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文档简介
系统分析员考试复习部分
JavaBean组件模型特点：
①JavaBean组件模型是面向向客户端的组件模型；
②它支持可移植和可重用的Java组件的开发；
③JavaBean组件可以工作于任何Java程序应用开发工具中；
④JavaBean组件总是在程序运行时被实例化；
⑤JavaBean支持可视化及非可视化的组件模型。
EnterpriseJavaBean(EJB)组件模型特点：
①EJB是面向服务端的JavaBean组件模型。它是一种特殊的、非可视化的
JavaBean,运行在服务器上；
②EJB组件模型主要包括EJBServer,EJBContainer、EJBObject发及诸多相关
特性；
③EJBServer提供EJB组件运行环境，它负责管理和协调应用程序资源的分配；
@EJBContainer是用于管理EJBObject的设备，它负责EJB对象的生命周期的
管理，实现EJB对象的安全性，协调分布式事务处理，并负责EJB对象的上下
文切换；
⑤EJB规范提供了这样的一种机制，你可以通过在运行时设置相应的属性值来定
义每一个EJB对象的运行状态；
⑥DeploymentDescriptor被用于设置EJB对象的运行状态。
JSP胜过servlet的关键的优点：
①JSP是以显示为中心的，它为Web显示开发人员提供了更加自然的开发模式；
②JSP使人们把显示和内容分隔开成为可能；
③JSP可以帮助组织Web应用物理状况。
现代的企业计算解决方案除了企业的业务逻辑外，还需要提供对8种基本服务的
支持：
①命名/目录服务(NamingandDirectoryService)；
②数据访问服务(DataAccessService)；
③分布式对象服务(DistributedObjectservice)；
④企业管理服务(EnterpriseManagementService)；
⑤事务处理服务(TransactionProcessingService)；
⑥消息报务(MessagingService)；
⑦安全服务(SecurityService)；
⑧Web服务(WebService)。
J2EE的重要组成部分：
①JDBC
②EJB
③JavaRMI
④JavaIDL
⑤JNDI
⑥JMAPI(JAVAManagement)
⑦JMS
⑧JTS
(9)JSA(IAVASecurityAPI)
RMI和RPC的区别：
RMI是面向对象的，而RPC是基于过程调用的。由于RMI面向对象的特性,
RMI调用可以直接将对象在调用的两端之间进行传递，不但可以传送数据，而且
还可以传递方法，扩展了RMI的使用；另外RMI还支持两个RMI对象之间的方
法回调(callback)□
XML和HTML的主要区别：
①XML是元标记语言，用户可以自己定义所需要的标记；
②XML描述的是结构和语义；
XML技术和JSP技术集成的方案：
①以XML技术为前端显示层或者是后端数据层，JSP/JMS/Servlet/EJB等J2EE技
术为中间处理层；JSP等J2EE技术接受客户端的请求，从后端数据层中获得
数据，经过加工处理之后，以XML/XSL/XSLT/的形式返回客户端。在这个模
型，JSP技术充当了逻辑控制、计算处理的角色，而XML充当了显示数据、
存储数据、传递信息流的功能；
②TagLibraries在JSP程序中的大规模应用。
XML与JSP技术联合的优越性：
①简单性
②可扩展性
③便携性
④多样性
JDBC执行步骤(在JSP中)
SO8859_1"%>
<METAcontent="text/html;charset=gb2312"http-equiv=Content-Type>
<html><body><center>
<%
Stringurl="jdbc:odbc:wangn;
Connectioncon;
Statementstmt;
ResultSetrts;
%>
</center></body></html>
ASP加IODBC执行步骤(在ASP中)
<%@Language=VBScript%>
<%
‘建立连接
"wangn，打开连接
setrsCheck，建立记录
ifRequest(ntextOn)<>'H,then
da=Request(ntextOH)
dimnd,nj,bj,xm,bh,pj,jj
nd=cstr(year(date))+“年度”
ifmonth(date)<7then
nd=nd+”第一学期”
else
nd=nd+"第二学期"
endif
nj=session("NJ")
bj=session("BJ")
xm=session("XM")
bh=session("BH")
pj=false
='"&xm&…
endif
%>
重用一组对象常常称为对象池化。
SAX(SimpleAPIforXML)：是事件驱动模型。
DOM(DocumentObjectModel)：是文档对象模型。
LDAP(LightweightDirectoryAccessProtocol)：轻量目录访问协议。
DOM要装入整个文档并对该文档进行解析会很慢且占用大量内存。SAX是工
