高考数学第一轮复习第四章　三角函数与解三角形讲义及试题

【标题】第四章三角函数与解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.1.角的概念的推广（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形；（2）分类：按旋转方向不同分为（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.提醒相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.2.弧度制的定义和公式（1）定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示；（2）公式角α的弧度数公式｜α｜＝lr（弧长用l表示角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝180弧长公式l＝｜α｜r扇形面积公式S＝12lr＝12｜α｜提醒有关角度与弧度的两个注意点①角度与弧度换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；②利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.3.任意角的三角函数（1）设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx（x≠0（2）任意角的三角函数的定义（推广）：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx（x（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）小于90°的角是锐角. （）（2）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角. （）（3）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关. （）（4）不相等的角的终边一定不相同. （）（5）终边相同的角的同一三角函数值相等. （）答案：（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是（A.2kπ＋45°（k∈Z）B.k·360°＋9π4（k∈ZC.k·360°－315°（k∈Z） D.kπ＋5π4（k∈Z解析：C由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2kπ或k·360°－315°（k∈Z3.已知角α的终边上有一点P（1，－2），则sinα－cosα＝（）A.55 B.－C.355 D解析：Dsinα＝-21+4＝－255，cosα＝11+4＝55，所以sinα－cosα＝－4.－135°＝rad，它是第象限角.

解析：－135°＝－135×π180rad＝－3π4rad，∵－135°＝225°－360°，且225°角为第三象限角，故－135°答案：－3π45.一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为.

解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为π3rad答案：π1.象限角与轴线角（1）象限角（2）轴线角2.若α，β，γ，θ分别为第一、二、三、四象限角，则α2，β2，γ21.终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是.（用角度表示）

解析：由结论1可知，终边落在x轴上的角的集合为A＝{α｜α＝k·180°，k∈Z}，逆时针旋转45°，可得落在第一、三象限角平分线上的角的集合为{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.答案：{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}2.若角α的终边落在第三象限，则α2的终边落在第象限.解析：由结论2可知，α2的终边落在第二或第四象限答案：二或四象限角与终边相同的角1.集合{α︱kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是 （解析：C当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π2.把－114π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是 （A.－3π4 B.－C.π4 D.解析：A∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时-3.（多选）下列命题正确的是 （）A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}C.第三象限角的集合为{α︱π＋2kπ≤α≤3π2＋2kπ，k∈ZD.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°解析：AD选项A显然正确.B项，终边落在y轴上的角的集合为{α︱α＝π2＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为{α︱π＋2kπ＜α＜3π2＋2kπ，k∈Z}，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°（k∈Z），令－720°≤45°＋k·360°≤0°（k∈Z），解得－178≤k≤－18（k∈Z），从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－4.终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为.

解析：如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π）内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0）内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5π3，－2π答案：{－5π3，－2π3，π3｜练后悟通｜1.象限角的2种判断方法（1）图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；（2）转化法：先将已知角化为k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.2.求θn或nθ（n∈N*）（1）将θ的范围用不等式（含有k，且k∈Z）表示；（2）两边同除以n或乘以n；（3）对k进行讨论，得到θn或nθ（n∈N*）所在的象限扇形的弧长及面积公式【例1】（1）如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为2πR3，则A，B两点间的距离为（A.R B.2RC.3R D.2R（2）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π3，R＝10cm，则扇形的面积为cm2.解析（1）设AB所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝2π3R.所以α＝2π3，所以AB＝2Rsinα2＝2Rsinπ3＝2R×32＝3（2）由已知得α＝π3，R＝10cm，所以S扇形＝12αR2＝12×π3×102＝50π答案（1）C（2）50π｜解题技法｜弧长、扇形面积问题的解题策略（1）明确弧度制下弧长公式是l＝｜α｜r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12｜α｜r2（其中l是扇形的弧长，α（2）求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.提醒运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制.1.（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋CD2OA.当OA＝2，∠AOB＝60°时，sA.11-332C.9-332解析：B由题意知，△OAB是等边三角形，所以AB＝OA＝2.连接OC（图略），因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，OC＝OA2-AC2＝3，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，所以CD＝OD－OC＝2－3，所以s＝AB＋CD2OA＝2.已知一扇形的弧长为2π9，面积为2π9，则其半径r＝，圆心角θ＝解析：因为扇形的弧长为2π9，面积为2π9，所以2π9＝12×2π9×r，解得r＝2.由扇形的弧长为2π9，得2π9＝rθ＝2答案：2π三角函数的定义及应用考向1三角函数的定义【例2】已知角α的终边上一点P（－3，m）（m≠0），且sinα＝2m4，则cosα＝，tanα＝解析设P（x，y），由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝｜OP｜2＝（－3）2＋m2（O为原点），即r＝3+m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3+m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝-322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以答案－64±｜解题技法｜利用三角函数的定义解决问题的策略（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；（2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；（3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.考向2三角函数值符号的判定【例3】若sinα·tanα＜0，且cosαtanα＜0，则角αA.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角.由cosαtanα＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角，答案C｜解题技法｜三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解.1.已知角α的终边经过点（3，－4），则sinα＋1cosα＝ （A.－15B.C.3720 D.解析：D因为角α的终边经过点（3，－4），所以sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα＋1cosα＝－45＋532.若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角x是 （）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：D由－1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0知0＜cosx≤1，又sinx＜0，∴角x是第四象限角，故选D.3.已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα＜0，则tanα＝.

