

1.(多选)(2020山东潍坊高三上期末,*：)已知等腰直角三角形的直角

边长为L现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则形成的几何

体的表面积为()

A.V2TIB.(l+V2)n

C.2V2TID.(2+V2)n

2.(4)如图，点A在平面a外,aBCD在平面a内,E、F、G、H分别是

线段BC、AB、AD、DC的中点.

(1)求证:E、F、G、H四点在同一平面上；

(2)若AC=6,BD=8,异面直线AC与BD所成角为60°,求EG的长.

二、转化与化归思想在立体几何中的应用

3.（2020陕西师大附中高一上期末,*：）已知圆锥的底面半径为1,高为

行无要想从底面圆周上一点A出发拉一条细绳绕圆锥的侧面一周再

回到A,则该条细绳的最短长度是.

4.（2020福建泉州高三下月考,"）如图1,四边形ABCD是边长为2的

菱形/BAD=60°,E为CD的中点，以BE为折痕将aCBE折起到aPBE

的位置，使得平面PBE_L平面ABED,如图2.

（1）证明:平面PABJL平面PBE;

（2）求点D到平面PAB的距离•深度解析

5.（2020福建高三4月联考,"）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD

为直角梯形,ADIIBC/ADC=90°,平面PAD_L底面ABCD,Q为AD的

中点,M是棱PC的中点,PA=PD=4,BCWAD=2,CD=V5.

Q)证明:平面BQMJ_平面PAD;

(2)求四面体P-BQM的体积.

三、函数与方程思想在立体几何中的应用

6.(2020天津和平高二4月月考,")正三棱锥P-ABC的高为2,侧棱与

底面所成的角为45°,则二面角P-AB-C的正切值是，点A到

平面PBC的距离是.

7.(2020河北衡水武邑中学高一上月考，集)如图,一个圆锥的底面半径

为2,高为6,在其中有一个半径为x的内接圆柱.

(1)试用x表示圆柱的体积；

(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?最大值是多少？

8.(2020山东济南章丘四中高三3月模拟,")如图，在三棱锥S-ABC

中,SA_L底面ABC,AC=AB=SA=2,AC_LAB,D、E分别是AC、BC的

中点,F在SE上且SF=2FE.

(1)求证:AF_L平面SBC;

(2)在线段DE上是否存在点G,使二面角G-AF-E的大小为30°?若存

在，求出DG的长;若不存在,请说明理由.

9.(*)如图,四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD,底面四边形ABCD中,AB=BC=：AD/BAD=NABC=90°,E是

PD的中点.

(1)证明:直线CEII平面PAB;

(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面

角M-AB-D的余弦值.

E

答案全解全析

易混易错练

1.答案右或1

TCZTT

解析当母线长为a时，圆柱的底面半径是£此时圆柱的体积是TTx(»2xa=Q；

IT\1T/IT

当母线长为2a时，圆柱的底面半径是会此时圆柱的体积是nx(^-)2x2a=g.

33

综上，圆柱的体积是匕或：.

TT21T

易错警示

圆柱的侧面展开图是矩形，底面圆周展开得到矩形的一边，另一边是圆柱的母线，

每一条边都有可能是母线，不能简单的认为长的一边或短的一边是母线.

2.解析由题意知,旋转后得到的几何体是一个挖去一个圆柱的圆锥，且圆锥的底

面半径为4,高为4VX圆柱的底面半径为2,高为28,所求旋转体的表面积由三部

分组成:圆锥的底面、侧面、圆柱的侧面.

圆锥的底面积为16TT,圆锥的侧面积为TTX4X8=32TT,圆柱的侧面积为

2TTX2X2V3=8V3TT,

.,.所求几何体的表面积为16TT+32TT+8V3TT=48TI+8V3TI.

易错警示

挖去圆柱后的几何体的表面积多了一个圆柱的侧面积，但圆锥的底面积并没有减

少,因为圆柱的上底面面积进行了补充，解题时要注意正确分析几何体的结构，避

免计算错误.

3.解析(1)证明:由条件易得RfADC^RfBAO,故NDAC=NABO,；.

ZDAC+ZAOB=ZABO+ZAOB=90°,.,.AC±BO,

•.•PA=PD,且0为AD的中点,...POLAD,

•.•平面PAD_L平面ABCD,平面PADCI平面ABCD=AD,POu平面PAD,

.•.PO_L平面ABCD,

又「ACu平面ABCD,/.AC±PO,

XVPOnBO=O,

.•.AC_L平面POB,

•••ACu平面PAC,

二平面POB_L平面PAC.

⑵取AB的中点E,连接CE、QE,

由(1)可知,PO_L平面ABCD,

YABu平面ABCD,.\PO±AB,

又AB±AD,POnAD=O,

，AB，平面PAD,

•''VABCDPQ=VPAD-QEC+VQ-CEB=SAPAD-AE+|S<EB-PO

=ix22x—xl+ixHx1x2)xV3=—.

