函数的概念学案

专题4函数的概念

一.映射一函数

1.映射：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则了,对于集合A中的任意一个

元素x,在集合B中都有唯一的一个元素y与x对应,则称/是集合A到集合B的映射,

记作了:Af8,其中x叫原象，y叫象.

例1.对于从集合A到集合B的映射，下列四个命题中正确的个数是（）

①B中的任何一个元素在A必有原象

②A中的不同元素在B中的象也一定不同

③A中的任何一个元素在B中的象是唯一的

④A中任何一个元素在B中可以有不同的象

A.1个B.2个

C.3个D.4个

例2.给定映射/':（阳丁）-＞（%+2%%-2V），在映射了作用下，（0,2）的象是；

（3,1）的原象是.

2.函数：设A是非空的数集，对于数集A中的任意数x,按照确定的法则了,都有唯一

的一个数y与x对应，则这种映射叫做数集A上的一个函数，记作y=/（x）,

xeA.其中x叫做自变量，自变量的集合（数集A）叫做这个函数的定义域，

所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域.

例工若函数y=〃尤）的定义域为〃={耳—2W2},值域为N={y|0VyV2},则函数

ABCD

例4.已知函数〃光)，g(x)分别由下表给出:

X123123

/(X)131g(x)321

则f[g(1)]的值为；满足，[g(%)]>g[/(%)]的X的值是

二.函数的解析式

>Y<0

例5.已知函数/(x)=一，则〃-3)=________,/(-3)>________；若

[log4xx>0

/(a)=g,则实数a的值为.

(2)%-0,若则a的取值范围是

例6.函数〃x)=«

log2(x+2)x>0

例7.已知/(%+1)=%2+2%,贝=

例8.已知函数八%)是二次函数，满足"0)=2,并且当％=1时，/(%)取得最小值-1,

则.

三.函数的定义域

根据给出的函数解析式，确定定义域，需考虑的结构有分式()、

偶次根式()、零指数幕()、

对数()等几种常见的结构。切记函数的定义域是集合，因此

结果一定是集合的形式.

例9.分别求下列函数的定义域：

①y=+2彳_3

③y=Jx+1+lg(2-x)④y=hogi(x-2)

四.函数的零点

1.函数的零点：如果函数y=f(x)在x处得值等于零，即，(“)=0,则“叫做函数

y=/(x)的零点.

例10.函数/(x)=x3-x2的零点是.

例11.已知一次函数〃无)的斜率为2,零点为1,则函数的解析式为.

例12.已知函数/（x）是定义在区间[-8,8]上的偶函数，且在[0,8]上的图象如图所示，则

函数/（x）在区间[-8,8]上有个零点，零点之和是.

2.零点的判定：如果函数y=/（x）在区间可上的图像是不间断的，并且

〃a）"（6）＜0,则函数y=〃尤）在区间[a,可上至少有一个零点.

3.二分法：

例13.在以下区间中，存在函数〃x）=V+3元-3的零点的是（）

A.[-1,0]B.[1,2]

C.[0,1]D.[2,3]

例14.函数=的零点所在的区间是（）

A.（1,2）B.（2,e）

C.（e,3）D.（3,4）

例15.方程2'+x=2的解所在区间是（）

A.（0,1）

B.。⑵

C.（2,3）

D.（3,4）

例16.设函数y=V与y=22-，的图象的交点为（%,%）,则与所在的区间是（）

A.（0,1）

B.（1,2）

C.（2,3）

D.（3,4）

专题5函数的性质

一.函数的奇偶性

1.定义:对于函数“X)定义域中的任意一个X,都有,则称f(x)

为奇函数；都有，则称〃尤)为偶函数.

例1.判断下列函数的奇偶性.

①/(x)=x2+2；②/(x)=x3+3x-l；

1

④/(%)=

1—XX+1

例2.设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()

A.是奇函数

B.到是奇函数

C.是偶函数

D.f(x)+/(-x)是偶函数

例3.若函数”力=108,卜+42+2〃)是奇函数,则实数〃=

(x+l)(x+a},一—皿

例4.设函数〃x)=-----------为奇函数,则实数。=

X

2.奇函数（偶函数）在原点（y轴）两侧的对称关系:

①奇函数的图像关于对称，偶函数的图像关于对称.

