高考数学一轮复习 （基础知识 高频考点 解题训练）双曲线教学案

1基础都艰要打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

1.双曲线的定义

平面内与定点的距离的差的绝对值等于常数（小于血用）的点的轨迹叫做双曲线,

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程和几何性质

X2V2、y2x2、

标准方程”=l(a〉0,»0)—2-^2=1(a>0,Z?>0)

ab

\

图形F

MA

范围a或xW—a-—或y2a

对称轴：坐标轴对称中心:原

对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点

点

顶点A(―^0),4(a,0)4(0,—a),4(0,H)

渐近线y=+-x

a

性质

离心率e=:,ge(1,+OQ),其中c=yja+//

线段小金叫做双曲线的实轴，它的长|44|=四；线段姐叫做双曲线的

实虚轴虚轴，它的长|氏阂=女；旦叫做双曲线的实半轴长，幺叫做双曲线的虚

半轴长

2A2

通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为一

a

a、b、c的关系c=a+l^(c>a>0,c>6>0)

［小题能否全取］

1.（教材习题改编）若双曲线方程为六一2/=1,则它的左焦点的坐标为（）

A.甘O）B.甘0）

C.（―乎,0）D.（一木,0）

2y

-1

解析：选c・・,双曲线方程可化为f1-X

2-

・••才=1,A2=-1.c2=a2+Z?2=-|,c=^~.

左焦点坐标为[—坐，o].

2.(教材习题改编)若双曲线/=1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为()

a

2A/53

A-5B-2

C.平D.2

解析：选C依题意得a?+l=4,a2=3,

3.设凡是双曲线V—五=1的两个焦点，户是双曲线上的一点，且3|阳|=4|阳

则△阳片的面积等于()

A.4$B.8^3

C.24D.48

解析：选C由尸是双曲线上的一点和3|阳|=4|%|可知，|期|—|必|=2,解得|阳

=8,|烟|=6.又㈤网=2c=10,所以△阳K为直角三角形，所以△阳K的面积S=|x6X8

=24.

4.双曲线f—/=l(a>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为

a

解析：由题意知"亍=yj1+^=2,解得a=乎，故该双曲线的渐近线方程是4

x±y=0,即尸土十£

答案：y=±y[3x

5.已知A(0,-5),用(0,5),一曲线上任意一点〃满足|姐|—|觇|=8,若该曲线的

一条渐近线的斜率为£该曲线的离心率为a则|A|・e=.

解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在p轴上的双曲线的上支，

_。5।।4

Vc=5,女=4,/.b=3,e=-=~\k\=-.

3,493

5

答案：Q

o

1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中d=万+。2,而在双曲线中°2=/+

甘.双曲线的离心率e>l；椭圆的离心率ee（0,1）.

2.渐近线与离心率：

2211-72I2-2

卞一方=1（a〉0">0）的一条渐近线的斜率为;=\匕=A/^-=^6—1.可以看出，

双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.

［注意］当a〉》0时，双曲线的离心率满足l<e〈镜；

当a=b>0时，e=^（亦称为等轴双曲线）；

当b>a>Q时，e>^2.

3.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，

直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有

一个交点.

|g|高频考点要通关\,<•一、抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

3双曲线的定义及标准方程

占典题导入

22

［例1］⑴（2012•湖南高考）已知双曲线C：7Y一V方=1的焦距为10,点尸（2,1）在C的

渐近线上，则c的方程为（）

2222

XVxy

C————=:1D———=1

80202080

（2）（2012•辽宁高考）已知双曲线3一y=1,点凡为其两个焦点，点尸为双曲线上

一点，若PRLPFz,则|冏|+|加|的值为

22

［自主解答］⑴•.—X―V£=1的焦距为10,

ab

c=5=q才+尻①

又双曲线渐近线方程为尸土%,且夕（2J）在渐近线上一.•勺=1，即a=24②

由①②解得a=2y［5,b=乖.

(2)不妨设点户在双曲线的右支上，因为阳，必，

所以(2四)三|冏

又因为I阳IT咫1=2,所以(|阳|一|因丁=4,可得2|阳|•|阳|=4,

贝曙|阳|+|阳|1=|跖「+|咫「+2|阳|•|必|=12,所以|历|+|咫|=24.

［答案］(DA(2)2:

3由题悟法

1.应用双曲线的定义需注意的问题

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)

的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”

去掉，点的轨迹是双曲线的一支.

2.双曲线方程的求法

⑴若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为〃八夕=15水0).

