第一章《三角函数》导学案-宁夏2020-2021学年高中数学人教A版必修4（无答案）

1.1.1任意角

学习目标：

1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。

2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。

知识要点：

1、按方向旋转形成的角叫做正角，按方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射

线没有作任何旋转，我们称它形成了一个—角。零角的与___________重合。如果a是

零角，那么a=»

2、任意角包括、和。

3、象限角

为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：

（1）使角的顶点和坐标______重合；（2）使角的始边和x轴__________重合.这时，角的终边落在第几

象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上,

那么这个角就叫做,这个角不属于任何一个象限。

4、把角放到平面直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的与之对应。反之，对于直角坐标

系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，终边相同的角有什么关系？

5、所有与角a终边相同的角，连同角a在内可构成集合为%即任

一与角a终边相同的角，都可以表示成角。与的和。

典型例题：

【例1】在0。〜360°之间，找出与—95（712'终边相同的角，并指出它是第几象限角：

【例2】（1）写出终边在x轴上角的集合_______________________________________________

（2）写出终边在y轴上角的集合；

（3）写出终边在坐标轴上角的集合.

【例3.］写出终边在直线y=x上角的集合s,并把s中适合不等式-360。＜夕＜720。元素夕写出来。

当堂检测：

1、钟表经过4小时，时针与分针各转了度

2、设人=｛。用为正锐角｝,B=｛0|。为小于9m的角｝,c=｛e|e为第一象限的角｝

D=｛0|。为小于90。的正角｝。则下列等式中成立的是()

A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D

3、在直角坐标系中，若a与P的终边互相垂直，那么a与p的关系为()

A.p=a+90°B.p=a±90°C.p=a+90°+k-360°D.p=a±90°+k-36OokeZ

4、若a为锐角，则180,+a在第象限，-a在第象限.

5、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角：

(1)420°(2)-75°(3)855°(4)-510°

6、第一象限角的集合可表示为.

第二象限角的集合可表示为.

第三象限角的集合可表示为.

第四象限角的集合可表示为.

n

7、设6为第一象限角，求26,—,-6所在的象限.

2

8、在0。〜360。之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角:

(1)-54°18((2)39508'(3)-1190°30z

9、写出与下列各角终边相同的角的集合并把集合中适合不等式-720。＜夕＜360。的元素写出来:

(1)1303°18'(2)-225°

10、与角一1560°终边相同角的集合中最小的正角是

1.1.2弧度制

学习目标：

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算：

3.记住公式|同=，（/为以a作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆半径）；

4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

知识要点：

1.叫做］弧度的角，用符号表示，读作o

2.正角的弧度数是一个,负角的弧度数是一个,零角的弧度数是

如果半径为r的圆的圆心角a所对的弧长为/,那么角a的弧度数的绝对值是：

a的正负由决定»

3.角度与弧度的换算

360°=____rad1800=____rad1°=____rad1rad=（____）°«________O

4.一些特殊角的度数与弧度数的互相转化，请补充完整

30°90°120°150°270°

冗713万

0n2%

7T

5.弧度是一个量，弧度数表示弧长与半径的比，是一个实数，

/正角’

这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.零角

、负角）

W实数

6.弧度制下的扇形弧长公式和扇形面积公式

（1）；（2）___________________；（3）_________________________________O

典型例题：

【例1】按照下列要求，把67°30'化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.

【例2】将3.14md换算成角度（用度数表示，精确到0.001）。

［例3］证明知识要点6中的三个公式。

【例4】利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小。

当堂检测：

1、把下列各角从度化为弧度：

(1)22°30,=(2)—210°=(3)1200°=

2、把下列各角从弧度化为度：

3、用弧度制表示：终边在x轴上的角的集合为；

终边在y轴上的角的集合为o

4、在4LBC中，若NA:ZB:NC=3:5:7,则A,B,C的弧度数分别为

5、半径变为原来的,，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的_____________倍。

2

6、以原点为圆心，半径为1的圆中，一条弦48的长度为所对的圆心角a的弧度数为—

7、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为

8、直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转45°,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？

9、扇形0A3的面积是4c机2,它的周长是8c加，求扇形的中心角及弦A3的长。

1.2.1任意角的三角函数(1)

学习目标：

1、通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意

角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内

的符号.