②在关于原点对称的区域，奇函数的单调性，偶函数的单调性

例5.已知〃x）是定义在R上的奇函数，且当为20时，/（x）=x2-2x,

①求/（-1）的值；②当x＜0时，求/（%）的解析式.

二.函数的单调性

1.函数的定义域为A,M^A,若对任意X],x2&M,当©=*2-%＞。时,

①如果满足,则称函数/在〃上为增函数，

②如果满足,则称函数在上为减函数.

例6.利用函数单调性定义证明函数/（尤）=上在（1,+8）上是减函数.

例7.己知“X）是定义在R上的减函数，且满足/（片）＞〃2。+3）,则实数a的取值范

围是.

例8.下列函数中，在区间（0,+oo）上是增函数的是（）

A.y=-B.y=log1x

X2

例9.已知函数/（%）=4%2-如+1在区间［_2,+00）上递增，在区间（-8,-2］上递减，则

"1）的值等于.

例10.已知函数=一如+5在［2,+co）上是增函数，则机的取值范围是

例11.已知函数/'（%）=彳2-cosx,对于-%,%上的任意为，々，有如下条件:

2

①%＞%2②x：＞X2③卜|＞工2,

其中能使/（%］）＞/（々）恒成立的条件序号是.

例12.若函数是定义在R上的偶函数，在（-8,0］上是减函数，且，（2）=0,则使

得f（x）＜0的x的取值范围是（）

A.（-oo,2）

B.（2,+00）

C.（-92）（2,+8）

D.（-2,2）

2.利用导数判断可导函数的单调性

三.函数周期性

1.对于函数/（X）,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都

有，则/（x）为周期函数，T为这个函数的一个周期.

例⑶设是定义在实数集R上且以6为周期的函数，若在（0,3）内单调递减,

且y=/（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）

A./（1.5）＜/（3.5）＜/（6.5）

B./（3.5）＜/（1.5）＜/（6.5）

C./（6.5）＜/（3.5）＜/（1.5）

D./（3.5）＜/（6.5）＜/（1.5）

例14.定义在R上的函数〃无）既是偶函数又是周期函数.若〃无）的最小正周期是万，

且当无e0,y时，/(x)=sinx,贝!Jf的值为（）

A.-1j_

B.

22

73

c.正D.

2T

2.与周期性相关的其他特征：

例15.已知〃无）是定义在实数集R上的奇函数，且〃x+2）=-〃x）,若OWxWl时,

〃x)=x,则“7.5)等于()

A.0.5B.-0.5

C.1.5D.-1.5

专题6基本初等函数

一.一次函数:y=kx+b(k^O)

k>Qk<0

y，/yi

\

/

图像

/0X0

定义域

值域

单调性

奇偶性

二.反比例函数:y二勺搂0)

三.二次函数:y=ax1+bx+c(ow0)

a>0a<0

图像

定义域

值域

单调性

奇偶性

例1.如果函数〃x)=/+6x+c对任意实数都有〃2+X)=〃2-X),则()

A./(2)</(1)</(4)

B./(1)</(2)</(4)

C.〃2)<〃4)<〃1)

D.〃4)<〃2)</■⑴

例2.若函数〃力=(加一1"+2〃眈+3为偶函数，则“X)在区间(-3,1)上()

A.单调递增B.单调递减

C.先增后减D.先减后增

例3.已知二次函数/(x)的二次项系数为0,且不等式”x)>-x的解集为(1,2),如果

的最大值为正数，则。的取值范围是.

二.指数与对数

1.指数运算:

①如果存在实数x,使得尤"=a(aeR,">l,"eN*),则x叫做。的〃次方根.

当〃为奇数时

当〃为偶数时

②分数指数氟加=赤(4>0)

“=痂^^。，〃，^《^，且竺为既约分数

消=4r,>0/,机eN*,且生为既约分数;

an

③幕的运算性质：。。/=罐+夕，(4。/=废尸，(ab)a=aaba,。0=1("0)

例4.求值：

2

①81=；②]003=；

（0-027）3+0-3-1,

例5.计算：----------詈------X（3-0.75）-2.