2222

(2)与双曲线FX—£V=1有共同渐近线的双曲线方程可设为XF—V£=4(4/0).

abab

⑶若已知渐近线方程为mx+ny=Q,则双曲线方程可设为旌一眼=4.

否以题试法

22

1.(2012•大连模拟)设尸是双曲线二Y一乐V=1上一点，R,月分别是双曲线左右两个焦

1620

点，若|阳1=9,贝/%|=()

A.1B.17

C.1或17D.以上答案均不对

解析：选B由双曲线定义||阳|一|必||=8,又阳］=9,|必|=1或17,但双

曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>l,/.|/7?|=17.

，点二双曲线的几何性质

占典题导入

2

y

［例2］（2012.浙江高考）如图,R,4分别是双曲线C：7一7=1（&6>0）的左、右

焦点，8是虚轴的端点，直线与C的两条渐近线分别交于产,0两点，线段园的垂直平

分线与X轴交于点版若I觇|=出用|,则。的离心率是（）

y

M\"

A幽B小

A.§艮2

C.40.73

［自主解答］设双曲线的焦点坐标为E（—G0）,厌(c,0).

,:B0,6）,所在的直线为一4+《=1.①

cb

双曲线渐近线为尸士gx,

〃b

y=~x,

,a4口（acbe、

由《得O，.

xy\c-ac—a）

rb

y=--x,

,afij\

由<Xy得《aa+cc'a+CJ

,,,..（acbe\

.•.户0的中点坐标为|42,22.

\c-ac一a）

由4+4=/得，9的中点坐标可化为5

b

直线右8的斜率为k=~,

C

..20的垂直平分线为yb~~-^x炉）.

令尸0,得户方+c,

：.JI（JT+C,0）,|F,M\=^j.

由|螭|=出=得

a2ca2c

~TF=~2=2c，

bc-a

即3a2=2C*2,3<?2=|>e=-^~.

［答案］B

»>一题多变

itjt

若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为a,且了<。<至”，求双

曲线的离心率的取值范围.

解：根据题意知1<2<也，

即1<"—1<小.所以书<e<2.

即离心率的取值范围为（镜，2）.

&由题悟法

1.已知渐近线方程y=〃x,求离心率时，若焦点位置不确定时，加=2（以>0）或"=弓，

ab

故离心率有两种可能.

2.解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用.

务以题试法

22

2.（1）（2012•福建高考）已知双曲线fX—卷V=1的右焦点为（3,0）,则该双曲线的离心率

a0

等于（）

A.噂B.芈

144

34

C.-D.-

CiU

c3

解析：选C由题意知。=3,故才+5=9,解得a=2,故该双曲线的离心率8=-=3.

a2

22

（2）（2012•大同模拟）已知双曲线之一£=l（a>0,6>0）与抛物线/=8x有一个公共的

ab

焦点凡且两曲线的一个交点为P，若I加1=5,则双曲线的渐近线方程为（）

B.y=±y[^x

C.尸土小x

解析：选B设点PE,n),依题意得，点尸(2,0),由点尸在抛物线”=8x上，且|依|

（才+方=4,

777+2=5,

=5得由此解得7/7=3,n=24.于是有〈924由此解得a=\,€

n=8m,丁至二1

=3,该双曲线的渐近线方程为尸士2x=土，

a

直线与双曲线的位置关系

占典题导入

YV

［例3］(2012•南昌模拟)已知双曲线f—£=l(6〉a>0),。为坐标

ab

原点，离心率e=2,点〃(小，/)在双曲线上.

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线/与双曲线交于20两点，且。尸•。。=0.求总7+

的值，

［自主解答］(l);e=2,:•c=2a,1}=c-a=3a,

22

双曲线方程为2一三=1,即3f—/=3a；

a6a

；点、”(乖,十)在双曲线上，.\15-3=3a2.：.a=4.

：.所求双曲线的方程为今一云=1.

⑵设直线利的方程为尸府(AW0),联立今一书=1，得

则。。的方程为y=~y,

&由题悟法

1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线

方程组成方程组，消元后转化成关于x（或y）的一元二次方程.利用根与系数的关系，整体

代入.

2.与中点有关的问题常用点差法.

［注意］根据直线的斜率次与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系.

否以题试法

22

3.（2012•长春模拟）K分别为双曲线fX—£V=l（a>0,6>0）的左，右焦点，过点

ab

K作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为弘满足|町，|=3|摩，|,则此双曲线的渐

近线方程为.

