高中数学《数列的概念》同步练习与答案解析

选择性必修二《4.1数列的概念》同步练习

一、单选题

r13.1

1.已知数列｛4｝中，6==，an=1-----（〃cN+,〃22）,那么。2必等于（）

a

4n-\

13

A.—B.—C.2D.4

34

2.数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、…称为斐波那契数列，是意大利著名数

学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项

起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（）

A.505B.673C.674D.1010

3.“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，天

干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、

巳、午、未、申、酉、戌、亥.如，农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，农历

1863年为癸亥年，则农历2068年为（）

A.丁亥年B.丁丑年C.戊寅年D.戊子年

4.原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮

浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图，为某校数学兴趣小组用数学软

件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线/上取长度为1的线段AB，做一个等边三

角形ABC,然后以点8为圆心，A8为半径逆时针画圆弧，交线段BC的延长线于点

D，再以点C为圆心，CO为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类

推，当得到的“螺旋蚊香”与直线/恰有21个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为

（）

A.31071B.34()71C.930兀D.102071

5.衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文

化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量

总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次

是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50-,则该数列第16项为（）

A.152B.134C.128D.102

6.公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格

点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和儿何的纽带.如图所示，数列1,6,15,28,

45-从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列

的第11项对应的六边形数为（）

二、多选题

7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,

5,,其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成

的数列｛q｝称为“斐波那契数列”，记S,为数列｛q｝的前n项和，则下列结论正确的是

)

A.%=8B.S7=33

D..卡

C.4+〃3+〃5+.••+〃2019=a2O2O

8.斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多•斐波那契于1202年

提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……，此数列从第3项开始,

每一项都等于前两项之和，记该数列为｛尸（〃）｝,贝乂尸（〃）｝的通项公式为（）

卜中

B.尸(〃+1)=尸(")+打〃2且尸(1)=1,62)=1

9.对于数列｛4｝,若存在正整数k（Z22）,使得见<以_1,ak<aM,则称4是数列

｛4｝的“谷值，%是数列｛为｝的“谷值点”，在数列｛%｝中，若q=〃+[—8,则数列

｛4｝的“谷值点”为（）

A.2B.3C.5D.7

三、填空题

10.在数列｛《,｝中,4=1,4+冬+q+…+3=a“（〃€N*）,则。“=.

11.已知数列｛%｝满足4=33,4+「an=2n,则2的最小值为.

n

12.已知数列｛4｝满足：《=2020,弓用=4+%—若正整数%使得

+的+…+2寸-।.

a.a1--a.=-----=-----------成竺，则mk=

-12021

四、解答题

13.数列｛%｝中，an=nr-5n+4.

（1）18是数列中的第几项？

（2）〃为何值时，/有最小值？并求最小值.

14.下面图形都是由小正三角形构成的，设第〃个图形中的黑点总数为/（〃）.

⑴求〃2）,〃3）J（4）J（5）的值；

⑵找出了（〃）与〃"+1）的关系，并求出/（"）的表达式.

①②③④

5且凡“二胃(〃=2,3,4”一).

15.已知数列｛%｝中,%=1,a2

(1)求内、%的值，

(2)设2=—!――1("€^0试用"表示。用，并求｛〃｝的通项公式；

an+\

sin3/—*、

(3)设%=----------「("GN),求数列｛c“｝的前〃项和S..

cos/?n•cosbn+｝

16.已知数列｛4｝满足q=，，4M=1+」-,数列｛%｝可以是无穷数列，也可以是有穷

351

数列，如取7=1时，可得无穷数列：1,2,取「=一一时，可得有穷数列:

232

(1)若的=。，求》的值；

(2)若1<。“<2对任意〃22,〃eN*恒成立.求实数，的取值范围；

⑶设数列｛仇｝满足4=一1,%=区匕(〃€“)，求证：.取数列也｝中的任何一

个数，都可以得到一个有穷数列｛4｝.

答案解析

一、单选题

,13,1

1.已知数列｛4｝中，弓=亍，。“=1———(〃wN+,〃22),那么"20等于()

a

4n-\

13

A.—B.—C.2D.4

34

【答案】B

【分析】

根据4=4，,计算数列的前几项，得到数列｛凡｝是以3为周期的数列求解.

【详解】

3,1

因为％=一，。”=1-----，

43

,11

所以

所以数列｛q｝是以3为周期的数列，

_3

所以“2020—。673*3+1=4=W，

故选：B

本题主要考查数列的周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2.数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、…称为斐波那契数列，是意大利著名数

学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项

起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为()

A.505B.673C.674D.1010

【答案】B

【分析】

由斐波那契数列的特点可知，该数列只有第弘(&GN*)项为偶数，再由2020=3*673+1

可求得结果.

