刚体力学课件

刚体转动及角动量守恒LwIw刚体力学刚体力学rigidbodymechanics本章内容本章内容刚体的基本运动刚体定轴转动运动学刚体定轴转动定律角动量与角动量守恒定律刚体定轴转动的功能关系第一节刚体的基本运动Basicmotionofrigidbody刚体一、刚体概念在外力的作用下,物体的形状和大小不发生变化物体内任意两点间的距离都保持恒定的物体称为刚体.刚体是一种理想化的物理模型.在实际应用中,如果研究对象的形变可以忽略,则可以近似看作刚体处理.刚体可看成是由许多相对位置不变的质点组成的特殊质点系。刚体运动的分类二、刚体运动的分类rrva平动两点的连线任意刚体保持方向不变。各点的相同，可当作质点处理定轴转动刚体上每点绕同一轴线做圆周运动，且转轴空间位置及方向保持不变平面运动刚体的质心被限制在同一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面。定点运动刚体上各点都在以某一定点为球心的球面上运动。一般运动的混合。与一般转动平面运动第二节刚体定轴转动运动学Fixedaxisrotationofrigidbody刚体转轴转动平面（包含并于转轴垂直）pqrqrqqw一、描述定轴转动刚体的物理量X参考方向ppp刚体中任一点1、角位置qrad若规定矢径OP转动方程q((tqq沿逆时针转动为正,则顺时针为负.Oqr2、角位移rt0rqdq,不是矢量，但是矢量，rqdq其方向由右手螺旋法则确定转动物理量Flash动画无限小角位移的矢量性3、角速度ws1radtdqd也是矢量，用右旋法确定其方向w,wdq转动向wdq用矢量表示或时它们与刚体的转动方向成右旋关系方3、角加速度s2radatwddtdqd22角加速度也是矢量，其方向与的方向相同wd两个特定方向。在选定转轴正向后，可以用正负号代表其方向特别提示：在刚体定轴转动中，、、都只有沿轴向的qdwa角加速度假设刚体沿逆时针方向转动w((tw((tD+twD0wD00越转越快w((tw((tD+twD0wD00越转越慢若以竖直向上为转轴正向，则：dq0w0aa角线量关系定轴转动刚体的角量与线量的关系、二()aatdtdvdtdrwrnavr2(wr)2rrw2POwvaatnaPrOwqddsdsqdrvdtdqdrtdwrs这也是质点作圆周运动时线量与角量的基本关系适用于定轴转动刚体中任一个质量元。公式对比s021+vt2atqw0+t212t2vv022asw2w022qvv0+atww0+t匀变速直线运动匀变角速定轴转动svt匀速直线运动addtv加速度vddts速度rx1t2x()tx()位移r1t2()t()qqq角位移wddtq角速度waddt角加速度qwt匀角速定轴转动刚体的转动定轴质点的运动或刚体平动直线aaa例求1((w时飞轮的qt2s,2((时轮缘的t1satna,,at29.3s1rad解法提要w,qdtddtdqwwddt0tqq,0wdt0tqdt0t((2t3+23t2t4+12t2t24.66rad例已知飞轮半径0.2mRORs2rad2t2+2时t0wq0000,a1((,dtdwdtdwwdwdt0t0aaawdt0tdt0t2t2+2((2t3+23ta2((2t2+2t14s2radw2t3+23tt12.66s1radaat,RnaRw214.20.8ms2ms2aat+na221.63s2matbtanarcna60.4a第三节力矩转动定律转动惯量lawofrotatingrigidbodywithfixedaxis力矩rPzyxO转动平面参考平面((转轴定轴转动刚体djj力臂一、力对轴的力矩0F外力(大小,方向)作用点P(由位置矢量r描述)Mz力矩大小sinFdFrjF对刚体转动无贡献F对刚体转动的贡献用分力分力描述Mz力对Z轴的力矩0FFFjFrMz的力矩可以用矢量式表示：因为在转动平面内，对Ｚ轴FMzMzrF方向用右手螺旋法则确定力对转轴的力矩的方向与转轴平行。