期末考试模拟（八）-人教A版（2019）高中数学必修第一册

高一上学期期末考试模拟(A)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.函数/(>)=Jlog；(x+3)+~^的定义域为()

A.(—oo,—3)B.[—3,—2)

C.(-3,-2)U(-2,+oo)D.(-3,-2)

2.已知a、beR,且则下列不等式恒成立的是()

11

-<22

A.QB.Ina>InbC.a>bD.X>X

b-

3.“a=k不，keZ”是“3sin2a-2sin2a=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用

的公式为：弧田面积=,(弦x矢+矢x矢).其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”

2

指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差.如图，现有圆心角为生的弧

3

田，其弦与半径构成的三角形面积为46，按照上述公式计算，所得弧田面积是()

A.4G+2B.4夜+3C.2G+4D.2夜+4

5.设a,人为正实数，b,,亚a,a3+4a=2b2,则log“b=()

A.1B.&C.-D.2

2

6.已知函数/(x)是定义在A上的偶函数，且在区间［0,+8)上单调递增.若实数。满足

/(iog2a)+/(logja)„2f(2),则a的取值范围是()

7.已知函数7(%)=Asin(d>x+(p)(A>0，。>0,|勿<1)的部分图象如图所示，则下列关于

函数/(x)的说法正确的是()

A.图象关于点(_?,0)对称B.最小正周期为工

2

C.图象关于直线x=工对称D.在区间［工，生］上单调递增

6

8.己知函数/(x)=9一及*'2,则方程f(x)+/(2-x)=4的所有解的和为()

［(x-2),x>2

A.0B.1C.2D.3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.函数/(x)=Acos(0x+e)(A>O,。>0,|夕|<§的部分图象如图所示，则/(x)=(

)

17C

A.-C0S(2^X+y)B.—cos(2^rx+—)

26

C.——sin(2^rx+-)D.—sin(24x----)

23

2r一(i

10.函数/'(%)=二;在区间(b,+8)上单调递增，则下列说法正确的是()

X+1

A.a>-2B.h>-IC.心-1D.a<-2

11.设a>0,b>Q,。+2b=1,则()

A."的最大值为工B./+4/?2的最小值为工

82

工△的最小值为

C.8D.2。+心的最小值为久历

ab

12.已知/(x)是定义在R上的奇函数，且/(l+x)=/(l-x),当(凝k1时，f{x)=x,关于

函数g(x)=|/(x)|+/(|x|),下列说法正确的是()

A.g(x)为偶函数

B.g(x)在(1,2)上单调递增

C.g(x)在［2016,2020］上恰有三个零点

D.g(x)的最大值为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某商标图案(如图所示)是在一个苹果图案中，以曲线段为分界线，裁去一部分图

形制作而成的.如果该分界线是一段半径为A的圆弧，且A,3两点间的距离为|A8|=GR,

那么分界线的长度为

14.若函数〃x）=>小“在（1,3）上递减，则函数y=log〃，-2x）增区间.

15.已知奇函数/（x）=sin（<wx+e）（<y>0,|夕|<9,函数/（x）图象的相邻两对称轴的距离

为券，则函数f（x）的单调递减区间为—.

16.爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，

控制好速度，现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为匕，下山（原路返回）的速度为

V2（V1*V2）,乙上下山的速度都是g（匕+马）（两人途中不停歇），则甲、乙两人上下山所用

时间之比为：；甲、乙两人上下山所用时间之和最少的是—.

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18—22题，每题12分，共70分。解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.己知wA={”/（X）=/〃（x2+/x+f）,xeR},q:teB-{t\2a-\<t<a+\].

（I）求集合A；

（2）若。是q的必要不充分条件，求。的取值范围.

18.己知函数/（x）=G-l,^（x）=—+1.

（1）求函数g（x）的值域；

（2）求满足方程/（X）-g（x）=0的x的值.

19.已知函数f(x)=5^sin(2018^--x)sin(~+-^)-cos2x+1

(1)求函数f(x)的对称中心；

(2)若对于任意的都有1/3-机|,,1恒成立，求实数机的取值范围.

20.已知函数/(x)=/g(2+x)+/g(2-x).

(1)求函数/(%)的定义域并判断函数/(x)的奇偶性；

(2)记函数g(x)=10〃*>+3x,求函数g(x)的值域；

(3)若不等式/(x)>，"有解，求实数，〃的取值范围.

21.某房地产开发公司计划在一小区内建造一个矩形口袋公园MCD,公园由三个相同的

矩形休闲区(如图空白部分所示)和公园人行道组成(如图阴影部分所示).已知口袋公园

ABCD占地面积为900平方米，人行道的宽均为2米.

(1)若设口袋公园的长45=x米，试求休闲区所占地总面积S关于x的函数S(x)的

解析式；

(2)要使休闲区占地总面积最大，则口袋公园A8CD的长和宽如何设计？

22.已知y=f(x)是y=2'的反函数.