【详解】

由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第弘心eN*）项为偶数,

由于2020=3x673+1,所以前2020项中偶数的个数为673.

故选:B.

【点睛】

本题考查斐波那契数列的应用，考查推理能力，属于基础题.

3.“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，

天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.“地支”指：子、丑、寅、卯、

辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.如，农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，

农历1863年为癸亥年，则农历2068年为（）

A.丁亥年B.丁丑年C.戊寅年D.戊子年

【答案】D

【分析】

由题意得天干是以10为周期的数列，地支是以12为周期的数列，以1861为首项，即可得

答案.

【详解】

记6=辛，4=酉（1861）；“2=壬，优=戌（1862）；/=癸，4=亥（1863）,

所以记天干为数列{4},且最小正周期为10,记地支为数列{4},且最小正周期为12,

故"2068=%=戊，b206g==子（2068）,

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的周期性，难点在于需将题目信息转化为所学数列的知识，考查逻辑推理，

归纳分析的能力，属中档题.

4.原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮

浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图，为某校数学兴趣小组用数学

软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线/上取长度为1的线段A3,做一个等边

三角形A8C,然后以点3为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段8C的延长线于点

D,再以点。为圆心，CO为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E,以此类

推，当得到的“螺旋蚊香”与直线/恰有21个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为

()

A.310KB.340KC.930兀D.1020K

【答案】A

【分析】

根据画圆弧的规律：分别以B,C,A为圆心，抽象半径长度的数列，明确圆弧与直线的交

点情况，再根据当“螺旋蚊香”与直线/恰有—❖❷21—♦❷❷个交点时，若使

“螺旋蚊香”的总长度最小，确定数列的项数，求得最后圆弧的半径即可.

【详解】

如图所示：

当以B为圆心，半径为：1,4,7,10,…除起点外，与直线无交点，①

当以C为圆心，半径为：2,5,8,11,…与直线有一个点，②

当以A为圆心，半径为：3,6,9,12,…除终点(即①的起点，点A除外)外，与直线

无交点，③

所以当“螺旋蚊香”与直线/恰有♦个交点时，若使“螺旋蚊

香”的总长度最小，

则完成整数个循环，

所以以B为圆心的弧与直线只有交点A,以C为圆心的弧与直线10个交点，以A为圆心

的弧与直线有10个交点，

即数列②有10项，数列③有10项，

所以最后一个圆弧的半径为「=3+3(10-1)=30,

所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为

1、130(1+30)

x(zl+2+3+…+3。)=一一^=310万.

故选：A

【点睛】

本题主要考查数列的抽象与等差数列的通项公式和前n项和的应用，还考查了分析求解问

题的能力，属于中档题.

5.衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统

文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数

量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依

次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50…，则该数列第16项为（）

A.152B.134C.128D.102

【答案】C

【分析】

根据数据找出规律，依次写出来即可.

【详解】

前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,

2

偶数项分别为2,8,18,32,50,可得偶数项的通项公式：a2n=2n.

所以该数列第16项为=2x82=128.

故选:C.

【点睛】

本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

6.公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格

点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1,6,15,28,

45,从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列

的第11项对应的六边形数为（）

A.153B.190C.231D.276

【答案】C

【分析】

根据题中所给图与对应的六边形数，记第〃个六边形数为凡，找出规律，相邻两项差构成

等差数列，累加求得生,=2〃2一〃，将九=11代入求得结果.

【详解】

记第〃个六边形数为%,

由题意知：4=1,。2一％=5=l+4xl,

=1+4x2,%-%=1+4x3,…，

=l+4(n-l),

(〃-1)[5+4〃-3]=2/〃1,

累加得=5+9+…+[1+4(“_1)]=

2

即

an=2ir-n,

所以a”=2xll2-ll=231,

故选：C.

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中

档题目.

二、多选题

7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,

3,5,….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数

组成的数列｛q｝称为“斐波那契数列”，记S“为数列｛q｝的前n项和，则下列结论正确

的是（）

A.4=8B.S7=33

4+生+.....+々019_

C.Q]+-----々2019=々2020Un・_Un2O2O

2019

【答案】ABCD

【分析】

由题意可得数列｛%｝满足递推关系q=1吗=1，4=%-2+4T(〃N3),对照四个选项可

得正确答案.