223\273

方法总结

空间几何体体积问题的常见类型及其解题策略：

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公

式进行求解；

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补

形法等方法进行求解；

(3)若几何体以三视图的形式给出，则应先根据三视图得到几何体的直观图，再根

据条件求解.

4.B垂直于同一直线的两个平面平行，故A为真命题；

三条直线在同一个平面内时，才有垂直于同一条直线的两条直线平行，空间的三条

直线则不一定成立，故B为假命题；

由基本事实4可知,平行于同一条直线的两条直线平行，故C为真命题；

由基本事实4及面面平行的性质定理可知D为真命题.

故选B.

易错警示

平面几何中，垂直于同一条直线的两条直线平行;空间立体几何中,垂直于同一条

直线的两条直线可能平行,也可能异面或相交.

5.D因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点,所以选D.

易错警示

在平面几何中，若两条直线没有公共点，则两条直线平行;在空间立体几何中，若两

条直线没有公共点，则两条直线平行或异面.

6.B如图所示,A、P、J确定一个平面a,设平面anAiDi=Q，平面aDBC=M,

•••平面AAiDiDll平面BBiCiC,Z.AQIIMQ同理AMIIQQ,

•••正方体被平面a截得的截面四边形AMCiQ是平行四边形.

VBiP=2PC,.,.CiBi=2MC,gpMC=MB=L，AM=MCi=V^连接ACi,则

ACi=2V3,

由余弦定理得cosNAMCi==T，

424.MgxM”ci5

sin/AMCi=等，

，S四边形4MCiQ=2xgAMxMCixsinNAMCi=26•故选B.

易错警示

在构造截面图形时，若没有结合平面的性质，只是通过直观感知进行判断,很容易

出现截面图形判断错误的问题，对此，我们一方面要明确截面的定义;另一方面要

结合所学定理，根据几何体的结构特征，弄清楚立体图形的截面形状.

7.A根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，得在正方体

ABCD-A1B1C1D1+,

平面ABiDi与直线AAi、AiBi、AiDi所成的角是相等的,二平面ABiDi与正方

体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，要求截面面积最大，则截面为夹在面

ABiDi与面CiBD中间且过棱的中点的正六边形，如图所示,易知该正六边形的边

2

长为当•••其面积S=6x.x俘）=第故选A.

8.证明（1）当AB、CD共面时（如图①），连接AC、BD.

因为a邛,所以ACIIBD.

因为AE：EB=CF：FD,

所以EFllACllBD,且EF在平面a外.

因为ACua,所以EFII平面a

（2）当AB、CD异面时（如图②），连接AC、BD,过点A作AHIICD交0于点H,连

接BH、HD.

在AH上取点G,使AG:GH=m：n,

连接GF、GE,由⑴可得FGIIHD.

因为AG：GH=AE：EB,所以EGIIBH,

所以平面EFGlI平面011平面a.

又因为EFu平面EFG,所以EFII平面a.

图①图②

9.解析（1）证明:如图，连接AICLAC,设AC和BD交于点。连接CiO.

•.•四边形ABCD是菱形，

.\AC±BD,BC=CD.

XVzBCCi=zDCCi,CiC是公共边，

ACIBC=ACIDC.CIB=CID.

VDO=OB,.\CIO±BD.

XVACDCIO=O,

，BD，平面ACC1A1.

又平面ACCiAi,

.*.CiC±BD.

(2)由⑴知BD_L平面ACQAL

•；AiCu平面ACCiAi,BD±AiC.

瞪=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形.

易证BCi±AiC.

又•.•BDnBCi=B,；.AiC_L平面CiBD.

故用=1时,AIC_L平面GBD.

CLj

10.解析⑴证明:因为ADllBC,BCu平面BCEF,AD。平面BCEF,所以ADII平面

BCEF.

(2)证明:因为四边形ADEF为正方形，

所以DE_LAD.因为平面ADEF_1_平面ABCD,平面ADEFCI平面ABCD=AD,DEu

平面ADEF,所以DE_L平面ABCD.

因为BDu平面ABCD,所以DE±BD.

如图，取BC的中点N,连接DN.

由BNllAD,AB=AD=|BC,zBAD=90°,

可得四边形ABND为正方形，

所以DN=AB,所以DN=^BC.

所以BD±CD.

因为CDClDE=D,CD,DEu平面CDE,

所以BD,平面CDE.

E

(3)存在，当M为BD的中点时,CEII平面AMF.

连接AN交BD于点M,连接NF,MF,由于四边形ABND为正方形,

所以M是BD的中点，同时也是AN的中点.

