2024八年级数学下册重点突围专题11菱形的性质与判定含解析新版浙教版

Page1专题11菱形的性质与判定【考点一】菱形的性质与判定综合考例题：（浙江杭州·模拟预料）如图，在四边形中，，，对角线、交于，平分．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【解析】【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义可知，依据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，进而可证平行四边形是菱形；（2）由菱形的性质可知，为线段的中点，则是斜边上的中线，可知，在中，由勾股定理得，求出的值，进而可得的值．(1)证明：∵，∴，∵为的平分线，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形是菱形．(2)解：∵四边形是菱形，，∴，，，∴为线段的中点∵，∴，∴是斜边上的中线，∴，在中，，，由勾股定理得，∴，∴的长为6．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等学问．解题的关键在于对学问的娴熟驾驭与灵敏运用．【变式训练】1．（吉林四平·八年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF，若∠CEF＝30°，BE＝2，干脆写出四边形ABCD的周长．【答案】(1)见解析(2)16【解析】【分析】（1）依据平行四边形的性质可得∠B＝∠D，进而易证△ABE≌△ADF（ASA），即得出AB=AD，进而即可求证结论：▱ABCD是菱形；（2）由菱形的性质可知BC=CD，进而可得CE=CF，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECF=120°，即求出∠B=60°，最终利用含30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长，进而即可求出菱形的周长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)如图，由（1）可知BC=CD，∵BE=DF，∴CE=CF，∴∠CFE=∠CEF=30°，∴∠ECF=180°−2∠CEF=120°，∴∠B=180°−∠ECF=60°，在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴，∴菱形ABCD的周长为．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等学问．利用数形结合的思想是解答本题的关键．2．（贵州遵义·二模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若，，求四边形CEFG的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）依据折叠的性质得CE=EF，∠CEB=∠FEB，依据“SAS”易证△GEF≌△GEC，由全等三角形的性质可得GF=GC，∠FGE=∠CGE，易证四边形CEFG是平行四边形，由CE=EF即可求证结论；（2）由勾股定理和折叠的性质求得DF的长，设CE=x，由（1）结论在Rt△DEF中依据勾股定理列方程求解即可；(1)由折叠的性质可得CE=EF，∠CEG=∠FEG，又GE=GE，∴△GEF≌△GEC（SAS），∴GF=GC，∠FGE=∠CGE，∵FG∥CD，∴∠FGE=∠CEG，∴∠CGE=∠CEG，∴EC=GC，∴GF=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=EF，∴四边形CEFG是菱形；(2)∵ABCD是矩形，AB=3，BC=5，∴BF=AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=90°，在Rt△ABF中，由勾股定理可得：∴，，设，则，在Rt△DEF中，，即，解得：，即，∴四边形CEFG的面积．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理；驾驭相关性质是解题关键．3．（吉林四平·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）依据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，依据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10－4＝6，在Rt△ABE中，由勾股定理得:，在Rt△ACE中，由勾股定理得：，

∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等学问，娴熟运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．4．（四川达州·九年级期末）如图，在四边形中，，是的中点，连接，，过点作交于点，且，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，再证，则四边形是平行四边形，即可得出结论；（2）依据是的中点，得到，依据菱形的性质得到，求得，于是得到结论．(1)证明：∵，是的中点，∴，，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是菱形．(2)解：∵是的中点，，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴与同底等高，∴，∴．∴四边形的面积为．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质．娴熟驾驭直角三角形斜边上的中线性质，证明四边形为菱形是解题的关键．5．（吉林四平·八年级期末）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠ABC，点D是边AB上的一个动点，且不与A、B两点重合，过点D作DE⊥AC于点E，点F是射线ED上的点，且DF＝CB，连接BF、CD，得到四边形BCDF．(1)求证：四边形BCDF是平行四边形；(2)若AB＝8，∠A＝30°，设AD，四边形BCDF的面积为S，求S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在这样的点D，使四边形BCDF为菱形？若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)S＝，0＜＜8(3)存在，【解析】【分析】（1）首先证明FE∥BC，然后依据平行四边形的判定方法即可求证结论；（2）由题意，先求出BC和AC的长度，设AD=x，求出AE的长度，然后表示出CE的长度，即可求出答案；（3）由菱形的性质，得到BD=BC=DC，然后求出BD的长度，得到点D是AB的中点，即可得到答案．(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AC，∴FE∥BC，∵DF＝CB，∴四边形BCDF是平行四边形；(2)∵∠ACB＝90°，AB＝8，∠A＝30°，∴BC＝4，∴由勾股定理可得：，∵∠AED＝90°，AD＝，∴DE＝，AE＝∴，∴，∵点D不与A、B两点重合，∴自变量x的取值范围为：0＜＜8；(3)存在，若四边形BCDF为菱形，∴BC＝DC，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD＝BC＝DC，∵BC＝4，AB＝8，∴BD＝AD＝4，∴＝4，∴．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，以及中位线定理，解题的关键是娴熟驾驭所学的性质定理进行解题．留意驾驭数形结合的思想进行解题．6．（山东·薛城区北临城中学模拟预料）在菱形ABCD中，，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点B的位置随点P的位置变更而变更．