作在数据流之上，在数据流经过时对其进行处理。它消除了在内存中构建数据树
的需要，但不允许开发者实际更改原始文档中的数据。
00A的主要优点：
①加强了对问题域和系统责任和理解；
②改进与分析有关的各类人员之间的交流；
③对需求的变化具有较强的适应性；
④支持软件复用；
⑤贯穿软件生命周期全过程的一致性；
⑥实用性；
⑦有有利于用户的参与。
00A过程包括以下主要活动：
①发现对象，定义它们的类；
②识别对象的内部特征，定义属性，定义服务；
③识别对象的外部关系；
④划分主题，建立主题图；
⑤定义usecase,建立交互图；
⑥建立详细说明；
⑦原型开发。
把建立原型系统做为一种可能采取的策略的主要理由如下：
①由于人类的认识能力的局限，不能预先指定所有要求；
②在用户和系统分析员之间存在固有的通信鸿沟；
③用户需要一个“活的”系统模型，以便获得实践经验；
④在开发过程中重复和反复是必要的和不可避免的；
⑤目前有快速建立原型系统的工具可供选用。
原型法的主要优点：
系统开发人员与用户的交流直接，消除了开发人员与用户之间的通信障碍，
可以尽早地获得正确而完整的需求。开发过程简单，在一定程度上能适应需求的
变化，设计与编程更快速、更准确，开发效率也显著提高，而且提高了软件质量,
总开发费用也会减少。
面向对象方法的优点：
①按照人类的自然思维方式，面对客观世界建立软件系统模型；
②对需求变化的适应性；
③支持软件复用；
④可维护性好。
一个可复用构件应具备的条件是：
①独立性；
②完整性；
③可标识性；
④一般性；
⑤适应性；
⑥可靠性；
⑦标准化。
XML和CORBA、DCOM这些技术并不冲突：XML可以为它们做传递信息、资
料桥梁；XML使用方便；XML是纯文本形式，阅读方便，可用编辑器直接编写,
可以直接透过HTTP或SMTP等通信协议传送，开放式标准，对数据的描述，有
有进行数据挖掘，编排的便利。但是处理速度较慢。
所以SAX和DOM都是为了同样的目的而存在，这就是使用户可以利用任何编
程语言访问存入XML文档中的信息、（要有一个那种编程语言的解析器）。虽然他们
在提供给你访问信息的方法上大不相同。
什么是DOM?
DOM可以让你以分层次对象模型来访问储存在XML文档中的信息。DOM生成一
棵节点树（以XML文档的结构和信息为基础）你可以通过这棵树来访问你的信息。
在XML文档中的文本信息转变成一组树的节点。请看下图:
XMLDocumentDocumentobjecttree
<?xmlversion=H1.0"?>document
<addressbook>
<person>
<name>Nazmulldris</name>
<email>xml@</email>
</person>
<person>'person
<name>JohnDoe</name>node|name="JohnDoe"
<email>john@</email>email="john@"
</person>
</addressbook>
Figure1:Hierarchicalstructureofadocumentobject
不管你的XML文档中的信息的类型（不管是表格数据，或是一列items,或者
只是文档），D0M在你创建一个XML文档的文档对象时创建一棵节点树。D0M强迫
你使用树状模型（就像SwingTreeModel）去访问你的XML文档中的信息。这种模
式确实不错因为XML原本就是分层次的。这也是D0M为什么可以把你的信息放到
一棵树中的原因（即使信息是表格式的或者简单的列表????这里不知道该怎么翻
原文是：eveniftheinformationisactuallytabularorasimplelist??????）。
上图是过分简单的，因为在DOM中,每一个元素节点实际上都有一系列的其他
节点作为它的孩子。这些孩子节点可以包含文本值或者是其他元素节点。乍看起
来，通过遍历访问一个元素的所有孩子节点来访问这个节点的值是没有必要的（举
例来说:节点”<name>Nazmul</name>”,Nazmul是值）。如果每个元素只有值的
话，这确实是没有必要的。但是，元素可能含有文本数据或者其他元素;这是你要
在D0M中做额外的工作来获取元素节点值的原因。通常当你的文档中只有纯数据
时，把所有的数据压成一个“块”放到字串中并让D0M把那个字串当成某个特定元
素节点的值返回是适当的。这种方式并不适合如果在你的XML文档中的数据是个
文档（比如像WORD文档或者FRAMEMAKER文档）在文档中，元素的顺序是非常重
要的。对于纯数据（像一个数据库表）元素的顺序是不要紧的。之所以D0M保持从
XML文档中读出的元素的顺序，因为它把所有的事物都当成文档来处理。文档对
像模型的叫法由此而来。
如果你计划用D0M做为JAVA对象模型用于你存储在XML文档中的信息，那么
你不需要考虑SAXo可是如果你发现D0M不是一个可以用于处理XML文档信息的好
的对象模式，那么你可能想看看SAXTo在一些必须使用自定义对象模型的案例
中使用SAX是非常普遍的。说一句让事情看来有些糊涂的话，你也可以在DOM的
基础之上创建自己的对象模式。面向对象真是个好东东。
什么是SAX?