2、能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.y,/

知识要点：I/

1、K锐%a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，在它的终边/P(a'b)

上任取一点尸(a,6),它与原点的距离1=+/>0,过p作x轴的垂线，

0Mx

垂足为M,根据初中的三角函数定义有：

sina=；cosa=；tana=。

2、单位圆：在直角坐标系中，我们称以为圆心，以为半径的圆为单位圆.

3、由相似三角形的知识，对于确定的角a,这三个比值不会随的改变而改变，因

此可以将点P取在使的位置上。

4、利用单位圆定义任意角的三角函数：设a是一个任意角,

它的终边与单位圆交于点尸(x,y),则

(1)叫做a的正弦，记作sina,即；

(2)叫做a的余弦，记作cosa,即；

⑶叫做a的正切，记作tana，即。

TT

可以看出，当。=5+左万(左€2)时，a的终边在上，此时tana,除此之外,

对于确定的角a,上诉三个比值都是的，所以,正弦、余弦、正切都是以为自变量,

以或为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.

5、利用坐标的比值定义三角函数：

设角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，在它的终边上任取一点尸(x,y),它与原点

的距离r=y/x2+y2>0>则sinc=；cosa=；tana=。

6、三种三角函数的定义域各是什么：o

7、三种三角函数的值在各个象限的符号：________________________________________________

8、公式一：终边相同的同名三角函数的值，即：；

典型例题：

【例1】求也57r的正弦、余弦和正切值.

3

［例2］已知角a的终边经过点P。(-3,-4),求角a的正弦、余弦和正切值.

sin。<0,

【例3］求证:当且仅当下列不等式组成立时，角0为第三象限角.反之也对。

tan>0.

【例4】确定三角函数值的符号:

式

(1)cos250°(2)sin(一一)(3)tan(-672J)(4)tan3^-

4

【例5】求下列三角函数值：

941\71

(1)sinl480°10'(2)cos—(3)tan(——-)

46

随堂训练：

7万

1、用三角函数的定义求匕的三个三角函数值

2、已知角。的终边过点P(T2,5),求夕的正弦、余弦和正切三个三角函数值.

a

3,设a是三角形的一个内角，在sina,coscz,tana,tan—中，那些可能为负值?

2

4、填表

a0。30°45°60°90°120°135°150°180。270°360°

弧度

sina

cosa

tana

5、确定符号：

(1)sin156°(2)cos电巴114Ajr

(3)cos(-450°)(4)tan(-----)(5)sin(----)(6)tan556°

583

6、选择序号填空：

①sin（9>0②sin8<0③cos。>0④cos。<0⑤tan9>0⑥tan<9<0

（1）当。在第一象限时，,反之也对；（2）当。在第二象限时，,反之也对;

（3）当。在第三象限时，,反之也对；（4）当。在第四象限时，,反之也对。

9、确定下列各式的符号：（l）sinl00Jcos240°（2）sin5+tan5

10、已知cos0,tan9<0,那么角0是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角

2

11、若点尸（一3,y）是角a终边上一点，且sina=-一，则y的值是.

3

1.2.1任意角的三角函数（2）

学习目标：

正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦

线、正切线表示出来.

知识要点：

1、有向线段：的线段。

2、三角函数线：

设任意角a的顶点在原点。，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点P（x,y）。当角a的终边

不在坐标轴上时，过P作x轴的垂线，垂足为“；过点A（l,0）作单位圆的切线，它与角a的终边或其

反向延长线交与点T.规定有向线段MP,AT向上为正，0M向右为正

则sina=________________cosa-；tana=

我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

当角a的终边与x轴重合时:

当角a的终边与y轴重合时:

典型例题：

【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

(/八2)--5-4-

⑴T6

【例21利用三角函数线比较下列各组数的大小:

27r4万/、24一4万

(1)sin——与sin——(2)tan——与tan——

35

随堂训练：

1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

24

(1)---；

36

2、利用单位圆寻找适合下列条件的0。到360。的角

⑵tana>^

(1)sina>—

23

3、利用三角函数线证明：当0<x〈会时

(1)sinx<x<tanx；(2)sinx+cosx>1o

1.2.2同角三角函数的基本关系

学习目标：

1.掌握同角三角函数的基本关系式.

