高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (14)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（14）

一、单项选择题（本大题共14小题，共70.0分）

1.已知在三棱锥P-4BC中，P41平面ABC,PA=4,AB=AC=5,BC=8,点。为8C的中

点、,记三棱锥P-ABC外接球的球心为E,三棱锥P-40C外接球的球心为凡贝1|EF=

A.?B.|C.ID.；

3332

2.已知正四面体A8CD的外接球的表面积为半，点M是线段AO的中点，点N在直线CM上运动，

则（|BN|+|DN|）2的最小值为

A.2+—B.1+渔C.2+速D.1+立

3333

3.如图，棱长为1的正方体ZBCD-4&GD1中，P为线段2$上的动点，龙-----------/

则下列结论错误的是（）

A.DG1QP

B.平面541Pl■平面&4P

C.NAP/的最大值为90°

D.A2+「。1的最小值为，2+/

4.设。是正四面体P-4BC底面2MBe的中心,过。的动平面与PC交于5,与P4PB的延长线分别

交于Q,R,则高+直+高（）

A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.既有最大值又有最小值，且两者不相等

D.是一个与平面QRS无关的常数

5.已知底面半径为1,体积为四兀的圆柱,内接于一个高为2遮圆锥（如A

则从点A绕圆锥的侧面到点BZ-X

图），线段AB为圆锥底面的一条直径，

的最短距离为（）

A.8

B.4V3

C.4V2

D.4

6.四面体ABC。的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=4,AC=BD=2VLE为AC

的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为（）

A.5:4B.5：V3C.5:3D.5:2

7.如图，在三棱柱中，E,F,6分别为棱AB,AC,A'/\]•

AAr,CG的中点，点G,“分别为四边形ABB14,BCG/对角线E\…--J

的交点，点/为AAiBiG的外心，P,Q分别在直线EF,EJi上运d/*H/

动，则在G,H,I,这三个点中，动直线PQ（）“熊校歹了"C

A.只可能经过点/B

B.只可能经过点G,H

C.可能经过点G,H,I

D.不可能经过点G,H,I

8.中国古代名词“刍（cMl）童”原来是草堆的意思，九章算术注日，凡积刍有上下广日童，薨谓其

屋盖之茨也。是故薨之下广袤与童之上广袤等。正斩方亭两边，合之即刍技之形也。古代用它

作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，今有一刍（cH）童的三视图如下，则其

外接球的表面积为（）

9.如图所示，已知四棱台4BC0-4道165的上下底面均为正方形，其中AB=2或,&&=

VI,441=BBl=CG=DD1=2,则下列叙述正确的个数为（）

(1)该四棱台的高为g，(2)A41CG，(3)该四棱台的表面积为26,(4)该四棱台外接球的表面

积为167r

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.在棱长为2的正方体力BCD-&B1GD1中，点何是对角线4cl上的点(点

M与A、G不重合)，则下列结论正确的个数为()

①存在点使得平面&DMJ•平面BGD；

②存在点M,使得DM〃平面B/D1；

③若△ADM的面积为S,则SG(竽,2百)：

④若Si、52分别是在平面AiBiQDi与平面BBiGC的正投影的面积，则存在点M,使得

Si=S2-

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.已知矩形ABC。，AB=1,AD=近,E为4。的中点，现分别沿BE,CE将AABE,△DCE翻

折，使点A,。重合，记为点尸，则几何体P—BCE的外接球表面积为()

A.107TB.57rC.vD.皿史

212

12.己知A,B,C,。四点均在球。的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点。在平面A8C

上的射影为AABC的中心，E为线段4。的中点，若BDLCE,则球。的表面积为()

A.367rB.427rC.54兀D.24遍兀

13.如图所示，正方形ABCQ的边长为2,切去阴影部分围成一个正A

四棱锥，则当正四棱锥的侧面积取值范围为()

A.(1,2)

B.(1,2]

C.(0,2]

D.(0.2)◊C

14.已知正四棱锥P-ABC。的所有顶点都在球。的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所

得的圆大小相同，若正四棱锥P-4BC0的高为2,则球。的表面积为（）

A.87rB.97rC.12兀D.16兀

二、多项选择题（本大题共2小题，共8.0分）

15.下列命题中正确的有（）

A.空间内三点确定一个平面

B.棱柱的侧面一定是平行四边形

C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上

D.一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内

16.已知棱长为1的正方体力BCD-&B1GD1，过对角线BA作平面a交棱于点E,交棱CC】于点

F,以下结论正确的是（）

A.四边形BFDiE不一定是平行四边形

B.平面a分正方体所得两部分的体积相等

C.平面支与平面OB/不可能垂直

D.四边形面积的最大值为迎

三、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

17.已知四棱锥P-4BCD的底面是边长为。的正方形，其外接球的表面积为56兀，APAB是等边三

角形，平面P4B，平面A8CZ）,则。=.