SAX让你访问储存在XML文档中的信息，不是通过节点树，而是一系列的事件。
你会问，这有什么益处？回答是，SAX选择不在XML文档上创建JAVA对象模型（像
DOM做的那样）。这样使得SAX更快，同时使下面所述成为必要：
创立你自己的自定义对像模型
创建一个监听SAX事件的类同时，创建你自己的对象模型。注意这些步骤对
DOM而言是不必要的，因为DOM已经为你创建了一个对象模型（将你的信息用一棵
节点树表示）。
在使用DOM的情况下,解析器做了绝大多数事情，读入XML文档，在这基础之
上创建JAVA对象模型，然后给你一个对这个对象的引用（一个Document对象）,
因而你可以操作使用它。SAX被叫做SimpleAPIforXML不是没有原因的，她真
的很简单。SAX没有期待解析器去做这么多工作，所有SAX要求的是解析器应该
读入XML文档，同时根据所遇到的XML文档的标签发出一系列事件。你要自己写一
个XML文档处理器类（XMLdocumenthandlerclass）来处理这些事件，这意味着
使所有标签事件有意义还有用你自己的对象模型创建对象。所以你要完成：
控制所有XML文档信息的自定义对象模型（或者源文档在这里的写法从来没
有见过，或者怀疑源文档在这里有排版错误，先这么翻了）一个监听SAX事件（事
件由SAX解析器读取你的XML文档时产生）的文档处理器，还有解释这些事件创建
你自定义对象模型中的对象如果你的对象模型简单的话那么SAX在运行时会非常
快。在这种情况下，它会比D0M快，因为它忽略了为你的信息创建一个树形对象模
型的过程。从另一方面来说，你必须写一个SAX文档处理器来解释所有的SAX事
件（这会是一件很繁重的工作）。
什么类型的SAX事件被SAX解析器抛出了哪？这些事件实际上是非常简单的。
SAX会对每一个开始标签抛出事件，对每一个结束标签也是如此。它对#PCDATA和
CDATA部分同样抛出事件。你的文档处理器（对这些事件的监听器）要解释这些事
件同时还要在他们基础之上创建你自定义的对象模型。你的文档处理器必须对这
些事件做出解释，同时这些事件发生的顺序是非常重要的。SAX同时也对
processinginstructions,DTDs,comments,抛出事件.但是它们在概念上是一
样的，你的解析器要解释这些事件（还有这些事件的发生顺序）以及使他们有意
义。
什么时候使用D0M
如果你的XML文档包含文档数据（例如，FramemakerdocumentsstoredinXML
format）,那么DOM就是你的解决方案的最自然选择。如果你要创建一些类似于文
档信息管理的系统，那么你不得不处理大量的文档数据。DatachannelRIO产品
就是这么一个例子，它可以索引和组织各种类型文档资源中的信息（例如Word和
Excel文件）。在这种情况下，D0M是非常合适程序去访问存贮在这些文档中的信
息的。
然而，如果你主要处理的是结构化的数据（在XML中的序列化的JAVA对象the
equivalentofserializedJavaobjectsinXML）,DOM不是最好的选择。那就
是SAX会比较合适的地方。
什么时候使用SAX
如果在你XML文档中的信息是机器易读的（和机器生成的）数据，那么SAX是
让你可以访问这些信息的合适的API。机器易读和生成的数据类型包含像下面这些
东东：
存成XML格式的Java对象属性用一些以文本为基础的查询语句（SQL,XQL,
OQL）表示的查询由查询生成的结果集（这也许包含关系型数据库表中的数据编码
成XML）.这么看来机器生成的数据是你一般要在java中生成数据结构和类的信
息。一个简单的例子是包含个人信息的地址簿，在上图所示。这个地址簿xml文
件不像字处理器文档，它是一个包含已经被编码成文本的纯数据的XML文档。
当你的数据是这种样式，你要创建你自己的数据结构和类（对象模型）来管
理操作以及持续保存这些数据。SAX容许你快速创建一个可以生成你的对象模型实
例的处理器类。一个实例是：一个SAX文档处理器。它完成的工作有读入包含我
的地址薄信息的XML文档，创建一个可以访问到这些信息的AddressBook类。SAX
指南告诉你该怎么做到这些。这个地址薄XML文档包含person元素，person元素
中有name和email元素。我的AddressBook对象模型包括下面的类：
AddressBook类,Person对象的容器Person类,String型的name和email
的容器这样我的“SAX地址簿文档处理器”可以把person元素转变成Person对
象了，然后把它们都存入AddressBook对象。这个文档处理器将name和email元
素转变为String对象。
结论
你写的SAX文档处理器（SAXdocumenthandler）做了将元素映射为对象的
工作。如果你的信息被结构化成可以容易创建这样的映射，你应该使用SAXAPE
从另一方面来说，如果你的数据更适宜用树来表示那么你应该使用DOMo
XML在ASP中用DOM：
<Hl>ScriptingNewsHeadlines</Hl>
<%