(1)若在区间U，2］上存在/使得方程_/.(叫；-4天))=2成立，求实数a的取值范围；

1Q

(2)设。>0,若对VEE'Q］,函数g(x)=/S%+l)-/(%)在区间［［,1+1］上的最大值与

最小值的差不超过1,求b的取值范围.

高一上学期期末考试模拟(八)答案

1.解：函数/(x)=/logi(x+3)+'^中,

x+3>0x>-3

令，x+3,,1,解得―，-2,即—3vxv—2,所以/⑺的定义域为(一3,-2).

1+2。0工。一2

故选：D.

2.解：当a=l,。=一1时,显然,但A不成立，

当0>a>。时B显然不成立，

当a=l,。=一1时，。显然不成立，

由于》=2、单调递增，由a>b可得2a>2”,。成立.

故选：D.

3解:由3sin2a-2sin2a=0,

3

得二sin2a-sin2a=0,

2

故3sinacosa-sin2a=0,BPsina(3cosa-sina)=0,

故sina=0或tana=3,当。=1<万，kwZ时，sina=0,

SS(3sin2a-2sin2a=0,充分性成立，

反之由tana=3不能得到&=1<%，kGZ,故必要性不成立,

故々=1<乃，kwZ"是“3sin2a-2sin2a=0”的充分不必要条件，

故选：A.

4.解：由题意，ZAOB=—,贝i」NCOA=工，

33

Ar-AB

可得把=2—=也,解得：AB=2芯OC,

OCOC

又因为弦与半径构成的三角形面积为4G=gA8xOC=；x2GoCxOC,

解得OC=2,

所以A8=4>/L

所以弧田面积=4(46x2+2x2)=48+2.

2

故选：A.

2

5.解：a,人为正实数，/?„\[la,+4a=2bf

则/+4«,4",即(。一2)2“0,解得a=2,

33

则如2=8+8,即。=2&,.­.log<i*=log2(2>/2)=log222=-,故选：C.

6.解：是定义域为R上的偶函数，

不等式/(log,a)+/(log,a)„2/(2),等价为2/(log2a)„2f(2),

2

叩了(log?a),J(2),贝IJ/(Ilog/1),J(2),

•.•在区间[0,+8)上是单调递增函数，.」log?aI,,2,即-2领Jog,,2,

解得1鼬4,故选：D.

4

7.解：由函数/(幻的图象可得4=2,/(0)=1,

所以sine=；,结合图象可得夕=2+2k;r,ksZ,又|如《，可得夕=看，

JT

所以/(x)=2sin(d?x4■—),

6

又/(——)-0，所以2sin(69xL^+工)=0,所以+'=2]，解得3=2,所以

12126126

jr

.f\x)=2sin(^--,

6

对于选项A,当》=-工时，2x4--=--,故选项A不正确；

362

对于选项5,函数/(x)的最小正周期7=等=%，故选项B不正确；

对于选项C,当x=C时，2x+-=-,故选项C正确；

662

对于选项力，当xe仁，争时，2》+看呜，y]>函数/(X)单调递减，所以选项。不

正确.

故选：C.

8.解：当x<0时，f(.2-x)=xi,此时方程/(x)+/(2-x)=4可化为2-|X|+|XF=4,该

方程的小于零的解为x=-2；

当(翳/2时，f(2-x)=2-\2-x\=x,方程/(x)+/(2—x)=4可化为2-|x|+x=4,该

方程无解；

当x>2时，f(2-x)=2-\2-x\=4-x,方程/(x)+f(2-x)=4可化为(x-2)?+4-x=4,

该方程的大于2的解为x=4,

故方程/(x)+/(2-x)=4的所有解得和为-2+4=2.

故选：C.

9.解：根据函数,f(x)=Acos((yx+°)(A>0,。>0,|9|<巳)的部分图象，

可得Aj;吟

:.s=21•

再根据五点法作图可得2万、工+夕=工，「・9=工，

626

1兀

j(x)=—cos(2^x+—),

26

故选：BD.

10.解：根据题意，£&)=红卫~=区*止之曳=2--,

8x+1x+1x+1

可以由函数y=-3的图象向左平移一个单位，向上平移2个单位得到,

X

若函数£6)=生亘在区间(4+8)上单调递增，必有-(2+a)<0且62-1,

x+1

解可得：a>-2且62-1,

故选：AC.

11.解：对于A,l=a+2b>2&而，得ab4』，当且a工，b」时取等号，故A正确；

824

对于5,…吟当且仅当得，T取等号，故B正

确；

对于C,1^=d3)Q+2b)=5但二巨>9,当且仅当@%=」寸取等号，故C错

ababab3

误；

对于Q,2。+型于2728+2b=2a，当且仅当aV，bh机寸取等号，故。正确.