18.如图，矩形488中，BC=2AB=2,N为8c的中点，将团4BN绕直线AN翻转成团当力以占g

①与平面/AN垂直的直线必与直线CM垂直;

②线段CM的长恒为圣

③异面直线CM与NBi所成角的正切值为日;

④当三棱锥当-AND的体积最大时，其外接球的体积是三.

上面说法正确的所有序号是.

19.已知正四面体A8CD的四个顶点都在球心为。的球面上，点尸为棱BC的中点，BC=6,过点

P作球0的截面，则截面周长的最小值为.

20.在三棱锥P—4BC中，ABAC=.APDA=Z.PCA=90°,PB=PC=.点尸到底面ABC

的距离为鱼，则三棱锥P的外接球的表面积为.

21.已知三棱锥力-BCD的顶点都在球。的球面上，O/U平面ABC,Z.BAC90,DA=2圾,

若球O的体积为36力，则三棱锥力-BCD的侧面积的最大值为.

22.如图所示,正方体ABCD-4B1GD1的棱4B=2,点E,F分别为棱上的动点，记a=AE+

EF+D】F.当a取最大值时，三棱锥劣一4EF的体积为匕，当a取最小值时，三棱锥劣-4EF的

体积为彩，则匕=;卷=•

23.在长方体488-4出。也中，AB=AD=y[2,A&=2,则该长方体的外接球的表面积

为.

24.如图四边形ABC。为梯形，AD//BC,乙4BC=90°,则图中阴

影部分绕A8旋转一周所形成的几何体的表面积为,体

积为.

25.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体

积为________

26.如图，在正方体中，ACC\BD=0,E是&C(不含端点)上一动点，则下列正

确结论的序号是.

①。1。_L平面4G。；

②0E〃平面4G。；

③三棱锥4-BDE体积为定值；

④二面角/一AC-B的平面角的正弦值为

四、多空题(本大题共3小题，共12.0分)

O

27.己知长方体4BCD—4B1C1D1中，=AD=2,AAr=2V3，己知P是矩形A8C。内一动

点，P&=4,设P点形成的轨迹长度为a,则tana=_(l)_；当CJ的长度最短时，三棱锥久一

OPC的体积为_(2)_.

28.在正三棱锥S-ABC中，M是SC的中点，且AMJ.SB,底面边长AB=2近，则正三棱锥S-ABC

的体积为其外接球的表面积为_(2)_.

29.若封闭的直三棱柱4BC所有的顶点都在一个球面上，且满足4B1BCAB=6,BC=

8,44=3,,则该球的表面积为若该封闭的三棱柱内有一个体积为V的球，则丫的最

大值为_(2)_,

五、解答题(本大题共1小题，共12.0分)

30.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CZ)是平行四边形，PA=PC=a,PB=PD=#,

/.APB=乙CPD=90°,设平面/MBn平面PCD=I.

(1)证明：

(2)若平面P4B_L平面PCD,求四棱锥P-4BCD的体积.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查三棱锥的外接球及空间立体几何.属于中档题.

做辅助线得出△ABC外接圆的圆心，AaDC外接圆的圆心，通过计算可得结果.

解：设尸A的中点为G,易知平面EFG〃平面A8C,

过点E、尸分别作平面A8C的垂线，垂足分别记为E',F',所以EF=E'F'.

贝ij在△力BC中，点E'为△力BC外接圆的圆心，

在AADC中，点F'为△ADC外接圆的圆心，

可得E'C=E'A=F'C=F'A=

62

所以EF=E'F'=y/E'A2-F'A2=y.

故选A.