dimi
or:red'>")
fori=ltonumber
next
%>
<HTML><BODY>
<%
%>
</BODYx/HTML>
HTML的缺点：
①链接丢失后不能自动纠正；
②动态内容需要下载的部件太多；
③搜索时间长；
④HTML缺乏对双字节或多国文字的支持，或者说支持不够；
⑤HTML可扩展性差。
进程通信：
①在共享存储的程序中，可通过读/写共享变量的方法实现；
②子进程和父进程可通过参数传递方法实现；
③在分布存储的程序中，可以使用消息传递方法进行交换数据。
拉哥朗日插值：有n+1个插值点，最高次数为n；
牛顿插值：有n个插值点，最高次数为n；
埃米尔特插值：有n个插值点，最高次数为2n-l；
第一类间断点：
第二类间断点：
驻点：导数为0的点。当函数可导时，极值点一定是驻点；反之不成立。
解：用到以下东东：
一般地，设f(x)连续，a(x)、B(y)可导，则有
V『''fSdt=/［尸(切尸’(x)-〃a(x)k'(x)
则得到：
矩阵加法满足下述性质：
①交换律：A+B=B+A；
②结合律：(A+B)+C=A+(B+C)
③A+0=A；
④A+(-A)=0
矩阵乘法满足下述性质：
①结合律：(AB)C=A(BC)；
②分配律：A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA；
注意：矩阵乘法没有交换律。
如果矩阵B可以由A经过一系列初等变换得到，则称B与A等价。矩阵的等价关
系具有自反性，对称性和传递性。矩阵B和矩阵A等价的充分必要条件是：它们
的标准形相同。
版本控制工具：
RCSSCCSPVCS
UML开发工具：ilogixRhapsody
MicrosoftvisioRationalRose/RoseRT/XDO
SybasePowerDesigner
RationalRose家族成员有：
RationalRobert用于测试
RationalTestManager测试管理工具
支持回返工程的工具
代码生成(CustomizablecodeGeneration)
逆向工程(ReverseEngineering)
区分模型差异(ModelingDifference)
设计修改(Design-Update)
支持团体开发工具
个人工作间(Workspace)
结构管理系统(ConfigurationManagement)
虚拟路径图。'
一般的数据备份操作有三种。一是全盘备份，即将所有文件写入备份介质；二是
增量备份，只备份那些上次备份之后更改过的文件，是最有效的备份方法；三是
差分备份，备份上次全盘备份之后更改过的所有文件，其优点是只需两组磁带就
可恢复最后一次全盘备份的磁带和最后一次差分备份的磁带。在确定备份的指导
思想和备份方案之后，就要选择安全的存储媒介和技术进行数据备份，有“冷备份
”和“热备份"两种。热备份是指"在线"的备份，即下载备份的数据还在整个计算机
系统和网络中，只不过传到令一个非工作的分区或是另一个非实时处理的业务系
统中存放。"冷备份"是指"不在线"的备份，下载的备份存放到安全的存储媒介中，
而这种存储媒介与正在运行的整个计算机系统和网络没有直接联系，在系统恢复
时重新安装，有一部分原始的数据长期保存并作为查询使用。热备份的优点是投
资大，但调用快，使用方便，在系统恢复中需要反复调试时更显优势。热备份的
具体做法是：可以在主机系统开辟一块非工作运行空间，专门存放备份数据，即
分区备份；另一种方法是，将数据备份到另一个子系统中，通过主机系统与子系
统之间的传输，同样具有速度快和调用方便的特点，但投资比较昂贵。冷备份弥
补了热备份的一些不足，二者优势互补，相辅相成，因为冷备份在回避风险中还
具有便于保管的特殊优点。在进行备份的过程中，常使用备份软件，它一般应具
有以下功能。保证备份数据的完整性，并具有对备份介质的管理能力；支持多种
备份方式，可以定时自动备份，还可设置备份自动启动和停止日期；支持多种校
验手段(如字节校验、CRC循环冗余校验、快速磁带扫描)，以保证备份的正确性;
提供联机数据备份功能；支持RAID容错技术和图像备份功能。
WebService
是建立可互操作的分布式应用程序的新平台。WebService的基础是XML的消息
传递，其传递是通过标准的网络协议，如HTTP。组成WebService平台的三个技
术：
①XML和XSD
XML是WebService平台上表示数据的基本格式。XMLSchema(XSD)定义
一套标准的数据类型。
②SOAP
SOAP简单对象访问协议提供了标准的RPC方法来调用WebService。SOAP规范
定义了SOAP消息的格式以及如何通过HTTP协议来使用SOAPoSOAP也是基于
XML和XSD,XML是SOAP的数据编码方式。
③WSDL
WebService描述语言（WSDL）,是基于XML的语言，用于描述WebService
及其函数、参数和返回值。
创建简单的WebService的方法：
①供应商选择自己的编程语言，中间件和开发平台开发、装配WebService；