2.对数与对数运算:

①定义：</=N（a>0且qw1,N>0）o

②性质：log“1=；logaa=.

③运算法则：log“（MN[=；

log”M"=____________________

④其他性质：a°^b=(对数恒等式)；log。匕=(换底公式).

例6.填空：log2—=_______；log48=_______；logj8=_______；

一45

logs9=

log23

三—*.指|.L数>函,­h数

指数函数的图像与性质:

0<<2<1a>l

上

图像

0<a<1卜一、

o[t

定义域

值域

单调性

奇偶性

其它

例7.对任意的实数a>0,函数y=a»+3的图像恒过同一点，则该点的坐标为()

A.(1,3)

B.(-1,3)

C.(-1,4)

D.(1,4)

例8.设”=4a9,%=8°叫，贝U（）

A.%>%>%B.%>%>%

C.%>%>%D.%>%>%

例9.如果函数/(尤)=(4-1)，在R上是减函数，那么实数〃的取值范围是

例10.已知。=—-—,函数〃x)=a”,若实数相、〃满足，则机、〃的

大小关系为.

四.对数函数

对数函数的图像与性质:

0<^<1a>\

7A

a>1

\0<a<\

图像°|

。|/*

定义域

值域

单调性

奇偶性

其它

例1L函数/（幻=1084％（〃>0,〃£1）的反函数的图像过点（2,8）,则。的值为.

例］2.函数y=^logjx-1的定义域是

例13.若a=log37i,b=log76,c=log20.8,贝！JQ,b,c的大小关系为()

A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>a>b

D.b>c>a

例14.已知〃尤)=((3-a)“—4a"<1是R上的增函数，那么。的取值范围是()

')Ilog.xx>\

A.(l,+oo)

B.(-a),3)

c・闵

D.(1,3)

例15.若对任意ae(O,l)(1,+co),函数=2-log”(x-1)的图像恒过某定点，则该

定点的坐标为•

例16.对于函数定义域中任意的西，%（玉工工2），有如下结论：

①/（X1+X2）=/（X1）./（X2）;②"％•尤2）=”%）+"尤2）；

③小）-“无2）>o；④

玉一%I2J2

当/（x）=lgx时，上述结论中正确结论的序号是.

-1

例17.已知函数“元）=优的反函数为/（x）=logflx.

①若点（-1,2）在函数y=图象上，求尸（无）的表达式;

②在①的条件下，解不等式广X尤）>2.

五.暴函数

图像性质

a>l幕函数在第一象限性质：

①经过点（1,1）

②当£Z>0,幕函数过原点，且

y=%a

在（0,+8）上为增函数

③当6Z<0,塞函数在（0,+oo）

1r:

上为减函数

例18.已知募函数y=的图象经过点（2,4）,则〃x）的解析式为（）

A./（x）=2x

B./（x）=x2

C.〃x）=2*

D.〃x）=x+2

例19.下列函数中，既是奇函数，又是区间（0,+8）上的增函数的是（）

1

A.y=x^

B.y=x~1

C.y=/

D.y=2x

专题7函数的图像

一.基本函数的图像：

1.平移变换

①y=/(x)->y=f(x)+k：_________________________________________

②y=〃尤)->j=/(x+/z)：_________________________________________

2.对称变换

①y=->y=f(-x)：__________________________________________

②y=〃尤)ty=-〃x)：__________________________________________

3.翻折变换

①⑴Ty=/(附：_______________________________________________________________________________________

②y=/(x)->y=|/(x)|：

例2.为了得到函数y=2"3-i的图象，只需把函数丁=2工图像上所有点（）

A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

例3.函数y=——匚的图象是（）

x-1

例4.在同一坐标系中，函数>=2一、与y=-log2X的图象都正确的是（）

例5.已知函数7那么函数y（x）（）

A.是奇函数，且在（-8,0）上是增函数

B.是偶函数，且在（-8,0）上是减函数

C.是奇函数，且在（0