2.能用同角三角函数的基本关系式化简或证明三角函数的恒等式

知识要点：

I.同角三角函数的基本关系式及公式成立的条件：

平方关系：:商数关系：

2.语言表述：。

典型例题：

3

【例1】已知sina=——,求cosa,tan(z的值.

cosx1+sinx

【例2】求证:

1—sinxcosx

当堂检测：

4

1、已知cosa=-m，且a为第三象限角，求sine,tana的值。

2、已知tane=-6,求sin*,cose的值.

3、已知sin6=3，求cose,tan。的值。

4、化简:

2cos2a-\

(1)cosJ■tang=

1-2sin2a

(3)71-sin2100°(4)Vl-2sinl0°cosl()°=

5、求证：(1)sin4cif-cos4a=sin26Z-cos2a

(2)sin4cr+sin2«cos2ctr+cos2cr=1

6、已知tana=2,求下列各式的值:

/、2sina-3cosa

(1)---------------；(2)4sin2a-3sinacosa+5cos2a

5sina-7cosa

7、已知sinB+cos。=5,8£求下列各式的值:

(1)sin0-cos^；(2)cosO-sin。

1.3三角函数的诱导公式

学习目标：

1、利用单位圆探究得到诱导公式二，三，四，并且概括得到诱导公式的特点。

2、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。

3、能初步运用诱导公式进行求值与化简。

知识要点：

1、4的终边与a的终边关于—对称；-a的终边与a的终边关于—对称;

n-a的终边与a的终边关于—对称。

7T

2、上-a的终边与a的终边关于对称；

2

公式五：_________________________________________________

3、用己有公式推导工TT+a的诱导公式：

2

公式六：_____________________________________________________

4>一句话概括公式一〜六:_______________________________________

5、把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的步骤：

典型例题：

【例1】求三角函数值：

(1)cos225°(2)sin^-^-(3)sin(-今(4)cos(-20400)

cos(180°+a)•sing+360°)

【例2】化简:

sin(-a-180°)•cos(-180°-a)

...、/、7V、1、

sin(24-a)cos(7r+a)cosj+----a)

【例3】化简：--------------------------2---------伊------

9万

cos(zr-a)sin(3^--tz)sin(-^-a)sin(?+a)

随堂训练：

1、讲下列三角函数转化为锐角三角函数:

(1)sin(l+乃)=________.；(2)sin(-y)=________,；(3)cos(-70°6')=_

3〃3U

(4)tan—二；(5)tan70°21'=；(6)tan----=

536

(7)tan32432'=_______；(8)cos(-1182°13')=______»

;、求值：

./7%、

(1)cos(-420°)=_______；(2)sm(---)=_______⑶sin(-1300°)=.

/79兀、19万65万

(4)cos(—)=；(5)cos----=;(6)cos----=

636

./3br、/26乃、

(7)sm(一——)=；(8)tan()=O

43

3、化简：(1)sin(a+180°)cos(-a)sin(-a-180°)(2)sin3(-a)cos(2TT+a)tan(-a-7r)

4、填表:

5%547乃8乃114

a44

'TTT-T丁

sina

cosa

tan。

八i'2，*7八、△、/八2/tan(3600+d)

5、化间：(1)---------•sin(fz-2zr)•cos^-a)(2)cos(-a)--------------

.,5兀、sin(-a)

sin(—+a)

6^已知sin(a+乃)=§,兀<a<：,贝iJcosQa-24)的值是

22

7、cos(工-a)+cos(―+a)=__________o

44

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

学习目标：

1、通过本节学习，理解正弦函数、余弦函数图象的画法.

2、通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,

并会熟练地画出一些较简单的函数图象.