2.答案：B

解析：

本题考查棱锥的结构特征，正四面体的外接球，空间距离最值以及平面展开图，考查学生空间想象

能力与计算能力，属于难题.

首先将正四面体放入正方体中，求出正四面体的棱长，然后把平面8MC及平面CM。以CM为折线

展平得出：在平面。MBC中，连接B。，与MC相交于N点则。N+BN为最短距离，利用余弦定理

计算可得答案.

解：因为已知正四面体A8C。的外接球的表面积为手，将正四面体放入正方体中，正四面体的棱长

为正方体的面对角线，

设正方体棱长为小外接球的半径为凡所以4川2—言，即4R2=|=3a2,

所以正方体棱长为立，所以正四面体ABCO的棱长为1,

2

点〃是线段4。的中点，点N在直线CM上运动，把平面BCM以及平面CDM以CM为折线展平,

三角形CMD为正三角形的一半，

所以CM=渔,DM=L,CD=1,BM=—，BC=1,

222

所以在平面。MBC中，连接8。，与MC相交于N点，则+|DN|为最短距离BO,

2+--1i

在三角形BMC中，由余弦定理得COSNBMC=施甚=?

所以sin/BMC=越，

3

所以COSNDMB=cos(90°+4BMC)=-sin/BMC=-苧，

所以BM=BM2+DM2-2BM-DM-cos^DMB=：+：-2x?x：x(-手)=1+净

所以8。=Jl+y>

所以(|BN|+|£W|)2的最小值为1+乎.

故选B.

3.答案：C

解析：

本题考查正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，空间位置关系的判定,

属于难题.

利用DC】LlaBCCi，可得DC11D1P,A正确；

利用平面D14BC1平面得出平面。送止J■平面44P,8正确；

当月/=当时，乙4PD1为直角，当。<4』<当时，N4PD1为钝角，C错；

将面4&B与面4BCD1沿展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值.

解：•；1DCi，ArB1DC1,A\D\.A\BC平面，:.DCrl.^A1BCD1,DrPu面&BCO1，

DCr1DjP,A正确；

•.•平面Di4P即为平面Di&BC,平面4通「即为平面Z/BBi，且。源11平面

二平面D14BC1平面&ABB1，.•.平面Di&P_L平面&4P,正确；

当0<&P<?时，NAP/%为钝角，•••(:错；

将面与面&8CD1沿4中展成平面图形，线段即为4P+P%的最小值,

在△544中，/.D.A.A=135°,利用余弦定理解三角形得=万口^，

即4P+PD1>V2+V2>■-D正确.

故选C.

4.答案：D

解析：

本题考查棱锥的体积公式和结构特征，同时考查了三角形的面积公式，属于难题.

设正四面体P—ABC各侧棱两两夹角为a,PC与面A4B所成角为6，由%-PQR=%-PQR+%-PRS+

，0-PQ5可得结论，

解：设正四面体P-4BC中，各侧棱两两夹角为a,PC与面PAB所成角为/?,

则Vs-PQH=.卜=g（；|PQITP用sim）•|PS|•sin/J,

记。到各侧面的距离为“，

则%-PQR=^O-PQR+^O-PRS+%-PQS，

1111

HR.S/PQR,h=-SAPQR,d+-SAPRS-d+-SAPQS-d

Jdd

Xp十X

-一-

3IPQI3IP3

：.PQPRPS\sinB=d-（\PQ\.|P/?|+\PR\-PS\+\PQ\.|PS|）,

111sin3

即两+两+两=丁

故选D

5.答案：C

解析：

本题考查了旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征和旋转体上的最短距离（折叠与展开图），属

于中档题，

圆锥底面的半径为2,底面周长为4兀，母线为4,所以圆锥展开图的圆心角为兀，将圆锥展开图即可

得出结果.

解：,底面半径为1,体积为757r的圆柱，

二圆柱的高为百，

又内接于一个高为26圆锥，

根据相似原理可得5=g(r尺分别为圆柱与圆锥底面半径，h,H分别为圆柱与圆锥的高),

Rn

rH1X273n

ARn=—=——=2,

h.yf3

即圆锥底面的半径为2；.底面周长为4兀，母线为122+(2遍『=4,

所以圆锥展开图是圆心角为7T,半径为4的半圆.

将圆锥展开图如图，从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为=4VL

故选C.