MzF合力矩合力矩的概念定轴转动刚体所受的合力矩，是指对转轴的各力矩之矢量和。左图例子中的合力矩为MzrFsinj111+rFsinj222rFsinjrFsinj333444MzSiMziSiriFsiniij先设定转轴Ｚ的正方向(设向上为正)合力矩转轴z刚体+转动平面rF124F3FF1r2r3r4j1j4j3j2O假定：各力的方向均在转动平面内转动定律二、刚体定轴转动定律ri=+riifsinqi∑iFijsin∑riarrmirmii∑2()并对所有质元及其所受力矩求和等式两边同时乘以合外力矩M内力矩成对抵消arrmirmii∑2()得M=tnrmirmiFiOrifiijwa瞬时瞬时角加速度角速度qirmirmirmirmirmirmifiFiFi+f=rmirmiaii某质元受外力受内力ijFisin+ifsinqit=ai=ria其法向分量均通过转轴，不产生转动力矩。其切向投影式为ntrmia刚体所获得的角加速度的大小与刚体I相同；与刚体的转动惯量成反比。M受到的合外力矩的大小成正比，方向刚体定轴转动定律I与刚体的性质及质量分布有关的物理量，用表示，称为：转动惯量续tnrmirmiFiOrifiijwa瞬时瞬时角加速度角速度qirmi2()MraSiaIMaMI或：得：转动惯量的计算三、转动惯量及其计算比较：aM=IaF=mMFaaImm——质量，描述刚体平动时惯性大小的物理量I——转动惯量，描述刚体转动时惯性大小的物理量I的意义I决定大小的因数总质量、质量分布、转轴的位置及取向m2kgI的单位质量连续分布的刚体rVdVr2mdr2mIr刚体的密度分布函数riri2I的计算式分立的质点组成的刚体rmiIS分立质点的算例Irmiriri2∑m1r12+2mr22若连接两小球（视为质点）的细杆的质量可以忽略，则：分立质点结构的刚体m12mOr1r2转轴Irmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)O2mm1601l2l转轴直棒算例质量连续分布的刚体LmCdmrdrI均匀直棒对通过中心且与棒垂直的转轴LmOdmrdrI均匀直棒对通过棒端且与棒垂直的转轴3mL1r3L2L2211mL2I2rdmL2L22rmLdrCmL31r3L031mL2I2rdmL2rmLdr0O圆盘算例OrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2mI匀质圆盘对通过质心且与盘垂直的转轴的rdr取半径为,宽为的窄带园环,2dmmpR2pdrr2mRdr2r其质量为:2IOIC+md平行轴定理IC通过刚体质心的轴的转动惯量为CCIO通过与该轴平行的另一轴的转动惯量为OOmCOd,L质心CO则例直棒I121mL2C直棒dL2当时IO31mL2正交轴定理对于薄板状刚体xYZOx轴、轴在板内，且互相垂直；Y轴通过、轴的交点，且垂直板面ZxY则IzIx+Iy其它典型RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I