故选：A8D

12.解：易知函数g(x)的定义域为R,且

g(~%)=\f-(x+)J-记书-Jf)x+|

所以g(x)为偶函数，故A正确，

因为f(l+x)=f(l-x),所以/(X)的图象关于直线X=1对称，又/(X)是奇函数，所以/(X)

是周期为4的函数，其部分图象如下图所示：

2f(x),xe\4k,2+4k]

所以当x.O时g(x)=keN,当xe(1,2)时，g(x)=2/(x),g(x)单

O,xe(2+44,4+4k]

调递减，故3错误,

g(x)在［2016,2020］上零点的个数等价于g(x)在［0,4］上零点的个数，而g(x)在［0,4］±

有无数个零点，故C错误，

当X..0时，易知g(x)的最大值为2,由偶函数的对称性可知，当x<0时，g(x)的最大值也

为2,所以g(x)在整个定义域上的最大值为2,故。正确，

故选：AD.

13.解：设圆弧4B所对圆的圆心为O.

v|AB|=V3/?,NAO3=120。，.,.分界线的长度为二xR=翌.故答案为：—.

333

14.解：函数y=Y-2x+l的对称轴方程为x=l,该函数在(1,3)上单调递增，

而函数f(x)=a在(1,3)上递减，可得0<a<1.

由％2―2工>0,得XVO或X>2,则函数y=loga(f—2x)的定义域为(一8,0)(2,+00),

又y=/—2x在上为减函数，由复合函数的单调性可得，函数y=log,*2-2x)增区

间是(-℃),0).

故答案为：(-oo,0).

15.解：由题意知，奇函数/(尤)的图象过坐标原点，/(0)=0,即sine=O.

又因为故°=0.

又因为函数/(x)=sins的图象的相邻两对称轴的距离为则g=](T为函数/(x)的最

小正周期)，

2万

T=2兀,co=—=2,所以函数/(x)=sin2x.

令2k4+三强也x2k,Tr+—,kGZ,

22

解得：k乃+三会+k^-+—](keZ),

44

则函数/(x)的单调递减区间是山万+石，k^-4--KkeZ).

44

故答案为：函数/(X)的单调递减区间是山万+石，k^+—](keZ).

44

16.解：设上山路程为S,则下山路程亦为S,

._S।S_S()+匕)t2s4s

一’一匕口一匕匕，l；(匕+为)-匕+履

...£=S(匕+匕)皿+%=(4+匕)2,

t2VjV24s4V,V2

T7SS个4s25

又•・,6=—+—>2

匕彩匕十%

9

...tl>t2

.•・所用时间之和最少的是乙,

故答案为："131,乙.

4vM

17.解：(1)由VxeR,*+/x+f>0恒成立，△=/_今<0,得至lj0<f<4,所以,

A={r|0</<4}.

(2)因为p是4的必要不充分条件，所以BUA,

当3=0,即2a—1..。+1,所以a.2；

当5K0,即2«-1<a+1,所以a<2,由BUA可得，

2a-l..OJla+1„4,解得1强壮3,

2

综上所述：a的取值范围为止，+00).

2

18.解：(1)g(x)=W+l=3d尸+1,

d"e

•，1x|..O,则以0<(3吗,1，

e

.­.0<3(-)w„3,

e

即1<g(x),,4，

故g(x)的值域是(1,4］；

(2)由f(x)-g(x)=0,得炉一2一2=0,

e'

当x,o时，方程无解;

当x>0时，有，一±—2=0,

ex

整理得(,)2-2^-3=0,即整+1)(/-3)=0,

ex>0/.ex=3,即x=ln3.

19.解：(1)f(x)=V3sin(2018^--x)s^n(—+^)~c°s2+1

=V3(-sinx)(-cosx)--(1+cos2x)+1=-sin2x--cos2x+—=sin(2x

222262

令2x一二=攵4，Wx=—+—(A:GZ)，

6212

.-./(X)的对称中心为仔+卷,1)()teZ)；

(2)由Ir(x)-川,,1,得-啜旷(x)—“1n+1恒成立,

7T71、_71<7157rl_冗、

X€r2x--esin(2x--)eJ]

1226366

由+1恒成立，得m,,f⑶而“+1=1心+1=3,；

由-1恒成立，得m../-1=|-1=g-

综上,>得.

20.解:(1)■函数/(x)=/g(2+x)+/g(2-x),

[2+x>0

L八，解得-2<x<2.

[2-x>0

函数f(x)的定义域为(-2⑵.

•••/(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=/(x),

，/(x)是偶函数.

(2)v-2<x<2>

f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2).

•Jg(x)=10+3x,

函数g(x)=-%2+3x+4=-(x-g)2+三,(-2<x<2),

•••g(x),皿=g(|)=Y'g(")*fg(-2)=-6，

・•・函数g(x)的值域是(-6,—].

4

(3)・・,不等式/(X)>加有解，.•.机V/(%),必r，

令1=4-由于一2vxv2,.\0</„4

.,./（x）的最大值为/g4.

二.实数加的取值范围为{川/%</g4}・

ofX)

21.解：(1)由题意可知：AB=x,AD