解析：

本题考查几何体外接球的截面问题，考察空间想象能力，线、面垂直关系，难度较难.

首先根据题意求解大圆半径即球的半径；其次利用截面圆面积最大和最小时两截面互相垂直，即可

求解.

解：取80中点F,则根据对称性得球心。为EP中点，且EF_L4c

因为AB=BC=CD=DA=4,所以AF1BD,CF1BD,

AF=CF=J42—(V2)2-V14

EF=y/AF2-AE2=V14-2=2V3

过E作其外接球的截面，则截面面积的最大为球的大圆，

半径为04=JcjFF)2+AE2=VT+2=V5;

截面面积的最小为以4c为直径的圆，半径为鱼,

从而截面面积的最大值与最小值的比为：

7T(V5)2:7r(-72)2=5:2,

故选D

7.答案：A

解析：

本题考查了空间中的两条直线位置关系，也考查了直线过某一点的应用问题，是综合性题目.

根据题意，得出P。与G”是异面直线，PQ不过点G,且不过点H；当公当18W1时，外接圆的圆

心/为斜边41G的中点，再令尸与尸重合，。是Ei&的中点，此时PQ过点/.

解：如图所示；

三棱柱4BC-中，连接G”,则GH//E1。,

二G、H、&、Ei四点共面，即平面GH&Ei；

因为Qe瓦姆,

QC平面GHFi%,

又点PC平面GH&Ei，且QCGH,

・•.PQ与G4是异面直线，即尸。不过点G,且不过点H；

又点/为△4/1G的外心，

当ZiBilBiG时,/为4G的中点，

若P与尸重合，Q是的中点，此时尸Q过点/.

故选：A.

8.答案：B

解析:

本题考查了空间几何体的三视图，多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征和球的表面积和体积.

利用空间几何体的三视图得几何体，再利用正四棱台的性质得外接球的半径，最后利用球的表面积

公式计算得结论.

解：由三视图得：该几何体是上底边长为鱼，下底边长为2VL高为2的正四棱台.

如下图：

设上，下底面中心分别为01，02,则。1G=1,02c=2,。1。2=2.

若。为该几何体外接球球心,则。磔+02c2=oof+01cl2,

即。磔+22=（2-。。2）2+1,解得0。2=%

因此。。2=001+02c2=—+4=—,

1616

所以该几何体的外接球表面积为47rx整=竽.

164

故选民

9.答案：B

解析：

本题综合考查立体几何中线线位置关系，四棱台的表面积、外接球的问题，属于较难题.

根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的条件以及棱锥和棱台的性质，进行判断.

解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，

s

由于4B=2«，A1B1=V2，可知ASaiBi与ASAB相似比为1：2；

则SA=2441=4,AO=2,则S。=2C，则。01=同该四棱台的高为百，故(1)对；

因为$4=SC=4C=4,则44i与CG夹角为60。，不垂直，故(2)错；

该四棱台的表面积为S=S/公+S卜.底+S副=8+2+4x(功;2V2)*收一停=io+6近，

故(3)错；

由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在。。1上，

在平面8$。。1内，由于00]=C，a。1=1,则0B】=2=0B,即点。到点B与点名的距离相

等，则r=。8=2,该四棱台外接球的表面积为16兀，故(4)对，

故正确的个数为2,

故选8.

10.答案：C

解析：

本题主要考查了空间直线与平面，平面与平面的位置关系，以及三角形面积，以及投影的定义的应

用，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及熟练应用空间几何体的结构特征是解答的关

键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正确；由面面平行的性质定理，可得判定

②正确；由三角形的面积公式，可求得AAiDM的面积S的范最小值，可判定③错误；由三角形的

面积公式，得到Si，52的范围，可判定④正确.

解：连接BiC,设平面4181c。与体对角线4cl交于点M,

由&C1BC1，DC工BC[,B]CCDC=C,

可得8G1■平面4$iCD,即BGJL平面&DM,BGu平面BG。，

存在点M,使得平面41。”上平面8。1。，故①对；

由BD〃BiDi，AiD〃B]C,BDnA^D=D,nBtC=

利用面面平行的判定可得，平面&BD〃平面BiDiC,

设平面4BD与4G交于点M,可得0M〃平面Bi。。]，故②对；

连接4劣交4。于点O，过。作。ML4C1，

由①可推知，&D，平面ABGDi，

:.AtD10M,

・・・0M为异面直线必。与力G的公垂线，根据△40M7何也，则患=骨，即。M=电器=篝=

V6

—,

3

4]DM的最小面积为SAAOM=|xArDxOM=1X2>/2X-y=.誓■,故③错；

在点尸从AG的中点向着点A运动过程中，S]从1减少趋向于0,即Si6(0,1),52从0增大到趋向于

2,即S?e(0,2),

在这过程中，必存在某个点P使得工=52,故④对.