解析：由双曲线的性质可得192,|=方，贝八叫，1=34在4

姐。中，IOM,|=a,|，|=c,cosZFiOM=~~,由余弦定理可

1c

知a+0°-------=-->Xc=a2+Z>2,所以22=2N，即'=平，故止匕

Lacca2,

双曲线的渐近线方程为尸

答案：y=±乎x

抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

1Hl解题训练要高效

A级全员必做题

1.（2013•唐山模拟）已知双曲线的渐近线为尸土/x,焦点坐标为（一4,0）,（4,0）,

则双曲线方程为（）

2222

xyxy

A———=1B———=1

41224

r————==1

248

解析：选A由题意可设双曲线方程为六方=山＞。，。＞。），由已知条件可得

.0=4,

方=4,//

解得浮故双曲线方程为彳一£=1.

[Z,=12,412

2.若双曲线过点包，n）（m＞n＞0）,且渐近线方程为尸土x,则双曲线的焦点（）

A.在x轴上B.在y轴上

C.在x轴或y轴上D.无法判断是否在坐标轴上

解析：选A:加＞A＞0,.,.点（见〃）在第一象限且在直线y=x的下方，故焦点在X轴

3.（2012•华南师大附中模拟）已知〃是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线/+-=

m

1的离心率为（）

2

解析：选D-6,."=±4,故该曲线为椭圆或双曲线.当加=4时，，=/小

坐当片—4时，a2十斤

4.（2012•浙江高考）如图，中心均为原点。的双曲线与椭圆有公

共焦点，M,“是双曲线的两顶点.若M,0,N将椭圆长轴四等分，则

双曲线与椭圆的离心率的比值是（）

/0

解析：选B设焦点为户（土c,0）,双曲线的实半轴长为a,则双曲线的离心率6=一,

a

椭圆的离心率金=b，所以」=2.

2a会

XV

5.（2。13.哈尔滨模拟）已知尸是双曲线4产l（a＞。，6＞。）上的点，F\,K是其焦

5

点，双曲线的离心率是I，且尸"，•尸工，=0,若△阳月的面积为9,则3+6的值为（）

A.5B.6

C.7D.8

解析：选C由尸K，・尸工，=0得尸4，，尸工，，设I尸骂，1="，1尸工，1=力，不

1c5f3-~~4，

妨设加>刀，贝|m+n=4c2,m—n=2a,—mn=^,一=:，解得<b=3,/.a+b=

2a4[c=5,

7.

6.（2012•浙江模拟）平面内有一固定线段招，|初=4,动点〃满足|必|一|阳=3,

。为28中点，贝H8|的最小值为（）

A.3B.2

3

C.-D.1

解析：选C依题意得，动点户位于以点48为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上,

结合图形可知，该曲线上与点。距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|8|的最小值等

于乡

7.（2012•西城模拟）若双曲线的一个焦点是⑶0）,则实数"=.

解析：：双曲线X?—/=1的一个焦点是（3,0）,

.,.1+4=32=9,可得A=J.

K8

1

在黑8-

、xyxy

8.（2012•天津高考）已知双曲线G：F—R=l（a>0,6>0）与双曲线G：7一左=1有

ab416

相同的渐近线，且G的右焦点为尸（小，0）,贝Ua=,b=.

22i

解析：双曲线5•一*=1的渐近线为y=±2x,则一=2,即b=2a,又因为c=邓,a

4lbaY

+l7=c,所以a=l,b=2.

答案：12

222

9.（2012•济南模拟）过双曲线当一V=l（a>0,6>0）的左焦点厂作圆/+/=彳的切

ab4

线,切点为£,延长房交双曲线右支于点P,若E为郎的中点，则双曲线的离心率为.

解析：设双曲线的右焦点为u.由于£为加的中点，坐标原点。为的中点，所以

EO//PF',又E01PF,所以用LPF,且|勿|=2X'|=a,故|即=3a,根据勾股定理得

I"'|=4而&所以双曲线的离心率为虐逅=芈.

些堂迎

合茶：2

10.(2012•宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点小K在坐标轴上，离心率为书,

且过点(4,一四).点〃(3,4在双曲线上.

(1)求双曲线方程；

(2)求证：叫•MF2=0.

解:(l)：e=M，.•.可设双曲线方程为V—/=4(/W0).

:过点(4,-710),.*.16-10=-1,即八=6.

22

...双曲线方程为工X一套V=1.