(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是______，CE与AD的位置关系是______；(2)当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种状况予以证明或说理）(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若，，求四边形ADPE的面积．【答案】(1)BP=CE，CE⊥AD(2)成立，证明见解析(3)【解析】【分析】（1）连接AC，依据题意可得△ABC和△ADC为等边三角形，从而AB=AC，又有△APE为等边三角形，可得AP=AE，∠BAP=∠CAE，可证△ABP与≌ACE，得到BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，再依据等边三角形的性质可得CE⊥AD，即可解答；（2）依据题意可得△ABC和△ADC为等边三角形，从而AB=AC，又有△APE为等边三角形，可得AP=AE，∠BAP=∠CAE，可证△ABP与≌ACE，得到BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，再依据等边三角形的性质可得CE⊥AD，即可解答；（3）连接AC，CE，设AD与CE交于点M，AC与BD交于点O，由（2）可得∠BCE=90°，依据勾股定理求出CE，然后分别求出和，即可求解．(1)解：（1）如图，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=30°，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC和△ADC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，AB=AC，∵△APE为等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC，即∠BAP=∠CAE，在△ABP与△ACE中，，∴△ABP与≌ACE，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，∵∠CAD=60°，，∴CE⊥AD；故答案为：BP=CE，CE⊥AD；(2)解：成立，BP=CE，CE⊥AD；选择图2中的状况，设CE与AD的交点为点H，证明如下：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=30°，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC和△ADC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，AB=AC，∵△APE为等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC，即∠BAP=∠CAE，在△ABP与△ACE中，，∴△ABP与≌ACE，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，∵∠CAD=60°，，∴CE⊥AD；选择图3中的状况，证明同图2方法一样；故当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论照旧成立．(3)解：如图，连接AC，CE，设AD与CE交于点M，AC与BD交于点O，由（2）可得BP=CE，CE⊥AD，∠ACE=∠ABP=30°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠BCE=∠ACB＋∠ACE=90°，∵BC=AB=，BE=2，∴CE=，∴BP=CE=8，∵△ADC为等边三角形，AD=AB=AC=，∴，，∴EM=CE-CM=5，∴AE=，∵△AEP为等边三角形，∴，∴AP边的高为，，∵AB=，∴AO=，∴，∴BD=2OB=6，∴DP=BP-BD=8-6=2，∴，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，能依据题意得到全等三角形，充分利用等边三角形的性质是解题的关键．【考点二】菱形的折叠问题例题：（广东河源·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（）A． B． C．3 D．3.5【答案】A【解析】【分析】作EH⊥BD于H，依据折叠的性质得到EG＝EA，依据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，依据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG＝EA，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝6，设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2，解得，x＝，∴BE＝，故选：A．【点睛】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各学问点并综合运用是解题的关键．【变式训练】1．（山西·模拟预料）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的点，将沿EF折叠，使点的对应点落在边上，若，则的长为______．【答案】##【解析】【分析】依据菱形性质和，可得，，，过点作于点，于点，过点于点，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：在菱形中，，，，，如图，过点作于点，于点，过点于点，得矩形，如图所示：，，，，，，由翻折可知：，，，，，，解得，，在中，，，，，，，，在中，依据勾股定理，得：，，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，娴熟驾驭翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．2．（辽宁锦州·一模）如图，在菱形中，F为边上一点，将沿折叠，点C恰好落在延长线上的点E处，连接交于点G，若，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】依据折叠的性质得CF=EF，DF⊥BC，代入相关数据可得CF=5，BC=7，由菱形的性质得DC=7，最终依据勾股定理可得DF的长．【详解】解：由折叠得，CF=EF，DF⊥BC，∵BE=3，BF=2∴EF=BE+BF=3+2=5∴CF=5∴BC=BF+FC=2+5=7∵四边形ABCD是菱形∴DC=BC=7在Rt△DFC中，∴故答案为：【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及勾股定理等学问，依据折叠的性质得到CF=EF，DF⊥BC是解答本题的关键．3．（全国·九年级专题练习）如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF，连接A'D，A'C．已知BC＝4，∠B＝120°，当△A'CD为直角三角形时，线段AF的长为______．【答案】2或【解析】【分析】分当时和当时两种状况探讨求解即可．【详解】解：如图1所示，当时，取CD中点H，连接，∴，∵四边形ABCD是菱形，E为AB中点，∴，∠A=180°-∠B=60°，，由折叠的性质可知，，∴，连接EH，∵，∴四边形AEHD是平行四边形，∴，，∵由三角形三边的关系可知，当点不在线段EH上时，必有，这与冲突，∴E、、H三点共线，∴，∴△AEF为等边三角形，∴；如图2所示，当时，连接BD，ED，过点F作FG⊥AB于G，∵∠ABC=120°，四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AB中点，∴DE⊥AB，∴∠ADE=30°，∴∠EDC=90°，∴此时三点共线，由翻折的性质可得，∵FG⊥AE，∠A=60°，∠AEF=45°，∴∠AFG=30°，∠GFE=45°，∴AF=2AG，EG=FG，∴，∵，∴，∴，故答案为：2或．