故选：C.

11.答案：c

解析：

本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力.

•••在矩形A8C。中，EALAB.EDLDC,

即在三棱锥P-BCE中PE1PC,PE1PB,

又在矩形A8CO中，AB=DC=1,AD=&，

•••在三棱锥P—BCE中，PB=PC=1,BC=V2,

•••4PBe满足勾股定理，

即PBJ.PC,

:.PB,PC,PE两两垂直，

.•・三棱锥P-BCE的夕卜接球半径N=%(PB2+PC2+PE2)+=3

44\2/8

则三棱锥P-BCE的外接球的表面积为S=47n'2=4X|X7T=^.

o2

故选c.

12.答案：C

解析：

本题考查三棱锥结构特征，以及球的表面积，属于中档题.

由线面垂直得两两垂直，则三棱锥的外接球即正方体的外接球，求球的半径，表面积即

可.

解：设△ABC的中心为G,延长BG交4C于凡则尸为AC中点，连接OF.

由题知0G，平面ABC,5LACu平面ABC,

所以。OC,

又正AABC中产为AC中点，所以AC1GB,

又DGCBG=G,DG、GBu平面QGB,

AC_L平面DGB,又DBu平面DGB,

.-.AC1DB,又BD1CE,

且CEnAC=C,CE、ACu平面AC。，

BDJ_平面ACD,又D-4BC为正三棱锥，

ZM,OB,0C两两垂直，

故三棱锥D-ABC可看作以。4DB,DC为棱的正方体的一部分,

二者有共同的外接球，由4B=6得£M=3或，

故正方体外接球直径为3鱼x国=3通，半径为当,

所以球。的表面积为4兀/?2=54TT,

故选C.

13.答案：D

解析：

本题主要考查了正四棱锥的几何性质，正四棱锥中的棱长、高、体积的计算，建立函数模型并求其

最值的方法，有一定的难度.

设四棱锥一个侧面为三角形APQ,乙4PQ=x,正四棱锥的表面积可表示为湍力，化简后，利用

基本不等式求解即可.

设四棱锥一个侧面为三角形APQ,^APQ=X,则力H=；PQxtanx=五二PQ，PQ==

221+tanx

\[2tanx

---------，

1+tanx

12\/2

S=4X^XPQX4H=2X'x

1+tanx2+2

214-taiur(1+皿1工『J—+fanx+2

tanx

(当且仅当tanx=1,即％时取等号)，而tanx>0,

故S>0,S=2时，三角形AP。是等腰直角三角形，顶角PAQ=90。，阴影部分不存在，折叠后A

与。重合，构不成棱锥，S的范围为(0,2),

故选。.

14.答案：A

解析：

本题考查棱锥的定义，以及球的表面积公式，属于较难题.

首先求出正四棱锥P-4BC。的底面边长，侧棱长，再求出球。的半径，从而得到球。的表面积.

解：设正四棱锥P-4BCD的底面边长为a,

则侧棱长为PA=J(苧尸+22=旦/，

四汕+空汕

所以C0SN4PB=72：2=

,2。2+1612。2+16Q2+8

22

所以sin乙4PB=11-(-^-)2=

\va2+8ya2+8

由于四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，

所以三角形PAB的外接圆半径为立a,

2

aox[2

所以由正弦定理得康孟玄=2x5a,解得：a2=872-8.

a2+8

设球0的外接圆半径为r,所以/=(2-r)2+4a)2,

解得r=4=见土=也,

88

所以球。的表面积为4兀"—4兀(迎)2=8兀，

故选A.

15.答案:BC

解析：

本题主要考查了平面的基本性质及其推论的应用，属于基础题.

根据平面的基本性质及其推论，以及棱柱的性质，逐项分析，即可判断出结果.

