充要条件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

1.4.2

充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明.自主阅读新知预习

合作探究深化提能

随堂检测内化素养

课时作业分层自检

自主阅读·新知预习随堂检测内化素养合作探究深化提能自主阅读新知预习课时作业分层自检[巧梳理]1.逆命题将命题“若p,则

q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q,

则p”,称这个命题为原命题的逆命题.2

.

充要条件如果“若p,

则

q”和它的逆命题“若q,则p”均是

_

真命题

_

,即既有p=q,又有q=p,就记作

p=q

.此时

，p

既是q的充分条件_

,也是q的必要条件_

,我们说p是q的充分必要条件，简

称

为充

要

条

件.

显然，如果p是q的充要条件，那么q

也是p的充要条件.自主阅读新知预习合作探究

深化提能充要条件随堂检测内化素养课时作业分层自检知识点则p

是q的充要条件q的充分不必要条件是q的必要不充分条件q

的既不充分也不必要条件自主阅读

新知预习合作探究

深化提能

随堂检测内化素养课时作业分层自检[微体验]1.“x=1”

是“x²-2x+1=0”

的(A

)A.充要条件B.

充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件随堂检测内化素养合作探究深化提能自主阅读新知预习课时作业分层自检2.点

P(x,y)是第二象限的点的充要条件是(

B

)A.x<0,y<0B.x<0,y>0C.x>0,y>0D.x>0,y<0解

析

：B第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数.随堂检测

内化素养

1

课时作业分层自检合作探究

深化提能自主阅读新知预习3

.已

知

集

合A={1,a},B={1,2,3},

则

ASB

的充要条件是

.解析：当a=2

时，ASB;

当a=3时，ASB.答案：

a=2

或a=3随堂检测

内化素养

课时作业分层自检合作探究

深化提能自主阅读新知预习

合作探究·深化提能随堂检测内化素养自主阅读新知预习合作探究

深化提能课时作业分层自检自主阅读

新知预习合作探究

深化提能

随堂检测内化素养课时作业分层自检学习任务

一

充要条件的判定[

例

1]

(链接教材

P₂1例3)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p:x=1,q:x-1=√x-1;(2)p:—1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;(3)p:x+2≠y,q:(x+2)²≠y²;(4)p:a

是自然数；q:a

是正数.10

自主阅读

新知预习合作探究

深化提能

随堂检测内化素养课时作业分层自检解

：(1)当x=1时，x-1=√x-1

成立；当x-1=√x-1

时，x=1

或

x=2.∴p是

q

的充分不必要条件.(2)∵-1≤x≤5⇔x≥-1

且

x≤5,∴p是

q

的充要条件.(3)由q:(x+2)²≠y²,得x+2≠y,且

x+2≠-y,又p:x+2≠y,故p

是

q

的必要不充分条件.(4)0是自然数，但0不是正数，故p≠q;

又₂

是正数，但

不是自然数，故q→p.

故p是

q

的既不充分也不必要条件.直接判断“若p,

则q?“若q,则p”的真假.在判断时，确定条件是什么、结论是什么方法技巧充分必要条件的判断方法11

自主阅读新知预习

合作探究深化提能

随堂检测内化素养

课时作业分层自检利用集合中包含思想判定，即可解决充分必要性的问题利用定义判断从集合的角度判断12学习任务二充要条件的证明[例2]求证：

一元二次方程ax²+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.证明：必要性：由于方程

ax²+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根，∴△=b²—4ac>0,且

,

ac<0.充分性：由ac<0

可推出△=b²-4ac>0

及

∴方程ax²+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实根.综上，一元二次方程ax²+bx+c=0(a、b

、c是常数且a≠0)有一正实根一负实根的充要条件是ac<0.方法技巧充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p

是q的充要条件，首先要明确p

是

条

件

，q

是结论

；其

次推证p=q是证

明

充

分性，推证q>p

是证明必要性.(2)集合思想：记p:A={xp(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p

与q

互为充要条件.13自主阅读新知预习

合作探究深化提能

随堂检测内化素养

课时作业分层自检[跟踪训练]2.求证：

一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.证明：①充分性：如果b=0,那么y=kx,当x=0时

，y=0,

函

数图

象过

原

点.②必要性：

因

为y=kx+b(k≠0)的图象过原点，所以当x=0

时，y=0,得0=k·O+b,所以b=0.综上，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.自主阅读

新知预习合作探究

深化提能随堂检测

内化素养

1课时作业分层自检14学习任务三

充分条件、必要条件、充要条件的应用[例3]

已

知p:-2≤

x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若

p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p

的充分不必要条件，即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},随堂检测

内化素养课时作业分层自检合作探究

深化提能自主阅读新知预习15故有或解

得m≤3.又m>0,所以实数m

的取值范围为{m|O<m≤3}.随堂检测内化素养合作探究深化提能课时作业分层自检自主阅读新知预习1617自主阅读

新知预习合作探究

深化提能

随堂检测内化素养课时作业分层自检[发散思维]1.

