高中数学概念

高中数学概念总结

一、函数

1、若集合A中有n（〃wN）个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2”,所有

非空真子集的个数是2"—2。

,b

二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴方程是苫=——，顶点坐标是

2a

（h4ac-h2

---,--------o用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式,

（2〃4a）

即/（X）=+〃X+C（-“般式），/（X）=。（九一毛）・（工一12）（零点式）和

/（x）=a（x-in）2+n（顶点式）。

m

2、辕函数y=x",当n为正奇数，m为正偶数，水n时，其大致图象是

3、函数y=|x2-5%+6］的大致图象是

由图象知，函数的值域是［0,+00),单调递增区间是［2,2.5］和［3,+8),单调递减区

间是(—00,2］和［2.5,3］。

二、三角函数

1、以角a的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角a的终边

VX

上任取一个异于原点的点P(x,y),点p到原点的距离记为7•，则Sina二土，cos。二一，

rr

yxrr

tga二一,ctga二一,seca二一，esccc=一。

xyxy

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：sin?a+cos?a=1,\+tg2a=sec2a,

1+c火2a=esc2a；

倒数关系是：tga-ctga=1,sinacsca=1,cosa-seca=1：

।人、，“sinacosa

相除关系是：tga=-----，etga=------。

cosasina

3万

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限<>如sin（j--。）=-cosof,

/15万、-、

ctg（-^--a）=tgaf吆（3乃—a）=一吆a。

4、函数y=Asin（@;+e）4-B（其中A>0,69>0）的最大值是A+8,

最小值是B-A>周期是T=—»频率是f——,相位是cox+(p,初相是(p:

co2TI----------

71

其图象的对称轴是直线①x+(p=k兀+3*0，儿是该图象与直线y=8的交点

都是该图象的对称中心。

5、三角函数的单调区间：

7171

ysinx的递增区间是2k兀-----2k冗T—(&wZ)，递减区间是

22

_.7C__3几

2k7Cd,2k7Td(ZcZ)y=cos1的递增区间是

22

\lk7c一4,2攵;r］伏£Z),递减区间是［2攵万,2%乃+%］伏£Z),y=吆尤的递增区

,71.71

间是K71----,k兀d-----(keZ),y=ctgx的递减区间是

22

(攵乃,kTT+兀)(keZ)。

6、sin(a±^)=sinacos[}±cosasin(3

cos(a±J3)=cosacos/干sinasin(3

7、二倍角公式是：sin2a二2sina・cosa

cos2a二cos?a-sin2a二2cos?。一1二l-2sin?a

2tga

tg2a=---------

1一吆a

8、三倍角公式是：sin3a二3sina-4sin3acos3a=4cos'a—3cosa

a1-cosa1+cosa

9、半角公式是：sin-±J--------------cos——二士

2V222

a।1-cosa1-cosasina

tg——士-------------------二---------

2V1+coscifsina1+cosa

..八2a

10、升幕公式是：l+cosa=2cos—1-cosa=2sin2—o

22

.1-cos2a21+cos2a

11、降2塞公式是：sina=--------cosa----------

22

ca12a

2fg万1一收5，28a2

12、万能公式：sina=-------cosa二----------tga二-------

i2ai2ai9a

l+g-耳]+%2iTg-

13、sin(a+yff)sin(a-^)=sin2a-sin2,

cos(a+/?)cos(a一夕)=cos?a-sin2夕=cos2夕一sin?a。

14、4sinasin(60°一a)sin(60°+a)=sin3a；

4cos6zcos(60°-6Z)COS(60°+cr)=cos3a；

tgatg(60O-a)tg(600+a)=，g3a。

15、ctga-tga=2ctg2a,

0V5—1

16、sinl8=-----。

4

17、特殊角的三角函数值:

717171713)

a071

-647~2T

\_

sinCC0也10-1

22V

V2

cosCC1旦0-10

V22

旦

tg。01V3不存在0不存在

V3

Ctgtt不存在V310不存在0

、,一ahc

18、正弦定理是（其中R表小三角形的外接圆半径）：-----=------=------=2R

sinAsinBsinC

19、由余弦定理第一形式，h2=a2+c2-2accosB

2oi

a-b

由余弦定理第二形式，cosB二-------------

2ac

20、ZXABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表

示则：

①S=La也=・・•；②S='AcsinA=…；

202

③S=2斤sinAsinBsinC；®S=----；

4R

⑤S=Jp(p-a)(p-h)(p-c)；®S=pr

21、三角学中的射影定理：在AABC中，0=Q・cosC+c・cosA,…

22、在AABC中，A<B<=>sinA<sinB,…

23、裕ABC中:sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

.A+BCA+8.CA+BC

sin-------=cos—cos--------=sin—tg—^—=ctg—

2222

tgA+tgB+tgC=tgA-tgB•tgC

24、积化和差公式：

①sina•cos0=；[sin(<z+〃)+sin(a-2)],

②cosa•sin夕=g[sin(a+/?)-sin(a-(3)1，

③cosa-cos0=:[cos(a+/?)+cos(a—£)],

④sina•sin/=一,[cos(a+/)-cos(a-〃)]。

25、和差化积公式:

①sinx+siny=2sin—寸•cos---,

②sinx-siny=2cos-V+-■sin--,

22

…-x+yx-y

③cosx+cosy=2cos—-cos-,

公x+y.x-y

@cosx-cosy--2sin---sin----。

三、反三角函数

1、y=arcsin无的定义域是[-1,1],值域是[一巳，6],奇函数，增函数；

22

y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,1],非奇非偶，减函数;

y=arctgx的定义域是R,值域是奇函数，增函数;

22

y=arccfgx的定义域是R,值域是（0,万），非奇非偶，减函数。

2、当x£[-1,1]时,sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=cos(arcsinx)=Jl一-

arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=兀一arccosx

.71

arcsinx+arccosx=—

2

对任意的XEH,有：

tg(arctgx)=x,ctg(arcctgx)=x

arctg{-x)--arctgx,arcctg(-x)=7T-arcctgx

71

arctgx+arcctgx=—

当xw0时，有：tg(arcctgx)=—,ctg(arctgx)=—。

xx

3、最简三角方程的解集:

>1时,sinX=a的解集为。;

的解集为卜卜=〃乃+

同W1时,sinx=a(-1)〃-arcsine,〃£Z

|4〉1时,cosx=。的解集为。；

同W1时,cosx=a的解集为卜|x=2〃万士arccosa,〃Ez｝；

a£R，方程氏x=〃的解集为｛尤卜=ri7tarctga,nGZ）；

a£R,方程以gx=a的解集为｛x|x=n7i+arcctga,nez｝0

四、不等式

1、若n为正奇数，由a<b可推出a"<b"吗？（能）

若n为正偶数呢？（仅当a、b均为非负数时才能）

2、同向不等式能相减，相除吗（不能）

能相加吗？（能）

能相乘吗？（能，但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：空J拓

2

a+b+c/-；-

三个正数的均值不等式是：--------->Uabc

3

n个正数的均值不等式是：一!——2------二之收如…CI,

4、两个正数。、b的调和平均数、儿何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

,12

ab

6、双向不等式是：|同一同|引〃±/?K同+Ml

左边在ab<0（>0）时取得等号，右边在ab>0（<0）时取得等号。

五、数列

1、等差数列的通项公式是。〃=%+（〃—l）d,前"项和公式是：Sn———

二叫十一〃(〃-l)do

2、等比数列的通项公式是%=%/1，

%(q=1)

前n项和公式是：S=<«|(1-q')/八

—：------("1)

I1-q

3、当等比数列｛4“｝的公比q满足@〈1时，limS“=s=—幺一。一般地，如果无穷数列

I001-q

｛a,J的前n项和的极限limS“存在，就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的

〃f8

和)，用s表示，即s=limS“。

n->co

4、若m、n、p、qGN,且〃2+n=p+q,那么：当数列｛氏｝是等差数列时，有

am+an=ap+aq；当数列｛a“｝是等比数列时，有am-an-ap-aq.

5、等差数列｛a“｝中，若S.=10,SM=30,则SM=K；

6、等比数列｛。“｝中，若S.=10,Sz“=30,则&n=迎；

六、复数

1、i”怎样计算？(先求n被4除所得的余数，i4k+r=zr)

]-x/31

2、a>.=——+——i、<y,=------------i是1的两个虚立方根，并且:

