备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题06函数的概念

专题06函数的概念【考点预料】1、函数的概念（1）一般地，给定非空数集，，依据某个对应法则，使得中随意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．（3）函数表示法：函数书写方式为，（4）函数三要素：定义域、值域、对应法则．（5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同．2、基本的函数定义域限制求解函数的定义域应留意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切的定义域是且；（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需依据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．3、基本初等函数的值域（1）的值域是．（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．（3）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．4、分段函数的应用分段函数问题往往须要进行分类探讨，依据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【题型归纳书目】题型一：函数的概念题型二：同一函数的推断题型三：给出函数解析式求解定义域题型四：抽象函数定义域题型五：函数定义域的应用题型六：函数解析式的求法1、待定系数法（函数类型确定）2、换元法或配凑法（适用于了型）3、方程组法题型七：函数值域的求解1、视察法2、配方法3、图像法4、基本不等式法5、换元法6、分别常数法7、判别式法题型八：分段函数的应用【典例例题】题型一：函数的概念例1．（2024·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数的图象的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满意要求故选：D例2．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，不满意：的是A． B． C． D．【答案】C【解析】A中，B中，C中，D中例3．（2024·全国·高三专题练习）下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对A，由得是函数关系；对B，由，得是函数关系；对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系；对D，由，得是函数关系，故选：C变式1．（2024春·福建龙岩·高三校考阶段练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（

）A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个【答案】B【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，故选：B.变式2．（2024·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）【答案】C【解析】依据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，明显只有（2）不满意.故选：C.【方法技巧与总结】利用函数概念推断题型二：同一函数的推断例4．（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】对于A选项，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；对于B选项，的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于C选项，，的定义域为，，的定义域为，定义域和对应关系都不相同，所以两个函数不是同一函数；对于D选项，，，定义域、值域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数.故选：D.例5．（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.故选：A.例6．（2024·全国·高三专题练习）以下各组函数中，表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】对于A，，对应法则不同，故不是同一函数；对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；对于C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数；对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数.故选：C．变式3．（2024·全国·高三专题练习）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】对于A，两个函数的定义域都是，，对应关系完全一样，所以两函数是相同函数，故A符合题意；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故两函数不是相同函数，故B不符题意；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故两函数不是相同函数，故C不符题意；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，故两函数不是相同函数，故D不符题意.故选：A.【方法技巧与总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．题型三：给出函数解析式求解定义域例7．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：解得，即的定义域为.故选：C.例8．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数需满意，解得，所以函数的定义域为.故选：C.例9．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得：且.故选：C变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】要使函数有意义，则，解得，的定义域为，由，解得，的定义域为，故选D.【方法技巧与总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出访式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．题型四：抽象函数定义域例10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得或.因此，函数的定义域为.故选：D.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵的定义域为，∴，∴，在中，解得，所以函数的定义域为．故选：B例12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为故选：A.变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数的定义域为，∴，则，即的定义域为，由，得，∴的定义域是，故选：A【方法技巧与总结】1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．题型五：函数定义域的应用例13．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可知，函数的定义域为，所以不等式在上恒成立.当时，当时，，所以不等式在上恒成立明显不成立，当时，则满意，解得，综上，实数的取值范围是.故选：B.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：在上恒成立.即时，恒成立，符合题意，时，只需，解得：，综上：，故选：C.例15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵的定义域为，∴只需分母不为即可，即恒成立，（1）当时，恒成立，满意题意，（2）当时，，解得，综上可得.故选：B.【方法技巧与总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，经常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类探讨．题型六：函数解析式的求法1、待定系数法（函数类型确定）例16．（2024·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________【答案】或.【解析】因为为一次函数，所以设，所以，因为，所以恒成立，所以，解得：或，所以或，故答案为：或.例17．（2024·四川绵阳·绵阳中学试验学校校考模拟预料）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②；③任取，，，．【答案】（答案不唯一）【解析】由题设，在上单调递增且为偶函数，，结合对数的运算性质及对数函数的性质，易知：或等符合要求.故答案为：（答案不唯一）例18．（2024·全国·高三专题练习）（1）已知f（x）是一次函数，且满意f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．（2）若二次函数g（x）满意g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式．【解析】（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，∴解得∴f（x）＝－2x－9.（2）设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，∴解得∴g（x）＝3x2－2x.变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知是二次函数，且满意，，，求函数的解析式.【解析】设，，关于对称，即；又，，，解得：.2、换元法或配凑法（适用于了型）变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知，求.【解析】，令，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，，，，变式9．（2024·全国·高三专题练习），则_______．【答案】【解析】令，于是有，故答案为：变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知，则_______．【答案】【解析】因为，所以，故答案为：变式11．（2024·全国·高三专题练习）设函数，则的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则且，所以，，因此，.故选：B.3、方程组法变式12．（2024·全国·高三专题练习）若对随意实数，均有，求___________【答案】【解析】∵（1）∴（2）由得，∴.故答案为：.变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的解析式___________.【答案】，.【解析】因为，所以，消去解得，故答案为：，.变式14．（2024·全国·高三专题练习）若函数，满意，且，则________．【答案】【解析】由，可知，联立可得，所以，又因为，所以，所以.故答案为：【方法技巧与总结】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法．（3）若求抽象函数的解析式，通常接受方程组法．（4）求分段函数的解析式时，要留意符合变量的要求．（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．题型七：函数值域的求解1、视察法例19．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，故函数的值域.故选：C.例20．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．【详解】解：函数的值域为，，故解除；函数的值域为，故解除；函数的值域为，故满意条件；函数的值域为，，故解除，故选：．例21．（2024·浙江·高三专题练习）下列函数中，函数值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于选项，函数的值域为，所以选项错误；对于选项，函数，所以函数的值域为，所以选项正确；对于选项函数的值域为,所以选项错误；对于选项，函数的值域为，所以选项错误.故选：B2、配方法变式15．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，则且又因为，所以，所以，即函数的值域为，故选：B.变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数，，满意，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，因为可得：，所以，即，因为，当时取得最小值，所以，所以的最大值为，故选：C.3、图像法变式17．（2024·全国·高三专题练习）函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，故作出其函数图象如下所示：由图，结合二次函数的性质，可知：，，故其值域为.故选：B.4、基本不等式法变式18．（2024·河南·模拟预料（文））下列函数中最小值为6的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A.，最小值为5，故错误；B.令，则在上递减，其最小值为10，故错误；C.，当且仅当，即时，等号成立，故正确；D.当时，，明显不成立，故错误；故选：C变式19．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．【答案】【解析】函数，当，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，当时，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为，故答案为.5、换元法变式20．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：令，当时，，又，所以，，即所以，故选：D．变式21．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：令，可得，可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，当时，，故函数的值域为，故选：B.变式22．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：令，则，原函数即为：，对称轴方程为，可知，函数值域为．故选：C．6、分别常数法变式23．（2024·全国·高三专题练习）函数y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【答案】D【解析】解：，∴y，∴该函数的值域为．故选：D．变式24．（2024·全国·江西科技学院附属中学模拟预料（文））函数的值域（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．7、判别式法变式25．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则有，当时，代入原式，解得．当时，，由，解得，于是的最大值为，最小值为，所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B.变式26．（2024·浙江杭州·高一期中）函数的值域是___________.【答案】【解析】解：，因为所以函数的定义域为令，整理得方程：当时，方程无解；当时，不等式整理得：解得：所以函数的值域为.故答案为：【方法技巧与总结】函数值域的求法主要有以下几种（1）视察法：依据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简洁的计算、推理，凭视察能干脆得到些简洁的复合函数的值域．（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．（3）图像法：依据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．（4）基本不等式法：留意运用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．（6）分别常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（留意x的取值范围必需为实数集R）．题型八：分段函数的应用例22．（2024·青海海东·统考一模）若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，则.故选：C.例23．（2024·全国·高三专题练习）设函数则满意的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为，所以，解得．综上，实数的取值范围是．故选：B．例24．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则（