【详解】

对A,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A正确；

对B,S7=1+1+2+3+5+8+13=33,故B正确；

C>由Q]=，03。4—，a$。6一,...,1“201942020—。2018，

可得:%+/+%+…+。2019=。2020•故4+/+%+…+。2019是斐波那契数列中的第

2020项.

对D,斐波那契数列总有。“+2=4+1+4，则W=%3-4)=电4一g4，

状=%(4-%)="3a4—电色，...,

“2018=%)18(%)191%)17)=%018%)191'^2019=^2019^2020—42019a2018

+4++.....+a£oi9=^2019^2020，故D正确»

故选：ABCD.

【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化

归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.

8.斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多•斐波那契于1202年

提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始，

每一项都等于前两项之和，记该数列为｛/(〃)｝,贝乂/^〃)｝的通项公式为()

A.0号£

B.F(/?+l)=/(〃)+尸(〃-1),〃22且/(1)=1,尸(2)=1

1i^Yfi-VsY

C.F⑺=+

2

得〔丁厂77

1+⑸"i-VsY

D.（-----+

F"T22）

【答案】BC

【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可;

【详解】

解：斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,

显然尸（1）=1,尸（2）=1,F（3）=F（1）+F（2）=2,尸（4）=尸（2）+（（3）=3,

F（n+l）=F（H）+F（H-l）,n>2,所以尸（〃+1）=产（〃）+尸（〃-1）,〃22且

户(1)=1，尸(2)=1,即B满足条件;

由产(〃+1)=产(〃)+尸(〃一

所以*”+1)-与如(〃)=与^

所以数列［尸(〃+i)-匕卢尸(”)|是以55为首项，匕好为公比的等比数列,

222

所以尸+上等尸(〃)

1-君

所以-（"+1）­F、*〃）

所以1+6-1+41+小产+1

।2212；

为公比的等比数列,

所以“膂+(二丹年严

故选：BC

【点睛】

考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要

求由较高的逻辑思维能力，属于中档题.

9.对于数列｛4｝,若存在正整数攵(a2),使得ak＜ak+],则称4是数列

o

｛为｝的“谷值，％是数列｛叫的“谷值点”，在数列｛4,｝中，若《,=〃+--8,则数

列｛%｝的“谷值点”为()

A.2B.3C.5D.7

【答案】AD

【分析】

由数列的通项公式求出前七项各项的值，然后根据题意进行求解即可，

【详解】

9376129

=9

因为4—〃T8,所以Q]=2,4=万,。3=2,q~?%=,'。6=万'%=/，。8=W

999

当〃N7,〃£N,---8>0a=nH---8=〃H----8,此时数列单调递增,

nnnn

“o＜Q],＜。39＜。69。7＜。89

所以数列｛%｝的“谷值点”为2,7.

故选：AD

【点睛】

本题考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力，考查了数列的单调性，属于中档题.

三、填空题

10.在数列｛。〃｝中，［=1,4+才+亲+，・・+3=

n'

■2〃

【答案】--

〃+1

【分析】

。2%an-\

由己知得：当〃22时，4+歹+芯+・一+/I。=%,与原式相减得

23(力-1)

n〃+1n

—ci—a_,即一一a----，递推可得答案.

nntl｝nnn-\

【详解】

由题意得：当“22时，4+*+*+…+*^7=4-1,所以3=0，，一。，1，即

23(〃-1)几-

.口“口〃+1n广…n+1nn-12.

也即是一an=-,所以——an=--an_x=--an_2=•.•=；%=2，

nn-1nn-\n-2।

故答案为：——

n+1

【点睛】

本题考查由数列的递推式求数列的通项，属于中档题.

11.已知数列｛%,｝满足4=33,4加一=2〃,则%的最小值为.

n

【答案】W21

2

【分析】

先利用累加法求出现=33+/-n,所以”=二+〃-1,设f(n)=—+n-l,由此能导

nnn

出n=5或6时f(n)有最小值.借此能得到%的最小值.

n

【详解】

解：Va„+i-a«=2n,・••当n22时，an=(an-an-i)+(a«-i-an-2)+…+(a2-ai)+a1=

2[l+2+…+(n-1)]+33=n2-n+33

2

且对n=l也适合，所以au=n-n+33.

[[赤/33

从而—=---F71—1

nn

设f(n)=—+n-l,令f，(n)=^-+l>0,

nn

则f(n)在(屈，+8)上是单调递增，在(0,屈)上是递减的,

因为nCN+,所以当n=5或6时f(n)有最小值.

1

所以的最小值为-y-=—

n62

故答案为—

2

【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法.还考查函数的思想，构造函

数利用导数判断函数单调性.