122222

3、复数集内的三角形不等式是：卜卜卜2||<|&±Z2|〈|zJ+|z2|，其中左边

在复数八、Z2对应的向量共线且反向(同向)时取等号，右边在复数Z'、Z2对应的向量共

线且同向（反向）时取等号。

4,棣莫佛定理是：［r（cosO+isin。）］"=r"（cosn8+isinne）（〃wZ）

5、若非零复数z=r（cose+isina）,则z的n次方根有里个，即：

"厂/2k7r+a..2k;r+a

z=Vr（cos-------+zsin-------）（k=0,l,2,…，«-1）

knn

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为我的圆上，并且把这个圆n等分。

6、若%|=2,Z23（cos—+isin—）■Z\•复数z、、z?对应的点分别是A、B,

则AAOB（0为坐标原点）的面积是工x2x6xsin工=3百。

23

7、Z-Z=|z|2o

8、复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

①argz=6（防实常数）一轨迹为一条射线。

②arg（z-Zo）=6（Zo是复常数，，是实常数）c轨迹为•条射线。

③|z-z0|=r（r是正的常数）一■轨迹是一个圆。

④卜―zj=卜―口|（2］、"是复常数）—轨迹是一条直线。

⑤|z—zJ+|z—Z2|=2a（Z］、Z2是复常数，a是正的常数）3轨迹有三种

可能情形：a）当2a＞匕一Zzl时，轨迹为椭圆：b）当2。=|哥一马|时，轨迹为一条线

段；c）当2a＜忆一力时，轨迹不存在。

⑥以一石|一|z-Z2||=2a（a是正的常数）一轨迹有三种可能情形：a）当

2a＜忆一0|时，轨迹为双曲线；b）当2a=卜一Z2|时，轨迹为两条射线：c）当

2a>卜1一72|时，轨迹不存在。

七、排列组合、二项式定理

1、加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

〃!

、排列数公式是：l：

2Pf"=n（n-1）•••（«-m+1）=---------

排列数与组合数的关系是：P：=m!・C：

组合数公式是：C：：二——--------二--------------；

1x2x・・•xmm!•（几一加）!

组合数性质：c：=c：fc;+c：i=c;\

EQ：=2"C=〃C：1

r=0

C;+C；M+C>+…+c：y：

3、二项式定理：

（a+b）"=C^a"+C\an-'b+C^an-2b2+…〃+…+C,»"二项展

开式的通项公式：乙|（r=°，1，2…，n）

八、解析几何

1、沙尔公式：

、数轴上两点间距离公式：

2|A8|=\xB-xj

3、直角坐标平面内的两点间距离公式：山刃=-=2）2+（）1-乃）2

-----PP

4、若点P分有向线段4乙成定比入，则人二」~

尸尸2

5、若点尸（1修，%），P2（x2,y2）,尸（尤,y）,点P分有向线段尸］鸟成定比人，

x-xy-y.

贝ij：入=-----Lx=Z_<L

々一元力—y

x,+Ax

x=------?-

1+2

1+4

若4(阳，必)，B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标是

%]+%2+3%+力+y3。

33

6、求直线斜率的定义式为1;=次],两点式为k=乃二M

々一/

7、直线方程的几种形式：

点斜式：y-yQ=k(x-xQ),斜截式：y=kx+b

的占才了一月元一项蚌蛆t1

两点式：-------=-------，截距式：一+—=1

y2f》2一占ab

一般式：Ax+By+C=0

经过两条直线乙：A]X+Bp，+G=°和/2：AzX+Bzy+C?=。的交点

的直线系方程是：A/+B]y+C]+丸(A2]+8?)，+。2)=0

8、直线(：y=k}x+be/2：y=七/+%,则从直线/]到直线，2的角。满

八k)—k[

足：火。=」——

1+左扃

k—k

直线I.与L的夹角。满足：tgO=”——L

12

l+ktk2

直线/]：Ax+.y+C]=0,Z2：A2x+B2y+C2=0,则从直线乙到直线"的

4&一A2B|

直线6与4的夹角。满足：tg®

A[A,+B[B)

9、点尸（飞，打）到直线/：Ax+8y+C=0的距离:

|Ax0+By。+c|

10、两条平行直线/|：Ax+By+C,=0,/2：Ax+By+C2=0距离是

A1+B

11、圆的标准方程是：(x—a)2+(y-b)2=/

圆的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F0(£>2+E2-4F>0)

VD2+£2-4F(DE\

其中，半径是r=--------------,圆心坐标是一一，一一

2(22)

思考：方程x2+y2+Dx+Ey+F^0在D2+E2-4F=0和

D2+E2-4/<0时各表示怎样的图形？

12、若4>1,必)，B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是

(x-X])(x-X2)+(J-%)(y—%)=。

经过两个圆

2222

x+y+D{x+Ely+F[=0,x+y+D^x+E2y+F.,=0

的交点的圆系方程是:

x~++D\x+E]y+K+A（x~+y~+D^x+y+F2）=0

经过直线/：4¥+8>+。=0与圆天2+y2+。工+与，+/=0的交点的圆系

方程是：x24-y2+£>x+Ey+F+A（Ax+By+C）=0

13、圆/+>2=/的以。（/，打）为切点的切线方程是

2

xox+yoy=r

•般地，曲线Ar+02-Ox+£），+尸=。的以点尸（与,打）为切点的切线方

程是：。例如，抛物线2

Axttx+Cy（）y-D-“+E-）；）。+F=0y=4x

X+]

的以点P（l,2）为切点的切线方程是：2y=4x-y-,即：y=x+l.