=

m

R

2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I

=2m

R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I

=(R1

+

R2

)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI

=

R

+

22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I

=2m

R3转动定律例题一四、转动定律应用选例aIM注意：aM、都是矢量，但在定轴转动中，只有沿轴向的两个方向。所以实际应用时，可先选定转轴的正方向，进行代数运算求：2pq,时，w？MmgL21qcos,m2I31LaMIqcos23Lgwdw00wq23Lgqcosqd3Lgqsinw3Lgtddwatdddqdwqwqddw利用例OLm,qmg匀质细杆可绕过端点的轴在竖直平面内转动。现从水平位置静止释放转动定律例题二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iaa=RaI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考虑有转动摩擦力矩

Mr,则转动式为(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ia再联立求解。力矩的功算例RrOrdmmd例求经过多长时间圆盘停止转动？已知粗糙水平面mmmROd平放一圆盘转轴w0解法提要MrMrd总摩擦力矩是各微环带摩擦元力矩的积分2prdsdr()dmpr2dmdsd环带面积环带质量gmmdmfdrMrdfdrr2mmgR2r2dr环带受摩擦力环带受摩擦力矩总摩擦力矩MrMrd2mmgR3由MrIaIddtw1mR22ddtww0t4mg3R4mgR3dtdwOOtw0第四节刚体的角动量角动量定理角动量守恒定律质点的角动量LvrqLrmv质点对某参考点的角动量OrOqrsinqmv惯性系中的给定点回顾：质点的角动量、角动量定理、角动量守恒定律质点系的角动量LrmvSiiiSLi角动量定理ddtLrFMdLMdtiiS角动量守恒定律0若M则L恒矢量刚体的角动量一、刚体定轴转动的角动量vimriOriwviriwLwI定轴转动刚体的角动量大小方向L与同绕向wLw或与沿轴同指向角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的矢量和Limriviriw2mririmri任一质元对转轴的角动量LLiw2mriri()SwI所有质元（整个刚体）对转轴的角动量S所有质元都在垂直于转轴的平面内以轴为圆心作圆周运动角动量定理二、刚体定轴转动的角动量定理1、刚体定轴转动的角动量定理tdLdM合外力矩角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）0ttL0LL0LIwI0w0dLdtM由转动定律aIIwtddM()dtdIwtdLd合外力矩的冲量矩角动量的增量dLMdt例求制动力F重力R0gmN刹车过程应用角动量定理飞轮:刹车块正压力支座反力均通过转轴,无力矩.0tdtLL0M0例ABDlbFmor0w已知n0w转分时刹车,秒内停转在tm刹车块与轮缘摩擦系数飞轮转动惯量0Imr2忽略刹车杆的质量n602ps1rad代入得0tdt0I0wmFlbrF0I0wbmlrmrnpbt30mltgmor0wfNR0fABlbFNRR解法提要受力和力矩的分析力矩平衡FlNb0杆AB:R摩擦力f支座反力R,均通过转轴,对合力矩无贡献.NFlb即其中M0frmNrmFlbr初角动量L00I0wL0末角动量(停转),刚体系统的角动量定理2.（刚体+质点）系的角动量定理wOvm1gm1mRR静止释放例a求角加速度mm1gm1RMi解法提要取系统：轻绳合外力矩∑mm1LmLm1Iw21mR2wm1vRmR2w对的角动量O对的角动量O同向MiLtddigm1Rtdd(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtdd∑∑由得wtddgm12m(m1+)Raa解得又2若一个系统包含多个刚体或平动物体共轴系统的总合外力矩系统的总冲量矩d1t2ttM()1LLii2∑MiLtddi∑∑系统总角动量的变化率系统总角动量的增量刚体的角动量守恒定律三、“刚体+质点”共轴系统的角动量守恒定律系统的角动量定理MLtdd由M0Ltdd0——系统的角动量守恒定律若则即共轴系统所受的合外力矩L常矢量SiL特别说明：系统的角动量守恒定律质点”共轴系统，对不仅适用于“刚体+单个质点、形状可变的单个刚体、非刚体都适用。此外，上述角动量定理和角动量守恒也适用于刚体的定点转动。角动量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律是自然界的三大守恒定律。回转仪LwIIwZZ万向支架基座回转体（转动惯量）Z回转仪定向原理Z回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。受合外力矩为零角动量守恒wILZZ常矢量wI其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向某方向Z使其以角速度高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响Z角动量守恒的另一类现象收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小wIwIwIw角动量守恒的另一类现象乘积保持不变变小则变大、变大则变小花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变Iw变大则Iw变小收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰收臂大小Iw张臂Iw大小先使自己转动起来收臂大小Iw共轴系统的角动量守恒共轴系统若0IMwS外则LSi恒矢量Sii轮、转台与人系统I轮I人台初态全静LSi初0人沿某一转向拨动轮子w轮末态w人台I轮w轮LSi末+I人台w人台LSi初0得I人台w人台I轮w轮导致人台反向转动守恒例题一wA静已知例AIBIA、B两轮共轴A以wA作惯性转动解法提要

以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量wAAI+0()AI+BIwAB末态角动量得wABwAAI()AI+BI求两轮啮合后一起作惯性转动的角速度wABwAB第五节principlework-energyoffixed-axisrotationofrigidbody刚体定轴转动的功能关系力矩的功一、力矩的功和功率OqdjPrrdtFcosFrd2pj()rdFrdsinjdAFrdF力的元功力对转动刚体所作功可以用力矩的功来计算dAAq12qMqdq12q刚体由转到M作的总功为PAddtwMqddtM力矩作功的瞬时功率FrsinjqdMqddAMqd力矩的元功转动动能二、定轴转动刚体的转动动能rmiviriw刚体中任一质元的速率Eik21rmivi221rmiriw22该质元的动能对所有质元的动能求和rmiri2()∑EkEik21w2∑转动惯量IzEk21w2刚体转动动能公式得IzwOzrivirmi合外力矩的功转动动能的增量刚体的动能定理三、刚体转动的动能定理由