解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P（x，y），则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝yx＝-xx答案：－11.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为 （）A.143πB.－14C.718π D.－7解析：B分针每分钟转6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为－6°×（2×60＋20）＝－840°，－840°＝－840×π180＝－143π，故选2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 （）A.1 B.4C.1或4 D.2或4解析：C设扇形的半径为r，弧长为l，则2r+l=6,12rl=2,解得r=1,l=4或r=2,l3.下列各选项中正确的是 （）A.sin300°＞0 B.cos（－305°）＜0C.tan-22π3＞0 D.sin10解析：D300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin300°＜0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos（－305°）＞0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan-22π3＜0；3π＜10＜7π2，则10是第三象限角，故sin104.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，m），B（m，4），则cosα＝ （）A.±55 B.C.±255 D解析：B记O为坐标原点，由题意可知O（0，0），A（1，m），B（m，4）三点共线，则m≠0，所以m1＝4m，解得m＝±2，又A，B两点在同一象限，所以m＝2，则A（1，2），所以cosα＝112+22＝5.设θ是第三象限角，且︱cosθ2︱＝－cosθ2，则θ2是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：B由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，又︱cosθ2︱＝－cosθ2，所以cosθ2＜0，综上6.sin2·cos3·tan4的值 （）A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在解析：A∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2·cos3·tan4＜7.已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，且α∈[0，2π），则角α的取值范围是 （）A.π2,3π4∪π,5πC.π2,3π4∪5π4,解析：B因为点P在第一象限，所以sinα-cosα>0,tanα>0,即sinα>cosα,tanα>0.由tanα＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图.又sinα＞cos8.（多选）下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是 （）A.α＋β＝540° B.α＋β＝360°C.α＋β＝180° D.α＋β＝90°解析：AC假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，由α和β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，又根据终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）180°，k∈Z，所以满足条件的为A、C.故选A、C.9.（多选）下列说法正确的是 （）A.若α是第一象限角，则－α是第四象限角B.若α，β是第一象限角，且α＜β，则sinα＜sinβC.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为D.若扇形的圆心角为2π3，圆心角所对的弦长为43，则该扇形的弧长为解析：AD对于A，若α为第一象限角，则α∈2kπ,π2+2kπ，k∈Z，所以－α∈-π2-2kπ,-2kπ，k∈Z，是第四象限角，故A正确；对于B，若α＝π3，β＝13π6，满足α，β是第一象限角，且α＜β，但sinα＞sinβ，故B错误；对于C，设扇形所在圆的半径为r，则π3r＝π，解得r＝3，所以该扇形的面积S＝12×π3×32＝3π2，故C错误；对于D，若圆心角为2π3，圆心角所对的弦长为43，10.（多选）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），则下列各式的值恒大于0的是（）A.sinαtanα B.cosαC.sinαcosα D.sinα＋cosα解析：AB由题意知sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0，则sinαtanα＞0，故A正确；cosα－sinα＞0，故B正确；sinαcosα＜0，故C错误；sinα＋cosα的符号不确定，故D错误，故选A11.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为.