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类探讨的思想求解是解题的关键．4．（全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为______．【答案】15°##15度【解析】【分析】由菱形的性质可得，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得垂直平分，，由折叠的性质可得，可得，即可求解．【详解】解：如图，连接，，四边形是菱形，，，是等边三角形，，垂直平分，，，，将沿着折叠得到，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键．5．（安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝________；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．【答案】

90°

2.8【解析】【分析】（1）由折叠得∠，再依据平角的定义可得结论；（2）首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可．【详解】解由折叠得，∠∴∠∵∠∴∠即∠故答案为：90°；（2）∵四边形ABCD是菱形∴ADBC，DCAB，∴∵∠A=120°∴∵点E为AB的中点，且AB=2∴∵点A与点G重合，∴∵点B与点H重合∴又∴∴点G与点H重合∵∠∴三点在同一条直线上过点D作，交BC的延长线于点O，如图，∵DCAB∴∠∴∠∴在中，由折叠得，，设，则∴，在中，∴解得，∴故答案为2.8【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等学问，正确作出帮助线构造直角三角形是解答本题的关键．【考点三】菱形的动点问题例题：（新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学八年级期中）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为(

)A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】【分析】连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．【详解】解：连接BP，如图，∵菱形ABCD的周长为20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形ABCD的面积为24，∴SABC=24÷2=12，又SABC=SABP+SCBP∴SABP+SCBP=12，∴，∵AB=BC，∴∵AB=5，∴PE+PF=12×=．故选：B．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加帮助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值．【变式训练】1．（山东德州·二模）如图，菱形ABCD的边长为9，面积为18，P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE＋PC的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】如图，连接AP，过点A作AH⊥BC于H．说明PA＝PC，再依据垂线段最短，解决问题即可．【详解】解：如图，连接AP，过点A作AH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴A，C关于BD对称，∴PA＝PC，∴PE＋PC＝AP＋PE，∵AP＋PE≥AH，∴PE＋PC≥AH，∵S菱形ABCD＝BC•AH，∴AH2，∴PE＋PC≥2，∴PE＋PC的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查轴对称=最短问题，菱形的性质，垂线段最短等学问，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．2．（全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD交于点O，BD＝4，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF＝3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF﹣PE的最大值为___．【答案】1【解析】【分析】取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同始终线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长．【详解】解：如图，取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，∴PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同始终线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴AB＝BD＝AD＝4．∴OD＝OB＝2．∵点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，∴BFAB＝1，∵∠ABD＝60°，∴△BE'F为等边三角形，∴E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，娴熟运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．3．（广西贵港·二模）如图，在边长为2的菱形中，，动点P在对角线上，连接，则的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】过点P作于E，过点A作于F．依据题意由菱形的性质结合含30度角的直角三角形的性质可得出，即得出．从而可说明当A、P、E共线时，最小，即为AF的长．求出AF的长即可．【详解】如图，过点P作于E，过点A作于F，∵四边形ABCD为菱形，且，∴，∴，∴．∵两点之间线段最短，∴当A、P、E共线时，最小，即为AF的长．∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等学问．正确的作出帮助线并推断出AF的长为的最小值是解题关键．4．（陕西·商南县富水镇初级中学九年级期中）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.【答案】【解析】【分析】首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小．【详解】解：连接BD，∵菱形ABCD边长为4，∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，∴△ABD与△BCD都为等边三角形，∴∠FDB=∠EAB=60°，∵AE+CF=4，而DF+CF=4，∴AE=DF，∵AB=BD，∴△BDF≌△BAE（SAS），∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=∠ABD=60°，∴△BEF是等边三角形，∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，在Rt△ABE中，AE=AB=2，由勾股定理得BE=2，同理可得等边△BEF的边BE上的高为×2=3，△BEF面积的最小值=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等学问，解题的关键是学会添加常用帮助线，构造全等三角形解决问题．