A.因为任意不共线的三点确定一个平面，故A错误；

氏根据棱柱的性质可得：正棱柱的侧面是矩形，斜棱柱的侧面可能是矩形和平行四边形，棱柱的侧

面一定是平行四边形，故B正确；

C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，

必然在交线上，故C正确：

。.若一条直线过三角形的顶点，则这条直线不一定在三角形所在的平面内，故。错误.

故选BC.

16.答案：BD

解析：

本题考查正方体中有关的线面的位置关系，解题的关键是理解想象出要画出的平面是怎样的平面，

有哪些特殊的性质，考虑全面就可以正确解题.

由平行平面的性质可得A是错误的；

运用正方体的对称性即可判断B；

当E、尸为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，可得C不正确；

当E与A重合，当尸与G重合时，BFDiE的面积有最大值衣，可得。正确.

解：如图,则:

对于A：因为平面4BB遇J/CC1D1。，平面BFOiEn平面488遇1=BE,平面BF/En平面CCi。1。=

D、F,：.BE〃D\F,同理可证：D、E〃BF,

故四边形BFQE一定是平行四边形，故力错误；

对于8：由正方体的对称性可知，平面a分正方体所得两部分的体积相等，故B正确；

对于C：当E、P为棱中点时,EF1平面B/D,又因为EFu平面8尸。出,所以平面85。遂_L平面8当0,

故C不正确；

对于D：当E与A重合，当尸与G重合时，BFDiE的面积有最大值，

此时S=1xVl2+I2=近，故。正确.

17.答案：2A/6

解析:

利用外接球的表面积56兀，求出四棱锥的外接球

半径，进而利用勾股定理求解；

考查四棱锥外接球的理解，勾股定理的应用，

正确画出示意图是解决本题的关键；

解：根据题意，画出示意图如右图所示，。为

四棱锥P-4BCD的外接球的球心，

贝也。川=\0P\=R,

设|0M|=h,

•:外接球的表面积是56兀，R=V14

d

:.h2+—=14

:+（号a-h）2=14.

联立以上两式解得a=2V6.

故答案为：2#）.

18.答案：①②④

解析：

本题考查翻折过程中点、线、面的位置关系，相关角度，长度，球的表面积的计算，考查空间想象

能力与运算能力，属于中档题.

①CM〃平面/AN,则可判断；②通过线段相等CM=NE,可求出线段NE的长即可；③异面直线

CM与NB］所成角为NENBi，求出其tan/ENBi即可；④找出球心，求出半径即可.

解：取4当的中点E,AO的中点F,连接EM,EN,FB°FN,

贝IJEM〃/10,EM=^AD,XNC//AD,NC=^AD,

则EM〃NC,EM=NC,则四边形EMCN为平行四边形,

故CM//EN,

又CM，平面Bi4N,ENu平面B14N,

故CM〃平面Bp4N,

则与平面垂直的直线必与直线CM垂直，故①正确；

CM=NE=jBi、2+BE=争故②正确；

乙ENBi即为异面直线CM与NB]所成的角（或其补角），

tan"NB】=既=：,故③错误；

当平面/ANJ■平面AN£＞时，三棱锥D-4NB1，即%-4ND的体积最大，

■:ABi=NBi，取4V中点。，则B1014N,

•••平面BiANn平面AND=AN,BRu平面&AN,

则为0JL平面AND,FOu平面AND,

则当01F0,计算得当。=F0=当，则FBi=1,

此时凡4=FD=FN=FB]=1,显然尸为三棱锥当一AND外接球球心，

所以三棱锥当-4N。外接球的半径R=R4=1,

所以三棱锥当-AND外接球体积是半，故④正确.

其中正确结论的序号是①②④.

故答案为①②④.

19.答案：6兀

解析：

本题给出正四面体的外接球，求截面圆的周长最小值.着重考查了正方体的性质、球内接多面体和

球的截面圆性质等知识，属于中档题根据题意，将四面体A8C。放置于如图所示的正方体中，则正

方体的外接球就是四面体A3CQ的外接球.因此利用题中数据算出外接球半径/?,过P点的截面到

球心的最大距离，再利用球的截面圆性质可算出截面周长的最小值.