(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变，求实数m

的取值范围.解：p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因为p

是

q

的充分不必要条件，设p

代表的集合为A,q

代表的集合为B,所

以A

B.所解不等式组得m>9

或

m≥9,所以m≥9,即实数

m的取值范围是m≥9.2.(

变问法)本例中p,q不变，是否存在实数m

使p是q的充要条件?若存在，求出m

的值；若不存在，请说明理由.解：因为p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).若p是

q的充要条件，则

m不存在.故不存在实数m,

使得p

是

q的充要条件.自主阅读

新知预习合作探究

深化提能随堂检测

内化素养

1

课时作业分层自检18方法技巧■应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建大于参数的方程(组)或不等式(组)求解.课时作业分层自检随堂检测内化素养合作探究深化提能自主阅读新知预习19随堂检测·内化素养随堂检测内化素养自主阅读新知预习合作探究深化提能课时作业分层自检1.“x>0”是“x≠0”

的(

A)A.充分不必要条件B.

必要不充分条件C.充要条件D.

既不充分也不必要条件解析：A由

“x>0”→“x≠0”,反

之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件

.随堂检测内化素养合作探究深化提能自主阅读新知预习课时作业分层自检212.“x²-4x-5=0”

是“x=5”的(B)A.

充分不必要条件B.必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件解析：B

由

x²-4x-5=0

得x=5或x=-1,则当x=5时，x²-4x-5=0

成立，但当x²-4x-5=0

时

，x=5

不一定成立.随堂检测内化素养自主阅读新知预习合作探究

深化提能课时作业分层自检223.设a,b∈

R,

则“ab+1≠a+b”的充要条件是(

B

)A.a,b

不都为1

B.a,b

都不为1C.a,b中至多有一个是1

D.a,b都不为0解析：B若

ab+1≠a+b,

即ab+1-a-b≠0,即(a-1)(b-1)≠0,则a≠1且b≠1.若a≠1

且b≠1,

则

(a-1)(b-1)≠0,即ab+1-a-b≠0,

即ab+1≠a+b.所以“ab+1≠a+b”的充要条件是“a≠1且b≠1”.23

自主阅读

新知预习合作探究

深化提能

随堂检测内化素养课时作业分层自检24自主阅读

新知预习合作探究

深化提能

随堂检测内化素养课时作业分层自检4.函

数y=x²+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是解析：

函

数y=x²+mx+1

的图象关于直线x=1

对称，即m=—2;反之，若m=—2,则y=x²-2x+1

的图象关于直线x=1对称.答案：

m=-2

课时作业·分层自检随堂检测内化素养自主阅读新知预习合作探究深化提能课时作业分层自检基础巩固练1.“a|+|b|=0”

是“a²+b²=0”的(C)A.

充分不必要条件B.必要不充分条件C.

充要条件D.既不充分也不必要条件解

析

：C由|a|+|b|=0得a=b=0;由a²+b²=0

得a=b=0.所以“|a|+|b|=0”是“a²+b²=0”的充要条件.故选C.随堂检测

内化素养

1

课时作业分层自检1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14自主阅读新知预习合作探究

深化提能262

.

设p:a,b都是偶数，q:a+b

是偶数，则p是q成立的(

B

)A.

充分必要条件B.

充分不必要条件C.

必要不充分条件D.

既不充分也不必要条件解析：

B

p→

但

q

p.123

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14课时作业分层自检随堂检测内化素养自主阅读新知预习合作探究深化提能273.“x²+(y-2)²=0”

是“x(y-2)=0”

的(B

)A.

必要不充分条件B.

充分不必要条件C.

充要条件D.既不充分也不必要条件解析：

B

由x²+(y-2)²=0,得x=0

且y=2,所以x(y-2)=0.

反之，由x(y-2)=0,得x=0或y=2,x²+(y-2)²=0不一定成立，故选B.28自主阅读

新知预习合作探究

深化提能

随堂检测内化素养课时作业分层自检123

45

6

7

8

9

10

11

12

13

144.已知a,b

是实数，则“a<0,

且b<0”是“ab(a-b)>0”

的(

D

)A.充分不必要条件B.

必要不充分条件C.充要条件D.