00

(2)证明：由(1)可知，双曲线中己=6=/，，c=2《，

:・F，—2&0),岳(2/,0),

mm

kMF\-----7=，kM&=------r=，

3+2y)33~2y]3

mm

kMF\•kMF2=-~—7.

y—izJ

•.•点(3,勿)在双曲线上,二・9一痛=6,着=3,

故kMF「时=—3:.MFdMF?.

MF1•MF2=0.

11.(2012•广东名校质检)已知双曲线的方程是16/-9y=144.

(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

(2)设人和“是双曲线的左、右焦点，点尸在双曲线上，且|阳|•|加|=32,求图

的大小.

22

解：⑴由16/-9?-144得„=1,

所以<3=3,6=4,c=5,

54

所以焦点坐标£(—5,0),月(5,0),离心率e=g,渐近线方程为y=±gx.

(2)由双曲线的定义可知||用I—|空||=6,

222

\PF1\+\PF2\-\F1F2\

COS5PFL21阳II-I

"]|一|臣2+2|郎|I咫|一|£知?

2|必||必|

36+64-100

则NA阳=90°.

22

12.如图，尸是以用、石为焦点的双曲线a§—%=1上的一点，p,

已知PF-PF2=0,MlPF1|=2|PF2|.

（1）求双曲线的离心率e；/

（2）过点尸作直线分别与双曲线的两渐近线相交于R,2两点，

97

若OP「OP2=—1，2P尸1+P尸2=0.求双曲线。的方程.

解：（1）由Pf\・P方2=0,得Pf\J_P耳2,即△丹阳为直角三角形.设IP耳2|=下,

|PF11=2r,所以（2下）2+/=4也21—r=2a,BP5X（2a）2=4c2.e=y[5.

⑵一二,/一匚2,可设A（xi,2矛J,P?（X2,—2x2）,P（x,y）,

27

则OPi・OP2=XlX2-^XlX2=

9

所以^1A2=-①

[x2—X=—X\—X,

由2P尸1+P尸2=0,得

[-2x2—y=­xi—y,

即x=『‘尸-x尸•又因为点）在双曲线上,

XI—X2

9

又9=4才，代入上式整理得矛i£2=d/②

O

由①②得一=2,1)=8.

故所求双曲线方程为不一《=1.

乙O

B级重点选做题

1.（2012•长春模拟）设2、金分别为具有公共焦点R、K的椭圆和双曲线的离心率，P

是两曲线的一个公共点，且满足IPF1,+PF2,\=\F1F2,\^则的值为（

解析：选A依题意，设|图|=如|%|=〃，\FiFi\—2C,不妨设0>〃.则由IPF,,十

?"，I=I招工"得I尸招，+尸工，I=IPF2,-PFl,\^\PF1,-PF2,\,即I尸耳,

22222

+PF2,\=\PF^-PF2,\,所以PFtPF2,=0,所以ffl+/7=4c.又e尸一，a

2c口m1।1-1-pr.eia]小

m—nei金4c有+/hl2

‘A~~2

\j62ei

22

XV

2.已知双曲线£=l(a>l,A>0)的焦距为2a直线/过点(&0)和(0,垃,点(1,0)

ab

4

到直线/的距离与点(TO)到直线1的距离之和s》铲，则双曲线的离心率e的取值范围

为________

解析：由题意知直线’的方程为w+\=l,即bx+ay-ab=O.由点到直线的距离公式得,

ba-ba+

点(1,0)到直线，的距离A=，同理得,点(-1,0)到直线1的距离3

yja+lj

।2ab2ab.、4,=2ab-4l-----9

—由s^c，侍丁》铲，即5虱』*

____5

所以5丘一1，2犬,BP4e-25e+25^0,解得]W/W5.

由于e>l,所以e的取值范围为"I器.

答案：害,事

22

3.设46分别为双曲线・一套=l(a>0,6>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4线,

焦点到渐近线的距离为小.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y=%x—2与双曲线的右支交于K"两点,且在双曲线的右支上存在点D,

O

使OM,+ON,=t。。，，求才的值及点〃的坐标.

b

解：(由题意知，故一条渐近线为

1)a=2i~2^3X，

即bx—2木尸3则

y/7十12

22

得9=3,故双曲线的方程为三苦=1.

（2）设"（Xi,%）,N1X2,72）,D（XQ,JO）,

则矛+1加=txo,%+乃=tyo,

将直线方程代入双曲线方程得V—16，5X+84=0,

则矛i+至=16、/§,yi+y212,

<Ab4^/3

Jb3xo=4y[3

则，