解：将四面体ABC。放置于正方体中，如图所示

A

可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，

•••正四面体ABCD的棱长为6,

•••正方体的棱长为3vL可得外接球半径R满足2R=3乃，

P为棱BC的中点，过尸作其外接球的截面，当截面到球心。的距离最大时，

截面周长的取得最小值，此时球心。到截面的距离等于正方体棱长的一半，

可得截面圆的半径为r=JRZ_（叫J=3,得到截面周长最小值为S=2a=6n,

故答案为67r.

20.答案：67r

解析：

本题考查三棱锥的外接球问题，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属于基础题.

借助正方体即可求解.

解：如图：

如图，设0是三棱锥P—ABC外接球球心，例为8c的中点，

作pp'J.平面.ABC.OO'IPP'.则0,为4P，的中点，

00'=-PP'=—,

22

由^PDA=APCA=SM),PB=PC=y/3,PA=P.4,可得

AB=AC,又N3.4C6().得三角形ABC为等边三角形，设其边长为2a,则有，

PM1BC.AM=V3a.O'A=O'P'=^-a,P'M=等，

在Rt△PBM与Rt△PP'M中,有

PB2=BM2+PM2=BM2+PP'2+P'M2=a2+2+(ya)2=3

解得a=逅，设外接球半径为R,则在

2

Rt△00'A中，有R=0A=yj00'2+O'A2=-+1=—

则外接球的表面积为SITTR'ITTX(-^)'()7T>

故答案为67r.

21.答案：18

解析：

本题考查三棱锥与球的组合体中的计算问题，属于较难题.

由题意可得三棱锥4-BCD的外接球与分别以AB,AC,AZ）为长，宽，高的长方体的外接球为同一

球，得出外接球的半径，再根据长方体的性质可得4Ba。2=24,设

A132vz6sin0.AC'2,0<8V则三棱锥4—BCD的侧面积可得，最后利用二次函数

的性质，即可得解.

解：由题意知，三棱锥A-BCD的外接球与分别以A3,AC,AZ）为长，宽，高的长方体的外接球为

同一球，

I标/TTR367T,解得R=3,

根据长方体的性质可得48?+41+A。？=4R?=36,AB2+AC=24,

设.AB：2{siu仇.AC'2VM<8。，。<。<］，AD=273.

三棱锥4—BCD的侧面积5=

SAABD+SAACD^SAABC=1ABXAD+^ADXAC+1

ABxAC

=\/3(AB+AC)+-；ABxAC=6V5(sin°+cM)+Vlshtlk^,

设sin。+cot%=fW(1..2sin0cus0=f2-L

所以S=6at+6t2-6=6(t2+V2t)-6=6(t+引2-9，

由二次函数的图象可知，当1=鱼时，Smax=12+12-6=18,

故答案为18.

22.答案：|;3

解析：

本题考查了三棱锥的体积和组合体的结构特征，属于中档题.

第一空根据V-I任方体-八%-，1*•的出答案；第二空：根据等体积法求出彩，然后可以求出队

解：（1）显然，当E与名重合，F与C重合时，a取最大值，此时M=心方体-MQTBT

«/

如图，当E,F为三等分点时，。取最小值，取棱DD］的三等分点G,

易得GF〃AE,GFC面ZME,4Eu面。/，

所以GF〃面D/E,

所以彩二^F-D1AE=^G-DAAE=^E-D^AG

=lx(ix2xi)x2=f,

所以*=3.

V2

故答案为I；3

23.答案：8兀

解析：

本题考查外接球的表面积，属于一般题.

由题求出长方体的体对角线，则外接球的半径为体对角线的一半，进而求得答案.

解：由题意可得，长方体的体对角线为)2+2+4=2及,

则该长方体的外接球的半径为r=V2,

因此，该长方体的外接球的表面积为4兀产=87r.

故答案为87r.

24.答案：68乃；三生

解析：

本题考查几何体的表面积和体积的求法，解题时要认真审题，注意圆台、半球的表面积和体积的求

法和应用，属于一般题.

由题意，知所成几何体的表面积=圆台下底面积+圆台的侧面积+半球面面积，该几何体的体积为

明台一人牙由此能求出结果.