知识要点：

I、借助单位圆中的正弦线画出正弦函数y-sinx,xe[0,24]的图象。

说明：使用三角函数线作图象时，1.自变量要采用弧度制；2.将单位圆分的份数越多，图象越准确。

2、利用公式一及上面的图像画出正弦函数y=sinx,xeR的图象（正弦曲线）。

1-

-6n-5TC一4兀一3九一2兀一兀。兀2兀37c4兀5兀67tx

-1■

3、观察正弦函数丫=5M%/€[0,2万]的图象，找到起关键作用的五个点：

4、用“五点作图法”画出丁=5批%%€（0,2万]的图象。

%

1-

_I________4_____I1・L・»

。冗__271X

-1-

5、sin（x+—）=,所以的图象可由y=sinx而得到。

6、画出y=cosx的图象（余弦曲线）

1-

-6n-5兀-4K-3K-2K一兀。兀2兀3兀4兀5兀6兀x

-1-

7、观察正弦函数^=««%%€[0,2句的图象，找到起关键作用的五个点:

8、用“五点作图法”画出y=以《羽》€[0,2乃]的图象。

斗

1-

~0兀2兀X

—1•

典型例题：

【例1】画出y=l+sinx,xe[0,2T的简图。

%

1■

——I----------------------------------------J----------------------------1--------------------------1----------------------------r・a

0兀271X

【例2】画出y=-cosx,xe[0,2句的简图。

斗

1-

---------1------------------------------------------d・j--------------------------1----------------------------r-a

0兀2兀X

—1-

当堂检测：

1、画出了=卜山斗工€[°，2乃]的图象，并通过猜想画出y=binX在整个定义域内的图象。

1-

11dI/II1______LIJ1_______

-6n一5兀-4TI一3兀一2兀一兀。兀2兀3兀4兀5n6兀x

2、画出y=|cosX，xe[0,2%]的图象，并通过猜想画出y=|cosM在整个定义域内的图象。

外

1-

_______________1II_______I/______IIILI*I1Tl,1______,I，______111，4

-6兀-5K-4兀-3兀-2TI-7i。兀2兀3兀4兀5兀6兀x

3、为得到函数丁=cos[x+§J的图象,只需将函数y=sinx的图像（）

7T1T

A.向左平移2个长度单位B.向右平移2个长度单位

66

5兀5兀

C.向左平移四个长度单位D.向右平移四个长度单位

66

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)

学习目标：

1、通过创设情境，如单摆运动、四季变化等，让学生感知周期现象；

2、理解周期函数的概念；

3、能熟练地求出简单三角函数的周期。

4、能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.

知识要点：

1.周期函数：对于函数/(x),如果,使得当时，都有

,那么函数/(x)就叫o叫做这个函数的周期。

2.最小正周期：周期函数的周期；如果所有的周期中存在一个,那么这个

就叫做«

3.y=sinx是周期函数，都是它的周期，最小正周期是。

4.y=cosx是周期函数，都是它的周期，最小正周期是。

5.y=Asin((ur+°)(A0,a)>0)的最小正周期是。

6.y=Acos@x+°)(AW0,0>>0)的最小正周期是。

7.如果函数y=/(x)的最小正周期是T,那么函数丁=/(以)的周期是o

8.在学习中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期。

典型例题：

［例I］求下列函数的周期：

..171

(1)y—3cosx,xGR；(2)y=sin2x,xGR；(3)y-2sin(—x---),xGR

当堂检测：

l.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如果这个等式成立，能否说120°是正弦函数y=sinx,xCR.的一

个周期？为什么？

2.求下列函数的周期：

3

(1)y-sin—R；(2)y=cos4x,xeR；

4

(3)y=^cosx,xeR171

(4)y=sin(-x+—),XGR

3.函数y=卜山^的最小正周期为；y=|Asin(G¥+砌的最小正周期为

4.函数y=|cos乂的最小正周期为；y=|Asin(@r+砌的最小正周期为

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）

学习目标：

1、会利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。

2、能根据正弦函数和余弦函数图象确定相应的对称轴、对称中心。

3、通过图象直观理解奇偶性、单调性，并能正确确定弦函数的单调区间。

知识要点：

一、正弦函数：

（二）性质：

1.定义域：;2.值域：；3.周期性：；4.奇偶性：;

5.单调性：在每一个闭区间上都是增函数，其值从—增大到—

在每一个闭区间上都是减函数，其值从减小到。

6.最值：当且仅当_______________________时取最大值____;

当且仅当_________________________时取最小值____»