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常

规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：A>0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离；

②考查圆心到宜线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，

等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：y2=2px,y2=-2px,

22

x=2py,x--2pyo

16、抛物线y2=2px的焦点坐标是：d，0）,准线方程是：x=-yo

若点尸。0，孔）是抛物线V=2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为

焦半径）是：Xo+]，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长

是：2P。

JQyyX"

17、椭圆标准方程的两种形式是：——4了二1和——4-=I

a2b2a2b2

(a>h>0)o

18、椭圆一-+=1（tz>/?>0）的焦点坐标是（±c,0）,准线方程是x=±—,

ab--------c

离心率是6=一C，通径的长是2——b。其中o=〃o2-»6?2。

aa

v

19、若点「（公,〉0）是椭圆x一彳+彳=1（〃>匕>0）上一点，耳、尸2是其左、右焦

ab

点，则点P的焦半径的长是归用=a+e龙o和|尸身=a—%。

20、双曲线标准方程的两种形式是：=1和与----7=1

a2b2a2b2

(a>0,/?>0)o

21、双曲线-----=1的焦点坐标是（士C,0）,准线方程是X=±------,离心率是

crh--------c

Q2bJQ"y

e=一，通径的长是——，渐近线方程是一彳一二=0。其中c?=a2+b\

aaab

22、与双曲线---2y—1共渐近线的双曲线系方程是一-—上了—A（/IW0）o与双

〃2h2a2b2

曲线一3----Z-=1共焦点的双曲线系方程是一5--------7-----=1。

a2b2a2+kb2-k

23、若直线y=H+6与圆锥曲线交于两点A（x,,y）,B（X2,yj,则弦长为

2；

\AB\^yl(l+k)(Xl-x2y

若直线Xt与圆锥曲线交于两点A（x,,y.）,B（X2,y2）,则弦长为

*1+/232

|A6|=7（«）（＞,1-y2）-

24、圆锥曲线的焦参数P的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都有：

b2

P=—。

c

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点。'在原坐标系下的坐标是（h,k）,帮P在原坐标

系下的坐标是（x,y）,在新坐标系下的坐标是（x',y'）,则x'=x-/z,y'=y-k.

九、极坐标、参数方程

1、经过点P0（x0,y0）的直线参数方程的一般形式是：

x-x+at0公皿

\°n,“是参数）。

2、若直线/经过点息（公,%），倾斜角为a，则直线参数方程的标准形式是：

\”是参数）。其中点P对应的参数t的儿何意义是:有向线段与P

y=M）+，sina

的数量。

若点Pl、P2、P是直线/上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是4、七不则：

;

\P]P2=|^1^||当点P分有向线段尸]尸2成定比4时，t=[+：2;当点P是线

t+

段PR的中点时，t=-y_

2

x=a-\-rcosa口人

（a是参数）。

{y=b+rsina

3、若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标

为（夕超），直角坐标为（x,y），则x=夕cos。，y=psinO,

0="%2+/,tge=上。

X

4、经过极点，倾斜角为。的直线的极坐标方程是：。=&或。=%+&,

经过点（a,0）,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：pcos0=a,

经过点（”,］）且平行于极轴的直线的极坐标方程是：0sin6»=a,

经过点（夕0，30）且倾斜角为a的直线的极坐标方程是：

「sin（6-a）=p0sin（4-a）»

5、圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是Q=r；

圆心在点（。,0）,半径为。的圆的极坐标方程是p=2acos0；

圆心在点（。，|9，半径为a的圆的极坐标方程是°=2asin6；

圆心在点（自），%）,半径为r的圆的极坐标方程是

夕2+4-2/y>0cos（6>-6>0）=

6、若点M（p,,4）、N（0，％）,则

\MN\=Jp；+居一20夕2cos（仇一％）.

十、立体几何

S'

1、求二面角的射影公式是cos6=—,其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面

£

内图形F的面积，S'是图形F在二面角的另一个面内的射影，。是二面角的大小。

2、若直线/在平面a内的射影是直线直线m是平面a内经过/的斜足的一条直线，/

与/'所成的角为仇，/'与m所成的角为。2，/与m所成的角为9,则这三个角之间的关

系是cos6=cos-cos02o

3、体积公式:

柱体：V=S-ht圆柱体：V=加产•h°

斜棱柱体积：V=S'•/（其中,S'是直截面面积，/是侧棱长）；

11）

锥体：V=—5•/?,圆锥体：V=—7tr~•ho

33

台体：v=L^s+y/s-s'+s'）,

圆台