②各供应商定义一个WebService描述语言（WSDL）,通过统一语言和标准来建
立WebService；
③供应商在UDDI注册，UDDI能让供应商发布WebService,并能为他们的软件
找到由其它供应商提供的服务，也就是大家资源共享；
④用户通过UDDI搜索他想要服务；
⑤用户通过SOAP来调用Service的操作。
UDDI（统一描述、发现和集成）
WebService的体系架构中包括三个角色：服务提供商，服务请求者、服务注册器。
角色间主要有三个操作：发布、查找、绑定。
WebService主要目标是跨平台和可互操作性，其特点：
①完好的封装性；
②松散耦合；
③使用协约的规范性；
④使用标准协议规范；
⑤高度可集成能力；
⑥开放性。
WebService应该使用的情况：
①跨防火墙的通信；
②应用程序集成；
③B2B的集成；
④软件和数据重用。
UDDI（统一描述、发现和集成UniversalDescription,Discovery,andIntegration）
是一套基于Web的、分布式的、为WebService提供的、信息注册中心的实现标
准规范，同时也包含一组使企业能将自身提供的WebService注册，以使别的企
业能够发现的访问协议的实现标准。
UDDI的核心是UDDI商业注册。UDDI商业注册所提供的信息包括三个部分：白页、
黄页和绿页。
SOAP
是一种基于XML的不依赖传输协议的表示层协议，用来在应用程序之间方便地以
对象的形式交换数据。SOAP技术有助于实现大量异构程序和平台之间的互操作
性，从而使存在的应用能够被广泛的用户所访问。
WebService技术（SOAP,UDDI、WSDL、EBXML）
J2EE技术（JNDIEJBJMSJavaMailJDBCJSPServletRMI-IIOP）
JTA事务处理JMS消息服务JAAS安全服务
按照对基于J2EE规范的企业应用系统逻辑层的划分，通常将分布式的编程环境划
分为如下四种类型：
EJB容器；WEB容器；客户应用容器；Applet容器。
五种性质的定义
我们已经看到，在一个很小的集合上就可以定义很多个不同的关系。但是真
正有实际意义的只是其中很少的一部分，它们一般都是有着某些性质的关系。
设R是集合A上的关系，R的性质主要有以下五种：自反性、反自反性、对
称性、反对称性和传递性。
⑴自反性
集合4上的关系凡我们说它是自反的，就是为真。也就是
说，如果命题“对于A中的任意元素x,＜工速＞都在R中”为真，则R是自反的。
(2)反自反性
集合A上的关系R,我们说它是反自反的，就是网)为真。也就
是说，如果命题“对于A中的任意元素x,＜x,x＞都不在R中”为真，则R是反
自反的。
(3)对称性
集合A上的关系凡我们说它是对称的，就是诉x)为真。也就
是说，如果命题''对于4中的任意元素x和y,若则必有＜y,x＞eK”
为真，则R是对称的。
(4)反对称性
集合4上的关系R,我们说它是反对称的，就是网力(碘八丁取.x=y)为
真。也就是说，如果命题“对于A中的任意元素尤和y,若＜xJ＞e及且OK＞€R
则必有芯二丁”为真，则R是反对称的。
因为V戏y(彩八赤x-x=y)等值于VxXy(x»-＞-.(x政3&)),所以，如
果对于A中的任意两个不相同的元素x和y,＜xj＞和＜y,x＞不同时在R中，则
R是反对称的。
(5)传递性
集合A上的关系凡我们说它是传递的，就是也HyVz(冰为真。
也就是说，如果命题“对于A中的任意元素小y和z,若＜xJ*&且＜＞，z＞eR,
则必有＜x,z＞c及"为真，则/?是传递的。
它们的定义及其在关系矩阵、关系图中的特征如表所示。
表
除有以上定义外，还可以通过集合间的关系来描述关系的五种性质。
1.任何集合A上的自反关系R一定包含了A上的恒等关系，即〃G&。
2.A上的反自反关系R一定与〃不交，即〃口长=°。
如果〃nRw°且〃N&,那么R既不是自反的，也不是反自反的。
3.A上的对称关系R一定满足等式=R。
4.反对称关系R则满足等式&nRT=iA。
由此可以知道，如果/?既是对称的，又是反对称的，则Re打。
5.关于传递关系R,它满足的条件是我。氏「在。
《计算机数学基础(1)》第三单元辅导
本单元重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数.图的概念，握手定理，
通路、回路以及图的矩阵表示.
一、重点内容
1.关系的概念包括定义、关系的表示方法：集合表示、矩阵表示、图形表示.
•二元关系，是一个有序对集合，设集合R={<x，y>|xeAAye8},记作工防,
二元关系的定义域：Dom(R)£A；二元关系的值域：Ran(R)£B
•关系的表示方法：
集合表示法：关系是集合，有类似于集合的表示方法.
列举法，$UR={<1,1>,<1,2>}:描述法：如"={<兑y>卜£八人ycB}
r_1aiRbj(i=
>，J0q畋［/=1,2,…,〃J
关系矩阵：RQAXB,R的矩阵
关系图：R是集合上的二元关系，若<ai,bj>wR,由结点a/画有向弧到伪构成的图形.
2.几个特殊的关系
空关系0；唯一是任何关系的子集的关系.