解：由题意，可知所成几何体的表面积等于圆台下底面积+圆台的侧面积+一半球面面积，

又1S球=|x4TTx22=8兀，

S圆台侧=兀(2+5)7(5-2)2+42=35兀，

S圆台下底二口x5?=25兀，

即所形成的几何体的表面积为8兀4-357r4-257r=68兀；

又明冷=5x(22+2x5+52)x4=52兀，

..147r—a167r

^=2XTX2=-

所以该几何体的体积为曦冷-V半球=52兀一等=等.

故答案为68TT；

25.答案：45-y

解析：

本题考查的知识点是由三视图还原几何体，再求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的

关键.

由三视图可知，这样的几何体为长方体挖一个半径为3的1球，根据体积公式得出答案.

解：由三视图可知，这样的几何体为长方体挖掉一个半径为3的上求，如图所示，

所以几何体的体积为

|/=3X3X5--X-X7TX33=45--.

832

故答案为45—手.

26.答案：②③

解析：

本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，线面平行的判定，空间中的距离，二面

角，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，面面平行的判定和面面平行的性质，考查学生的

空间想象能力，属于较难题.

利用正方体的结构特征得QB，平面&Ci。，从而对①进行判断，利用面面平行的判定得平面

为弓。〃平面力CBi，再利用面面平行的性质对②进行判断，利用线面平行的判定得&C〃平面

再利用空间中的距离得点E到平面&DB的距离是定值，再利用三棱锥的体积等量对③进行判断，

利用求二面角a-4C-8的正弦值对④进行判断，从而得结论.

解：对于①、因为在正方体4BCD-4B1GD1中，QB1平面&GD,

而过一点2只能作平面的一条垂线，因此①不正确；

对于②、因为在正方体48co-必8停1。1中，AC〃A\C\,A^D/fByC,

而&Ciu平面u平面4传1。，

4CU平面AiGD,&C仁平面A1GD,

所以AC〃平面&G。，8传〃平面&GD.

又因为4Cn8iC=C,4Cu平面4cB0&Cu平面4cB「

所以平面4的。〃平面力CBi，

而OEu平面ZCBi，因此OE〃平面4GD,所以②正确；

对于③、因为&D〃BiC,AiDu平面4]08,B]C0平面40B,

所以&C〃平面40B.

又因为E是BiC（不含端点）上一动点，

所以点E到平面4DB的距离等于BiC到平面&DB的距离，是定值，

而2L41OB也是一个定值，

因此%-41°B为定值，所以匕1-80E=%-公£>8为定值,因此③正确；

对于④、若正方体48<7。-4/1的。1的棱长为小

连接当0,

因为AC_L平面DDiBiB,B]O,OBu平面DD/iB,

所以4c_LBi。，AC1OB,

因此NBiOB是二面角氏-4C-B的平面角，

所以siPBi°B=^=看='，因此④不正确.

~2a

故答案为②③.

27.答案：-3V7

V3

T

解析：

本题考查空间中点的轨迹问题及三棱锥的体积，属于难题.

由于4P=2,则点P在矩形A8C。内的轨迹为以A点为圆心的圆上的一段弧，即命，即可求解;要

使C1P的长度最短，则只需CP长最短.即连接AC交拆于点尸，即可求解.

解：AAr=2b，P&=4,

则力P=JpA^-AAi2=^42-（2V3）2=2>

点P在矩形A3C。内的轨迹为以A点为圆心的圆上的一段弧，即命（不包括端点）,

如图所示：

设ZJL4E=9,则乙4EB=Z.DAE=0,

AB73夕

得一百L'

而a=26

则tana=tan20=言焉2碧=-3V7,

在直角三角形GUP中，CiC=2V3.

要使GP的长度最短，则只需CP长最短,即连接力C交介于点P,

则CP=AC-AP=I22+（|）2-2=|-2=?

作PH1CD交CD于■H点、,则小CHP-ACDA

1

嘴，，晦吟，得PH/

2

则％-DPC=X。。1=!X：X|X|X2g=

故答案为一3b；f.

28.答案"

127r

解析:

本题考查了正三棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，棱锥体积与球的表面积求解，难度较高.

设棱锥的高为SO,可得AC1OB,ACISO,于是4c，平面SBO,得SB1AC,结合SB1AM可证SB1

平面S4C,同理得出SA,SB,SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积，外接球的球心N在直

线S。上，设外接球半径为r,则ON