因为NC=AD,NCllAD,四边形ADEF为正方形，

所以NC=FE,NCllFE,

所以四边形NCEF为平行四边形.

所以CEIINF.

又因为NFu平面AMF,CE<Z平面AMF,

所以CEII平面AMF,此时需=1.

11.A延长D正与直线CD交于点F,连接AF,

则平面ADiE与平面ABCD的交线为AF.

VCiDillCD,

...NAFD为平面ADiE与平面ABCD的交线与直线CiDi所成的角，

•••E是棱CCi的中点，且DDillCCi,

；.CD=CF,

/.tanzAFD=^=1.

易错警示

找异面直线所成的角时，注意角的顶点位置不同，计算会有难易之分.如角的顶点

选取不当，虽然角能作出来，但角所在的三角形的相关信息不易求,会导致求不出

角的大小，因此要恰当选取角的顶点.注意所作的角有时不一定是所求的角，可能

是所求角的补角.

12.A由AB=6,BC=8,AC=10,

得AB2+BC2=AC，AB±BC.

设球的半径为R,AAi=x,则由AAi_L平面ABC知AiC为外接球的直径，

在RfAiAC中,X2+102=(2R)2,

又4TTR2=136TT,

**.4R2=136,Ax=6,

••Sy/Ci二24A2S"8BI=18,

设点B到平面ABiCi的距离为d,

贝由Vg-ABiG=%1-AB81，得gx24&d=gx18x8,.*.d=3a,

又BC1=1O,

直线BQ与平面ABiCi所成角的正弦值为《=誓.

DC11U

13.ACPD=AD=V/E2+DE2="22+22=2必在三角形PDC

中,PD2+CD2=PC，所以PD_LCD,易知CD_LDE,又PDCIDE=D，所以CD_L平面

PED,又CDu平面EBCD,所以平面PED_L平面EBCD,故A选项正确；

若PC^ED,由EDJ_CD,可得ED_L平面PDC,则ED_LPD,而NEDP=NEDA=；

显然矛盾，故B选项错误；

二面角P-DC-B的平面角为dDE,易知NPDE=NADEW故C选项正确；

由上面分析可知/CPD为直线PC与平面PED所成的角，在RfPCD

中,tanzCPD=^=乎,故D选项错误.

14.解析⑴证明:因为M,N分别为AD,AB的中点，所以MNIIBD,

又MNQ平面BDF,BDu平面BDF,所以MNII平面BDF,

因为EFllAB,EF=l,AB=2NB=2,

所以EFllNB,EF=NB,

所以四边形FENB是平行四边形，

所以ENIIBF,

又ENQ平面BDF,BFu平面BDF,

所以ENII平面BDF,

又因为ENDMN=N,EN,MNu平面EMN,

所以平面EMNII平面BDF.

(2)证明:因为三角形AED为等边三角形,M为AD的中点，所以EM_LAD,因为平

面AED_L平面ABCD,平面AEDCI平面ABCD=AD,EMu平面AED,所以EM_1_平

面ABCD,又EMu平面EMN,

所以平面EMN_L平面ABCD.

因为平面EMNII平面BDF,

所以平面BDF_L平面ABCD.

(3)已知平行四边形ABCD中,NDAB=60°,AB=2AD=2,所以ADJLBD,

所以BC±BD,

又平面BDF_L平面ABCD,平面BDFCI平面ABCD=BD,BCu平面ABCD,

所以BC_L平面BDF,

所以NCFB即为直线FC与平面BDF所成的角.

在RfEMN中,EM=4，MN=gBD岑所以BF=EN=*

所以tar)NCFB=^^=去=£

BF7b3

T

所以直线FC与平面BDF所成角的正切值为手.

思想方法练

1.AB若绕其直角边所在直线旋转一周，则形成的几何体为圆锥,且圆锥的底面

半径为1,高为L母线长就是直角三角形的斜边长，为鱼，故形成的几何体的表面积

S=TTX1XV2+TCX12=(V2+1)TT;

若绕其斜边所在直线旋转一周，则形成的几何体是由两个同底圆锥组成的,且圆锥

的半径是直角三角形斜边上的高,为号两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,

母线长是1,故形成的几何体的表面积S=2XTTX^X1=V2TT.

综上可知，形成的几何体的表面积是(A+1)TT或a化故选AB.

2.解析Q)证明:..任、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点,，FGIIBD,

且FG=|BD,EHllBD,且EH=|BD,二FGIIEH,且FG=EH,.\四边形EFGH为平行四

边形,，E、F、G、H四点在同一平面上.

(2)由(1)知四边形EFGH为平行四边形，且FG=1BD=4,FE=iAC=3.

•.•异面直线AC与BD所成的角为60°,

...FG、FE所成的角为60°,AzGFE=60°^zGFE=120°.