既不充分也不必要条件解析：

D已

知a,b是实数，则若a<0,且b<0,则不一定有ab(a-b)>0,比

如当a<b<0

时

，ab(a-b)<0;反

之，若

ab(a-b)>0,则

a-b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a-b)>0,当b<a<0

时也满足ab(a-b)>0,故不能确定a和b的正负

.故是既不充分也不必要条件

.1

2

3

4

567

891011

1213

14随堂检测

内化素养

1

课时作业分层自检自主阅读新知预习合作探究深化提能295.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件可以是(BC

)A.x≥0

B.x<0或x>2C.x

∈{—1,3,5}

D.

x≤0或x>2解析：BC

从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有BC

满

足题意

.随堂检测内化素养课时作业分层自检1

2

3

4

5

6

7

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10

11

12

13

14合作探究

深化提能自主阅读新知预习306.对于集合A,B

及元素x,

若ASB,则x

∈B是x

∈AUB的

条件.解析：由x

∈B,

显然可得x∈AUB;反之，由

AEB,

则

AUB=B,所以由x∈AUB

可得x∈B,故x

∈B是x

∈AUB

的充要条件.答案：充

要1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14课时作业分层自检合作探究深化提能自主阅读新知预习随堂检测内化素养317

.“方程x²—2x—a=0没有实数根”的充要条件是

.解析：因为方程x²-2x-a=0没有实数根，所以有△=4+4a<0,解得a<-1,因此“方程x²-2x-a=0没有实数根”的必要条件是a<-1

.反之，若

a<-1,则△<0,方程x²-2x-a=0

无实数根，从而充分性成立.故“方程x²-2x-a=0

没有实数根”的充要条件是“a<-1”.答案：

a<-1随堂检测内化素养课时作业分层自检1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14合作探究

深化提能自主阅读新知预习32新知预习合作探究

深化提能

随堂检测内化素养课时作业分层自检;

命题q:a≤x≤a+1,

若p

是

q

的充分不必要条件，求实数a33

自主阅读8.设命题p:的取值范围.解

：设故所求实数a的取值范围是1

2

3

4

5

6

78

9

10

11

12

13

14由p是

q

的充分不必要条件，可知AB,,B={x|a≤x≤a+1},解得:

·,综合应用练9.“函数y=x²—2ax+a的图象在x轴的上方”是“O≤a≤1”的(

A)A.充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.既不充分也不必要条件解

析：A函

数y=x²-2ax+a的图象在x

轴的上方，则△=4a²-4a<0,解

得

0<a<1,由集合的包含关系可知选A.34自主阅读新知预习

合作探究

深化提能

随堂检测内化素养

课时作业分层自检12

3

4

56

7

8

9

10

111213

14A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件10.集合A,B

之间的关系如图所示，p:a∈[yB,q:a∈A,则p是q的(B)解析：B由图可知A是B的补集的真子集，故选B.1

2

3

4

5

6

7

8

910

11

12

13

14合作探究

深化提能自主阅读新知预习随堂检测内化素养课时作业分层自检3511.祖暄原理：“幂势既同，则积不容异.”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等

.

设A,B为两个等高的几何体，p:A,B

的体积不相等，q:/A,B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖原理可知，p

是q的(

A)A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件36

自主阅读新知预习

合作探究深化提能

随堂检测内化素养

课时作业分层自检1

234

5

6

7

8

9

10

ll

12

13

14解析：A因为A,B两个几何体等高，所以由祖順原理得，若A,B

的体积不相等，则等高处的截面面积不恒相等，所以p→q.当等高处截面面积不恒相等时，A,B的体积有可能相等，例如：A,B为两个一模一样的圆锥，

一个底面向上放置，

一个底面向下放置，则在等高处的截面面积不恒相等，但它们体积相等，故q推不出p.因此p是q的充分不必要条件.37

自主阅读新知预习

合作探究深化提能

随堂检测内化素养

课时作业分层自检1

234567

8910ll12131412.

下列不等式：①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1;⑤x>-1.

其中，可以作为x²<1的一个充分不必要条件的所有序号为

;

可

以

作

为x²<1的一个必要不充

分条件的所有序号为

解析：由x²<1,

得

-1<x<1,而{x|0<x<1}{x|-1<x<-1},{x|-1<x<0}{x|-1<x<1},

所以0<x<1和

-

1<x<0都可作为x²<1的一个充分不必要条件.因为{x|-1<x<1}{x|x<1},{x-1<x<1}{x|x>-1},所以x<1和x>-1

均可作为x²<1的一个必要不充分条件.答

案

：

②

③

①

⑤1

23

4

567

8910111213143813.已

知ab≠0,

求

证：a+b=1

的充要条件是a³+b³+ab—a²—b²=0.证明：必要性：因为a+b=1,

所