5．（福建·莆田擢英中学一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则EF的最小值为______．【答案】【解析】【分析】连接OP，依据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，依据勾股定理得到AB＝，依据矩形的性质得到EF＝OP，依据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OP，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，∴AB＝，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝2，∴EF的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，娴熟驾驭垂线段最短是解题的关键．6．（上海市奉贤区育秀试验学校八年级阶段练习）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y．(1)求证：△APQ是等边三角形；(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)假如PD⊥AQ，求BP的值．【答案】(1)见解析；(2)y＝（x≥0）；(3)BP＝0或BP＝8【解析】【分析】（1）先推断出△ABC是等边三角形，进而推断出△BAP≌△CAQ，即可得出AP＝AQ，即可得出结论；（2）先表示出AH，PH，利用勾股定理即可得出结论；（3）分两种状况，①推断出点P和点B重合，②推断出∠PAB＝90°即可得出结论．(1)证明：如图1，连接AC∵四边形ABCD为菱形∴AB＝BC，ABCD∵∠B＝60°∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝180°－∠B＝120°∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°∴∠ACQ＝∠BCD－∠ACB＝60°，∠PAQ＝∠BAC＝60°∴∠B＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ∴△BAP≌△CAQ，∴AP＝AQ∴△APQ是等边三角形(2)解：如图2，作PH⊥AB于点H，则∠BHP＝90°，∵∠B＝60°∴∠BPH＝30°，∴BH＝x，PH＝＝x，∵AB＝4，∴AH＝4﹣x∵△APQ是等边三角形∴PQ＝AP＝y在Rt△AHP中，AP2＝AH2+PH2，∴y2＝（x）2+（4﹣x）2＝，∴y＝（x≥0）(3)解：①当点P在边BC上，PD⊥AQ时，点P与点B重合，x＝0，即BP＝0．②如图3，当点P在边BC的延长线上，PD⊥AQ于点M，同（1）的方法得，△APQ为等边三角形．∴∠PAQ＝60°，∵PD⊥AQ，∴AM＝QM，PM垂直平分AQ∴△DAQ是等腰三角形∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，∠ADC＝60°，∴∠ADQ＝120°，∴∠DAQ＝＝30°，∴∠DAP＝30°∴∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°，∴AB＝BP∵AB＝4∴BP＝8，∴BP＝0或BP＝8【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，推断出△PAQ是等边三角形是解本题的关键．7．（重庆永川·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点分别在x轴、y轴上，其中C，D两点的坐标分别为，．两动点P、Q分别从A、C同时动身，点P以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，点Q以每秒2个单位的速度沿折线CDA向终点A运动，设运动的时间为t秒．(1)求菱形ABCD的高h和面积s的值；(2)当点Q在CD边上运动时，t为何值时直线PQ将菱形ABCD的面积分成1：2两部分；(3)设四边形APCQ的面积为y，求y关于t的函数关系式（要写出t的取值范围）；在点P、Q运动的整个过程中是否存在y的最大值？若存在，求出这个最大值，并指出此时点P、Q的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)24，(2)当时，直线PQ将菱形面积分成1：2两部分(3)，存在最大值18，此时点P运动到AB的中点，点Q运动到与点D重合【解析】【分析】（1）先依据C、D的坐标求出，，即可利用勾股定理求出，再由菱形的性质可得，则；（2）如图1．由已知可得：，，则，求出，再由直线PQ将菱形的面积分成1：2两部分，则或，由此求解即可；（3）分当Q在CD上，即时和当Q在AD上，即时两种状况探讨求解即可．(1)解：∵，，∴，．∵，∴．∵四边形ABCD是菱形，∴菱形面积．∴菱形的高；(2)解：如图1．由已知可得：，，则．则若直线PQ将菱形的面积分成1：2两部分，则或．即，或．解得：或（舍去）．∴当时，直线PQ将菱形面积分成1：2两部分．(3)当Q在CD上，即时，见图2．∴此时，y随t的增大而增大．∴当时，取得最大值．当Q在AD上，即时，见图3．∴此时y随t的增大而减小，无最大值．∴，在点P、Q运动的整个过程中，y有最大值18，此时点P运动到AB的中点，点Q运动到与点D重合．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，一次函数的性质，解题的关键在于能够娴熟驾驭相关学问．8．（辽宁沈阳·九年级期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变更而变更．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请干脆写出APE的面积．【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）照旧成立，见解析；（3）31【解析】【分析】（1）连接AC，依据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，依据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD照旧成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠DCE＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CE⊥AD；∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD照旧成立；（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD

BD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，∴BD＝6，由（2）知CE⊥AD，∵AD∥BC，∴CE⊥BC，∵BE＝2，BC＝AB＝2，∴CE＝＝8，由（2）知BP＝CE＝8，∴DP＝2，∴OP＝5，∴AP＝＝＝2，∵△APE是等边三角形，∴S△AEP＝×（2）2＝7，如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，∴S△AEP＝×（2）2＝31，【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等学问点，解题的关键是正确地作出解题所须要的帮助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．【考点四】菱形中无刻度作图问题例题：（江西吉安·九年级期末）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，延