12.已知数列｛q｝满足：q=2020,a,,T=d+4-l(〃eN*),若正整数人使得

。出…〃…+嫌+2成立，则卜=____________.

'2卜2021

【答案】2019

【分析】

根据a.+|=a；+a“一1(〃eN*)可得="用一4+1且a=,结合已知条件的等

n+1

式成立，即可求人的值；

【详解】

为+1=4；+%一1(〃6”)知：42=。“+|-4+1且%=与卓,则：

a“十1

a；+a；+…+a[=出—4+1+%—出+1+…+4+]—&+1=4+1—2020+k,

生+1%+1%+1+1W+1+1hCl7++•••+〃£+2

q+1%+1%+12021'而例…火一方（KI

.^,+fe-2018_g+l即

+=i±L>=2019.

20212021

故答案为：2019

【点睛】

本题考查了利用数列递推式，结合等式成立求数列的项数，注意结合已知等式中乘积形

式、平方形式转化递推式求参数;

四、解答题

13.数列｛《,｝中，4="2-5〃+4.

(1)18是数列中的第几项？

(2)〃为何值时，/有最小值？并求最小值.

【答案】(1)第7项；(2)〃=2或〃=3时，最小值为—2

【分析】

(1)令5〃+4=18且〃eN*，解方程可得〃的值.

(2)利用二次函数的单调性和最值可得％有最小值以及对应的”的值.

【详解】

2

令4,=〃2_5〃+4=[8,Bpn-5H-14=0，

解得：〃=7或〃=一2(舍)

(2)由-5〃+4,因为y=f-5x+4,开口向上，对称轴》=!■

所以〃=2或"=3时，a”有最小值为4=2?-5x2+4=-2.

【点晴】

本题主要考查了判断数列中的项，以及求数列的最小项，属于基础题.

14.下面图形都是由小正三角形构成的，设第〃个图形中的黑点总数为/(〃).

⑴求/(2),〃3)J(4)J(5)的值；

⑵找出/(〃)与”〃+1)的关系,并求出/(〃)的表达式.

【答案】⑴见解析；(2)/(〃)=3〃2,“GN*.

【分析】

(1)根据题意可直接写出结果;

(2)分别计算出“2)-"1),“3)-“2),/(4)—/(3),“5)—"4),归纳出

—再由累加法即可求出/(〃)的表达式.

【详解】

(1)由题意可得："2)=12,/(3)=27,/(4)=48,45)=75；

⑵因为〃2)-〃1)=9：43)—"2)=15；/(4)-/(3)=21；

〃5)-〃4)=27；

观察猜想：+是一个首项为9公差为6的等差数列，

即/(〃+l)_/(〃)=9+(〃_l)x6=6〃+3.

因为〃2)-/(1)=9；〃3)—"2)=15；/(4)-/(3)=21；

〃5)-/(4)=27；

把上述式子累加可得到：/⑺二/•⑴=(9+6〃乎"T)=3〃2_3；

又因为/(1)=3,所以/(〃)=3/.

【点睛】

本题主要考查归纳推理以及累加法求数列的通项公式，属于常考题型.

,、I(〃-1)。”,-c,、

15.已知数列｛q｝中，%=1,%=彳，且%+i=鼠―。(〃=2,3,4,...).

(1)求/、4的值，

1*

(2)设a=-----l(〃eN)试用"表示%,并求也｝的通项公式；

an+\

sin3/2*、

(3)设c.=-----求数列｛c“｝的前〃项和S”.

cos瓦•cos",

b=b9

【答案】⑴/=L。4=j⑵n+\——nnsN：b〃=3n,〃^N*；

710n

(3)tan(3n+3)-tan3.

【分析】

(1)由数列｛6J中，6=1,4=,，且q用二(〃―1""5=2,3,4,...),分别令〃=2

-4n-an

和〃=3,求出。3、。4的值•

r,1।〃一।n(l-a)n\\八一

(2)当〃N2时，-----1=-----------1=———-=---------------1,即

。〃+]5—(〃一1)为)

7777+1

bn=--bn_｝,则"川=——bn,然后用累乘法求解.

〃一1n

sin3rc、c

(3)由%=---------「=tan(3〃+3)—tan3〃，然后利用裂项相消法求解.

cos/?,,-cos/?„+l

【详解】

(1)；数列｛a“｝中，q=1,“2=1，

且4M=^^(〃=2,3,4,...)

n-an

]_

(2—1)%41

/.%=-------=~，

2-a22」7

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