全关系EA-[<a,b>\a,beA}=AxA
恒等关系，={<aM>|a*A},也是单位矩阵.
3.关系的运算
•关系的集合运算，有并、交、补、差和对称差.
R=R•R={<a,c><tz,/?>G/?!A</?,C>G/?}
•复合关系i22有
复合关系矩阵：MR="«，xM/(布尔运算)，有结合律：(R・S)・T=R・(S・7)
.逆关系宠'={<%”>卜覆〉〉€口，%-=眦，(R.》小"I.
4.关系的性质
•自反性VxeA,<x,x>e/?.矩阵MR的主对角线元素全为1;关系图的每个结点都
有自回路.
•反自反性VxeA,<x,x>eA；矩阵MR的主对角线元素全为0；关系图的每个结点
都没有自回路.
•对称性若<x，y>eA,则<y,x>e/?；矩阵MR是对称矩阵，即％=G；关系图
中有向弧成对出现，方向相反.
•反对称性若<x，y>eR且<y，x>eR,则A丫或若<x，y>GR，x#y,则
<y,x>eR；矩阵用尺不出现对称元素.
•传递性若<a,">eR且<4c>eR,则<a,c>eR；在关系图中，有从。到人的弧,
有从b到c的弧，则有从a到c的弧.判断传递性较为困难.
可以证明：R是集合A上的二元关系，
⑴⑴/?是自反的（2）/?是反自反的o/cQ0;
（3）/?是对称的<=>/?=/?"';（4）/?是反对称的。和7?一上〃；
（5）/?是传递的。依色尼
关系的性质所具有的运算见表4-1.
表4一1二元运算的并、交、补、差、逆、复合具有的性质表
性质自反性反自反性对称性反对称性传递性
kq7qqq
R2R2qqqXX
RcRzqqTqq
RLR?XqqqX
R9R2qXXXX
IAqqqq
0dqq
由表可见，〃具有自反性，对称性、反对称性和传递性.6具有自反性，对称性和传递性.
故”，£是等价关系.0具有反自反性、对称性、反对称性和传递性。0是偏序关系.
关系性质的判定，可以用定义、关系矩阵或关系图.
传递性的判定，难度稍大.也常如下判定：不破坏传递性的定义，可认为具有传递性.例
如05r认为具有传递性，同时具有对称性和反对称性，但是不具有自反性；
5.关系的闭包
设R是非空集合A上的二元关系，在关系R中，添加最少的有序对，新关系用*表
示，使得R'具有关系的自反（对称、传递）性质，R就是R的自反（对称、传递）闭包，记作，［R）,
s（R）和f（A）。闭包的求法：
定理12，（R）=AU"；定理13：s（R）=RUR-1定理14的推论：（,V
6.等价关系和偏序关系极大（小）元、最大（小）元问题
•等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系.
•等价关系图的特点：每一个结点都有一个自回路；两个结点间如有有向弧线，则是双
向弧线，如果从〃到从从6到。各有一条有向弧线，则从a到c一定有有向弧线。
•等价类，若R是等价关系，与R中的某个元素等价的元素组成的集合，就是R的一个
等价类，［a］R={b|z?€A/\aR。}.
•偏序集的哈斯图偏序集概念和偏序集的哈斯图。哈斯图的画法：（1）用空心点表示结
点，自环不画；（2）若*b,则结点方画在上边，。画在下边，并画a到，的无向弧；（3）若
<a,b>,<b,c>e,^\<a,c>eR,此时，〃到c的有向弧不画出.
确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元.
极大（小）元、最大（小）元、界一个子集的极大（小）元可以有多个，而最大（小）元若有，
只能惟一.且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可在子集之外确定，最小上界是所有
上界中最小者，最小上界再小也不会小于子集中的任一元素；可以与某一元素相等，最大下
界也是同样.
7.函数
・函数，设/是集合A到B的二元关系，\/aeA,3beB,iL<a,b>ef,且Dom（/）=A,/'是一个
函数（映射）.函数是一种特殊的关系.
集合AXB的任何子集都是关系，但不一定是函数.函数要求对于定义域A中每一个元素
a,B中有且仅有一个元素与a对应，而关系没有这个限制.
二函数相等是指：定义域相同，对应关系相同，而且定义域内每个对应值都相同.
•函数的类型
单射若。户。20/(。1)工/(%)
满射热)=8.即VywBTxeA,使得y=f(x)
双射单射且满射.
•复合函数8,g：3fC,则7・g:AfC,即/・g(x)=g(/(x))复合成立的条件
是：Ran(/)=Dom(g)
一般7但(7=
复合函数的性质：
如果工g都是单射的，则户g是单射的：如果工g都是满射的，则户g是满射的；
如果工g都是双射的，则户g是双射的；如果/g是单射的，则/"是单射的；
如果工g是满射的，则g是满射的；
如果/4g是双射的，则f是单射的，g是满射的.