当NGFE=60°时,EG2=FE2+FG2-2FE.FGcos600=25-12=13,止匕时EG=V13;

当NGFE=120°时,EG2=FE2+FG2-2FE-FGcos120°=25+12=37,止匕时EG=V37.

AEG的长为g或g.

3.答案4V2

解析如图所示:

沿SA剪开，再展开后得到扇形SAAi,连接AAi,易知细绳的最短长度为AAi的长

度.

•.•圆锥的底面半径为1,高为同，

•••扇形的弧长为2TT1=2TI,母线SA=4.

在扇形SAAi中，易得NASAI甘,，AAI=&SA=4&,即细绳的最短长度为4V2.

4.解析（1）证明:连接BD,易知ABCD是等边三角形,..任为CD的中点,...

BE±CD.

VABIICD,/.AB±BE.

又平面PBEJ_平面ABCD,平面PBECI平面ABCD=BE,ABu平面ABCD,

，ABJ_平面PBE,

又ABu平面PAB,.•.平面PAB,平面PBE.

（2）解法一:在AABD中,AB=AD=2/BAD=60°,；SABD=V%

由⑴知,CELBE,，PE，BE,又平面PBE_L平面ABCD,平面PBECI平面

ABCD=BE,PEu平面PBE,

.*.PEJ_平面ABCD,又PE=CE=1,.•.三棱锥P-ABD的体积

在RfPBE中，由PE=l,BE=g,得PB=2,

由Q）知,AB_L平面PBEJ.'PBu平面PBE,

AABXPB,/.SAABP=2.

设点D到平面PAB的距离为d,则三棱锥D-PAB的体积以封=32*€1=当

解得d岑

.•.点D到平面PAB的距离为学

解法二:AB,ABu平面PAB,DEC平面PAB,，DEII平面PAB,

.•.点E到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离，

过点E作PB的垂线，垂足为F,则EF±PB,

由⑴知，平面PABJL平面PBE,平面PABCI平面PBE=PB,EFu平面PBE,

...EFJ_平面PAB,即EF为点D到平面PAB的距离.

易知PEJ_BE,

...在RfPBE中,PExBE=PBxEF,又PE=l,BE=V3,.,.PB=2,/.EF=y,

.•.点D到平面PAB的距离为当

解题反思

求点到平面的距离一般可采用两种方法:①等体积法;②找（作）出点到平面的垂线

段，进行计算即可.

5.解析Q）证明:•.•ADIIBC,BCWAD,Q是AD的中点,，DQ口BC,.•.四边形

BCDQ为平行四边形,，CDIIBQ.

zADC=90°,NAQB=90。,即BQ±AD.

又•..平面PAD_L平面ABCD,且平面PADD平面ABCD=AD,BQu平面ABCD,

...BQL平面PAD.又BQu平面BQM,

二平面BQM_L平面PAD.

（2）连接CQ.VP-BQM=VC-BQM=VM-BCQ=-VP-BCQ.

由Q）可知,四边形BCDQ为矩形，

/.SABCQ=iBQ-BC=V3.

VPA=PD,Q为AD的中点,...PQ，AD.

•.•平面PAD,平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,，PQ_L平面ABCD.

在RbPDQ中,PQ=JP）2-DQ2=2b,

•，.Vp-BQM=|Vp-BCQ=1x^xV3x2V3=l.

6.答案2警

解析如图，过点P作PO_L底面ABC,交平面ABC于点0,连接B0并延长交AC

于点D,连接PD.

取AB的中点E,连接PE、CE,则点。在CE上.

由题意可知,PE_LAB,CE_LAB,，NPE。是二面角P-AB-C的平面角.

•.•正三棱锥P-ABC的高为2,侧棱与底面所成的角为45°,

，PO=2,zPBO=45°,.*.B0=C0=P0=2,

.*.EO=1,

二面角P-AB-C的正切值tar)NPE0=^=2.

EO

在正三角形ABC中，由CE=C0+0E=3,CE_LAB,可得AABC的边长为2百,

*'.SAABC=1X2V3X3=3V3.

易知PD=V1+4=V5,

SAPBC=SAPAC=|X2V3xV5=Vi5.

设点A到平面PBC的距离为h,

*.,VP-ABC=VA-PBC,

/.|x3V3x2=1xV15xhJ?Wh=等，

.•.点A到平面PBC的距离为

7.解析(1)设圆柱的高为h,则，所以圆柱的高h=6-3x,

Lo

所以圆柱的体积V=TVX2(6-3X)(0<X<2).

(2)圆柱的侧面积S=2nx(6-3x)=6TT-(2X-X2)(0<X<2),

当x=l时,S有最大值，为61T.

8.解析(1)证明:由AC=AB=SA=2,AC±AB,E是BC