7.对称性：正弦函数的对称轴方程为;对称中心为

二、余弦函数：

（二）性质：

1.定义域：；2.值域：；3.周期性：；4.奇偶性：；

5.单调性：在每一个闭区间上都是增函数，其值从一增大到一

在每一个闭区间上都是减函数，其值从—减小到o

6.最值：当且仅当___________________时取最大值一；

当且仅当时取最小值一»

7.对称性：余弦函数的对称轴方程为;对称中心为

典型例题：

【例1】求下列函数有最大值、最小值，并写出取最大值、最小值时的自变量x的集合。

(1)y=cosx+l,xeR；

(2)y=-3sin2x,xGR。

【例2】函数的单调性，比较下列各组数的大小：

2317

(1)sin(-M)与sin(-2)(2)cos(---4)与cos(---n~)

181054

【例3】函数y=sin(—x+y),xe[―2乃,2%]的单调递增区间。

当堂检测：

1.写出满足条件的区间：

(1)sinx>0；(2)sinx<0；

(3)cosx>0；(4)cosx<0。

2.下列等式能否成立？

(1)2cosx=3；(2)sin2x=0.5。

3.求使下列函数取最大值、最小值时的自变量x的集合，并写出最大值、最小值各是多少.

(1)y=2sinx,xeR

(2)y=2—cos—R

3

4.下列关于函数y=4sinx,xw［-肛向的单调性的叙述，正确的是()

A.在上肛0］是增函数，在［0,%］是减函数

71TITTTT

B.在是增函数，在一叶上及~,71是减函数

~2~2L2」|_2」

C.在［0,万］是增函数，在［-肛0］是减函数

ITTT7171

D.在一叶L及勺，乃是增函数，在是减函数

2J\_2

5.设函数/(x)=sin［2x-3,xeR,则/(%)是()

A.最小正周期为乃的奇函数B.最小正周期为乃的偶函数

C.最小正周期为王IT的奇函数D.最小正周期为主7T的偶函数

22

37r

6.函数y=sin(2x+二)图象的对称轴方程是；对称中心是一

7.方程2cos1在区间(0,万)内的解是.

8.求函数y=3sin(2x+?),xe［0,乃］的单调递减区间。

9.利用三角函数的单调性，比较大小：

1514

(1)sin250°与sin260°(2)cos—乃与cos—n

89

sin(-多)与sin(卷乃)

(3)cos515°与cos530°(4)

1.4.3正切函数的性质与图象

学习目标：

1、用单位圆中的正切线作正切函数的图象；

2、用正切函数图象解决函数有关的性质；

3、理解并掌握作正切函数图象的方法；

4、理解用函数图象解决有关性质问题的方法；

知识要点：

一、正切函数y=tanx的性质：

1.定义域：«

2.周期性：由诱导公式知，正切函数是周期函数，其最小正周期T=

y=Atan(art+0)(A70,0>0)的最小正周期是。

3.奇偶性：由诱导公式知，正切函数是—函数。

4.单调性：观察右图中的正切线，正切函数在xe为——函数；

结合周期性知，正切函数____________________________________________

5.值域：由上图的正切线知正切函数在x时，ye

结合周期性知，正切函数的值域为；最值情况为

二、正切函数的图象：

1.利用正切线作正切函数y=tanx在xe-2，工的图象;

<227

2.结合周期性，画出正切函数在整个定义域内的图象。

22

4.正切函数丁=1211%的渐近线方程为：。

5.正切函数y=tanx的对称中心为：；

对称轴情况如何？

6.利用图象知函数y年曲可的最小正周期为；y=|Asin(s+砌的最小正周期为

典型例题：

【例1】求函数y=tan(卷x+()的定义域、周期和单调区间。

当堂检测：

1.观察正切曲线，写出下列条件的x的范围：

(1)tanx>0；

(2)tanx=0;

(3)tanx<0。

2.求y=tan3x的定义域。

jrk/X

3.求周期：(1)y=tan2x,xw—+'—(ZeZ)；(2)y=5tan-,xw(2攵+1)"(〃eZ)。

422

4.(1)正切函数在整个定义域是增函数吗？为什么？

(2)正切函数会在某一区间是减函数吗？为什么？

5.比较大小：