・反函数若/：4-8是双射，则有反函数fl8-4
11
f~'={<h,a>\h^B,f(a)=b,a^A}(=(?-'(/-)-=f
二、实例
例设集合A={a,b},R是P(A)上的包含关系，写出R的表达式和关系矩阵.
解用描述法表示；R={"y>|x,y"(A)AXG}
用列举法表示：因为P(A)={0,{a},{M,A},所以
例设4={1,2,3},用列举法给出A上的恒等关系心，全关系蜃，A上的小于关系
及其逆关系和关系矩阵.
解IA={<1J>,<2,2>,<3,3>}
LA={<1,2>,<1,3>,<2,3>},〃的逆关系={<2』>,<3』>,<3,2>}
‘011、f000、
町001100
1I”有
、0。0,
例4.3设集合A={2,3,4},B={4,6,7},C={8,9,12,14}.R是由4到B的二元关系,&是由8
到C的二元关系，定义如下：
&={<。力>,是素数以2整除力}&={<8,C>也整除<?}
求复合关系飞,七,并用关系矩阵表示.
解/?]={<2,4>,<2,6>,<3,6>}R2={<4,8>,<4,12>,<6,12>,<7,14>}
因此与={<2,8>,<2,12>,<3,12>}
891214
110I010、21010、
010001030010
MR=M"■M咫0000001,(布尔运算)=4000
例试判断图4—2中关系的性质：
O1O1OI
200320O32O3O
(«)S)(c)
图4一2例图
解图4-2中3)的关系在集合(1,2,3}上是对称的,因为结点1与2,1与3之间的有向
弧是成对出现且方向相反.
图4―2中S)是反自反的,因为每个结点都没有自回路.它也是反对称的,因为两条边都
是单向边，它又是传递的,容易求出R={<2,1>,<3,1>},满足R・R=0匕R.
图4—2中(c)的关系宜反的，反对称的、但不是传递的.因为2至U1有边，1到3有边，
但2到3没有边.
例设集合A={1,2,3,4,5}#是A上的关系，定义为
R—{<1,2>,<1,3>,<14>,<1,5>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<3,4>,<3,5>,<4,5>
试判断R是
(1)A上的自反关系；(2)A上的对称关系:
(3)4上的反对称关系；(4)4上的传递关系.
解写出关系矩阵MR,作关系图，如图4—3.
'11111、
01111
MR=00111
00011
、00001,
(1)(I)因为VxeA,(x,x)wR(或4^的
主对角线元素皆为1,或关系图中每个结点都有自回路)，故R是自反关系.
(2)因为(1，2)€凡而(2』)eR(或MR不是对称矩阵，或关系图中每对结点都没有成对出
现的方向相反的弧)，故R不是对称关系.
(3)因为(L3)e凡且1力3,则(3,1)任勺或怀中当桁时，，殉=o,则机产1,或关系图中每
对结点没有成对的有向弧)，故R是反对称关系.
(4)因为不难验证«a，b，ceA,31)eR,(b,c)eR,有(a,c)eR(或关系图中
\/a,b,ce至仍有有向弧，。至Uc•有有向弧,a至肥就有有向弧)，故R是传递关系.
例设集合A=定义R—{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}«R),s(R)J(R).
解求自反闭包，R不具有自反性，由自反性的定义，只需在R上添加〃，于是
I\R)=RUIA={<a、b>,<b、a>,<b、b>,<b、<c、c>、<c.d>，<d,d>}
其中下画线者为添加元素.
s(R尸RuR-=Ru{<c,b>,<d,c>}={<a,h>,<h,a>,<h,c>,<cj>>,<c,d>,<d^c>}
t(R)=RDR2DR?DR4=Ru{〈a,a>,<b,b>,<a,c>,<b,d>,va,d>}
={<a,a>.<a.b>、<a、c>Wa、d>.<b、a>.<b、b>,<b.c>.vb、d>Sc.d>}
例设集合A={a,bcd,e}，定义A上的二元关系
判断&是否为等价关系？
分析判断等价关系，就是验证是否具有自反性、对称性和传递性.
解写出Ri的关系矩阵，"02，oO
由关系矩阵可知，&具有自反性和对称性.由关卷性，故R
是等价关系.QQ
R2不是等价关系，因为3。)名仁(或仁④任七)，故R不具有自反性.
注意：自反性，对称性和传递性之一不具备，就是破坏了等价关系的定义.
事实上<d,e>e/?2,但<e,d>eA?,故R?不具有对称性：<^«>e/?2,
但<a,a>0/?2,心也不具有传递性.
对例的Ri进行分类：元素a,因为<。,&〉,<。*>,<"。>,<>力>均属于%，所以。生
成的等价类=他'勿或记作［加仁
元素c,因为<c，c>e%,所以c生成的等价类©&=©;
类似地，d生成的等价类［刈与={乩弓
例设集合A={18的正整数因子},V为整除关系，说明<4,是偏序关系.
分析偏序关系只需验证自反性、反对称性和传递性.