力矩的元功dAqdM转动定律bIMdAbIqdIwdtdqdIqdtdwdIwwd则AdAqdMq0qw0wIwwd2121202IwIwmAv21mv202？21回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理称为动能定理例题三由Aw212I0w212I得w2AI代入得w247gL解法提要41LgmA4qdcos02pLqgm从水平摆至垂直，重力矩作正功IIc+md2由平行轴定理Lm2121+m412L（）Lm2487已知例求摆至垂直位置时杆的w34Lqw00wgmO水平位置静止释放14L含平动的转动问题四、含的功能原理质点平动刚体定轴转动+rE机械A外力A非保守内力矩力力矩(E动+)E势(E动+)E势00()E平动+E转动()E+E00平动转动A外力力矩0A非保守内力矩力0+A外力A非保守内力矩力力矩0E则或者以及若在一个过程中恒量系统的机械能守恒定律例解法提要对滑轮和重物分别运用刚体和质点的动能定理求解方法一:滑轮qr212wI0((T0重物THm1gH212m1v0gmNTwrOTm1gv方法二:取滑轮,轻绳,重物,地球为系统用系统的机械能守恒定律求解wrOHv00vm1212m1v+212wIgm1H0vrw因,I221mr代入可得v(21m1m+m1(2gH2gH因TT,Hrq,vrwI221mr,联立解得v(21m1m+m1(2gH2gH例v00Ovm1gm1mHrI221mr滑轮轻绳不伸长轮绳不打滑轮轴无摩擦由静止释放求下行时Hm1的v已知rE机械能+A非保守内力力矩A外力力矩0系统机械能守恒0以的初始位置为重力势能的零势点m1例已知例弹嵌于棒Olm2v0m1子弹03上摆最大转角求v0木棒联立解得6v0m11g(2l3)(())m2+2m1m2+3m1解法提要以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。wv0+m1v0lm1l+I该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆，用系统动能定理，其中非保守内力的功为零，m1gcosl(103(+21m2gcosl(103(外力（重力）的功A外0上摆末动能()m2121v+21wI2上摆初动能31vwlIm2l2,其中第五节刚体的平面平行运动一、刚体平面平行运动的描述特点刚体内在垂直于该平面的直线上各质点的运动状态完全相同刚体上任一质元都在平行于一个固定参考平面的平面内运动定义可以利用与参考平面平行的平面在刚体上截出一个平面图形，它在该平面上的位置和运动一经确定，则刚体的位置和运动也随之确定在刚体上截出的与参考平面平行的平面图形基面在基面上选取的参考点基点确定这个被截出的图形在该平面上的AxyAj（）、、位置，需要三个独立的坐标：基点基面但绕基点的转动与基点的选择无关。基点选择不同，基点的运动也不同，=基点的运动+绕基点的转动刚体的平面平行运动=基面的运动jABjD1jD2jD1jD2二、转动瞬心纯滚动1、转动瞬心jDAA'BB'若以为基点，则任意点ABvrBvA+wAB若vB0则该点称为刚体的B转动瞬心刚体在该时刻的运动就等效于绕转动瞬心的转动2、纯滚动基面C转动瞬心vCwr质心的速度质心的加速度aCarwa,分别是圆柱体纯滚动时的角速度和角加速度若半径为的圆柱面在平面上滚动时，接触点的速度为，则称为纯滚动。0此时，接触点就是转动瞬心r三、刚体平面平行运动的动力学方程以质心为基点，则刚体的平面平行运动C质心的运动+绕质心的转动由质心运动定律FxacxSmFyacySm由刚体定轴转动定律aMSICC刚体上任意一点的速度、加速度BarBaC+aCBCvrBvC+wCBC可以证明，刚体的动能21mvC2Ek21w2IC+C圆形物体作纯滚动时：vCwraCar进动简介：进动可以绕对称轴高速旋转的刚体称为回转仪（陀螺）陀螺在绕对称轴高速转动的同时，还绕竖直轴转动的现象称进动r０MＺmgqrqsinＬＬ+Ｌd０ＬdＺqjdLqsinMLtdd由Ｍ＝０时，不变。Ｌ即陀螺的转动速度和转轴方向均不变，没有进动产生进动的原因：外力对支点的力矩Ｍ＝００。wＺ００Ｌ陀螺角动量增量的方向与外力矩的方向一致，但的大小不变，只有Ｍ方向改变，故产生进动。d＝ＭtdＭ＝０时Ｌ回转定向仪进动守恒例题三求

满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度lw？匀质直棒与单摆小球的质量相等两者共面共转轴水平静止释放例mOllm静悬弹碰忽略摩擦联立解得l3l,gw23l()120.577l~~~~1.861gl解法提要对摆球、直棒系统mgl21mv2小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始由动能定理得I31ml2其中

球、棒相碰瞬间在铅垂位置，系统受合外力矩为零，角动量守恒。+刚要碰时系统角动量0刚碰过后系统角动量0mvlwI+球棒球棒弹碰阶段21Iw221mv2弹碰过程能量守恒球体算例匀质实心球对心轴的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量