）A． B．2 C．5 D．3【答案】A【解析】由题意可知，f(－2024)＝f(－2024)＝…＝f(－3)＝f(0)＝log3(0＋1)－2＝－2．故选：A．变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若，则m的值为（

）A． B．2 C．9 D．2或9【答案】C【解析】∵函数，，∴或，解得.故选：C.变式29．（2024·全国·高三专题练习）知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，单调递减，因此有当时，单调递减，因此有又，则函数在上连续，则函数在上单调递减.由，可得，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D【方法技巧与总结】1、分段函数的求值问题，必需留意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值2、函数区间分类探讨问题，则需留意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．【过关测试】一、单选题1．（2024春·江西鹰潭·高三贵溪市试验中学校考阶段练习）已知函数满意，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，所以，故选：A．2．（2024·广东·高三统考学业考试）已知函数，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【解析】∵，∴．故选：C．3．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A选项，当时，没有对应的图像，不符合题意；对于B选项，依据函数的定义本选项符合题意；对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的状况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.故选：B．4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数则函数的图象是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，当，即时，；当，即时，所以结合函数图象可知：自变量的分界线为，故解除A,C,D故选：B．5．（2024·全国·高三专题练习）设函数，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】设函数，则.故选：B.6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，当时函数单调递减，且，当时函数单调递减，且，所以函数在上是单调递减，所以不等式等价于，解得．即不等式的解集为；故选：C7．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，或，，故，故选：B.8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】故选：C9．（2024·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，令，则，所以，因此，.故选：B.10．（2024·全国·高三专题练习）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A二、多选题11．（2024·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】CD【解析】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.故选：CD12．（2024·全国·高三专题练习）集合与对应关系如下图所示：下列说法正确的是（

）A．是从集合到集合的函数B．不是从集合到集合的函数C．的定义域为集合，值域为集合D．【答案】AD【解析】选项A，对于集合A中的每个元素都有唯一的数对应，符合函数定义，正确；选项B，由选项A分析，错误；选项C，的定义域为集合，值域为集合，为集合B的真子集，错误；选项D，，故，正确故选：AD13．（2024·全国·高三专题练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（

）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．此函数在定义域内是增函数D．对于随意的，都有唯一的自变量与之对应【答案】BD【解析】由图象知：A.函数的定义域为，故错误；B.函数的值域为，故正确；C.函数在，上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于随意的，都有唯一的自变量与之对应，故正确；故选：BD14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则下列叙述正确的是（

）A．的值域为 B．在区间上单调递增C． D．若，则的最小值为-3【答案】BCD【解析】函数，A.的值域为，故错误；B.在区间上单调递增，故正确；C.，故正确；D.因为，则的最小值为，故正确；故选：BCD15．（2024·全国·高三专题练习）某公司支配定制一批精致小礼品，打算在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂干脆按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（

）A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节约费用【答案】ABC【解析】依据图像甲厂的费用与礼品数量满意的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满意的函数关系为，故A正确；当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确；易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确；当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节约费用，故D不正确.故选：ABC.16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满意，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】设，由题意可知，所以，解得或，所以或.故选：AD.17．（2024·全国·高三专题练习）下列各对函数中是同一函数的是（

）．A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.【答案】BD【解析】A.函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数的定义域是，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；C.f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；D.f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数．故选：BD三、填空题18．（2024·北京·高三专题练习）函数的定