解集合A={1,2,3,6,9,18},整除关系为
<=/AU{<1,2>,<1,3>,<1,6>,<1,9>,<1,18>,<2,6>,<2,18>,<3,6>,<3,9>,<3,18>,<6,18>,<9,18>}
容易验证”u4,故4有自反性：V(«,/?)e<,a^b,则(b,4)任4,4有反对称性；\/x,y,zeA,
<%,)>€4且勺工>€£则4a>€4,4具有传递性.所以<A,4>是偏序关系.
画。,4>的关系图和哈斯图如图4-5(“)和(份：(关系图与哈斯图不是一回事)
<4W>的瞰d(极大元是18,最小元、极小元均为1.18
若无集)8亍贝最大元和极大元都是6,无极小而.界为6,Oa下界为1，
上确界362O3
若了*<左无最大元，极大元为6,9,最小元和极。元都是3,上界为18,
下界为3,1口蹴毯豺下确界为3.(/)<伊斯图
若子集A尸{1,：如族极大天2,圜无最大元.极小元和最小元均为1.一照186,上确界是6,
而不能是密不外，和不确再分王
例S■题町是否为从A到B的函数，并对其中的怠数力A/B指出它是单射,
满射或双M如:!,请说明理由.
(1)A={1,2,3,9={6,7,8,9,10},/={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}.
⑵A,2同⑴，户{<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>};
(3)4,B同⑴，户{<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>};
(4)A,8为实数集，/'(》)=/一七(5)A,8同(4),/(幻=/；
1_
(6)A,B同(4),于(x)=C；/U)=-
(7)A,B同(4),x；
1x=1
/(x)=«
(8)A,B为正整数集，/(x)=x+l；X>1.
(9)A,B同(8),x-1>
f(x)=———
(10)A,B为正实数集，X-+1.
解⑴/是从4到8函数，但不是单射，因为人3)7(5)=9；也不是满射，因为7史Ran(/).
⑵f不是从A到B函数，因为Dom(/)={1,2,3,4}#A.
(3)f不是从A到B函数,因为leDom⑺,f(l)=7和9.
(4)f是从A到8函数，但不是单射，因为式0)三/(1)=0；也不是满射，因为该函数的最小
值是一1/4,所以Ran(/)是［-1/4，+°°),不是整个实数集.
(5)/是从4到8的双射函数，因为/=/是严格单调，且/：7X)=(
(6)(6)/不是从A到8函数，因为因为负实数没有定义.
(7)(7)f不是从A到8函数，因为0没有对应值.
(8)(8)/是从A到B函数，且/是单射，因为易验证
但/不是满射，因为1eRang.
(9)f是从A到8函数，且/是满射，因为
但不是单射，因为.穴1)=*2)=1.
(101/'是从A到8函数，但『不是单射，如x>0Jx)yX).当户1时，41)=1/2是极
大值，Ran(/)是(0,1/2),不是整个正实数集，故/不是满射.
例图4—6中，定义了函数工g,/?
1••11••11••1
2・•22>•22・•2
3・•33・•33・•3
4・•44・•44・•4
fgh
图4—6
求：⑴工加的像;
(2)f»g,h»f,g・g;
(3)指出力?力中哪些是单射，满射和双射
(4)/g,〃中哪些函数存在反函数，给出其反函数的表达式.
解⑴火A)={1,2,4},g(A)=A,/?(A)={1,3}
(2)f»g={<1,4>,<2,2>,<3,2>,<4,3>}h•户[<1,2>,<2,1>,<3,2>,<4,1>}
g・g={<1,4>,<2,3,>,<3,2>,<4,1>}
(3)只有g是单射，又是满射，即为双射.
(4)只有g有反函数11：AfA,且满足,gr={<l,3>,<2,l>,<3,4>,<4,2>}
例单项选择题
1.设集合A={1,2},B={a,b,c},C={c,d],则AX(BcC)=()
(A){<c,l>,<2,c>}(B){<l,c>,<2,(?>}(C){<c,l>,<c,2>}(D){<l,c>,<c,2>)
答案：(B)
解答：BnC={c},Ax(8nC)={<l,c>,<2,c>},故选择(B).
2.设4={0,4},8={1,〃,3},则45}的恒等关系是()
(A){<0,0><1,1>,<3,3>,<«,«>}(B){<0,0>,<l,l>,<3,3>}
(C){<l,l>,<a,a>,<3,3>}(D){<0,l>,<1,a>,<a,3>,<3,0>}
答案：(A)
解答：因为4°8={0,1,3,4),故人田的恒等关系人产{<0,0>,<1,1>,<,4,a>,<3,3>},应该选
择(A).
3.设集合A={〃,6,c},A上的二元关系/?={<a,“>,<匕力>}不具备关系()性质.
(A)传递性(B)反对称性(C)对称性(D)自反性
答案：(D)
解答：只有每个结点都有自回路，才具有自反性，R缺少故应选(D).
4.设集合人二团^^^^^知^^二俗“打力.
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