解析：∵在[0，2π）内，终边落在阴影部分角的集合为π4,5π6，∴所求角的集合为{α︱2kπ＋π4＜α＜2kπ＋5π6答案：{α︱2kπ＋π4＜α＜2kπ＋5π6，k∈12.如图所示，角α的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点Acosα,35，则cosα－sinα解析：由题意得cos2α＋352＝1，cos2α＝1625.又cosα＜0，所以cosα＝－45，又sinα＝35，所以cosα－sin答案：－713.若角α的终边落在直线y＝3x上，角β的终边与单位圆交于点12,m，且sinα·cosβ＜0，则cosα·sinβ＝解析：由角β的终边与单位圆交于点12,m，得cosβ＝12，又由sinα·cosβ＜0知，sinα＜0，因为角α的终边落在直线y＝3x上，所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点，设P（x，y）（x＜0，y＜0），则｜OP｜＝1（O为坐标原点），即x2＋y2＝1，又由y＝3x得x＝－12，y＝－32，所以cosα＝x＝－12，因为点12,m在单位圆上，所以122＋m2＝1，解得m＝±32，所以sinβ＝±答案：±314.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则αtanα＝解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为12αr2，在Rt△POB中，PB＝rtanα，则△POB的面积为12r·rtanα，由题意得12r·rtanα＝2×12αr2，∴tanα＝2α，∴答案：115.铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图①.我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图②，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是 （）A.2tan18° BC.5π D.解析：B如图，设O为内切圆的圆心，r为内切圆的半径.由∠AOB＝36°，AB＝1，tan∠AOB2＝AB2r，得tan18°＝12r，解得r16.（多选）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为（1，0），∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则 （）A.经过1s后，∠BOA的弧度数为π3＋B.经过π12s后，扇形AOB的弧长为C.经过π6s后，扇形AOB的面积为D.经过5π9s后，A，B解析：ABD经过1s后，质点A运动1rad，质点B运动2rad，此时∠BOA的弧度数为π3＋3，故A正确；经过π12s后，∠AOB＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB的弧长为7π12×1＝7π12，故B正确；经过π6s后，∠AOB＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB的面积为S＝12×5π6×12＝5π12，故C不正确；设经过ts后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t（1＋217.已知1|sinα|＝－1sinα（1）试判断角α所在的象限；（2）若角α的终边上一点M35,m，且OM＝1（O为坐标原点），求m及解：（1）由1|sinα|＝－1sinα，得sinα＜0，由lg（cosα）有意义，可知cosα＞（2）因为OM＝1，所以352＋m2＝1，解得m＝±45.又α为第四象限角，故m＜0，所以m＝－45，sinα＝yr18.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，试说明哪种方案最优.解：因为△AOB是顶角为120°即为23π、腰长为2的等腰三角形，所以A＝B＝π6，AM＝BN＝1，AD＝所以方案一中扇形的弧长为2×π6＝π方案二中扇形的弧长为1×2π3＝2π方案一中扇形的面积为12×2×2×π6＝方案二中扇形的面积为12×1×1×2π3＝由此可见：两种方案中利用废料割成的扇形面积相等，方案一中切割时间短，因此方案一最优.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式π21.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；（2）商数关系：tanα＝sinα提醒平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π2（k∈Z2.诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α（k∈Z）π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα提醒诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“k·π2＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·π2＋α（k∈Z1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. （）（2）sin（π＋α）＝－sinα成立的条件是α为锐角. （）（3）若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立. （4）若sin（kπ－α）＝13（k∈Z），则sinα＝13. （答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2.若α为第二象限角，且sinα＝13，则tanα＝ （A.22B.－22C.24 D.－解析：D因为sinα＝13，所以结合sin2α＋cos2α＝1可得cosα＝±223，又α为第二象限角，所以cosα＝－223，所以tanα＝sinα3.已知sinπ2-α＋cos3π2+α＝－25，则A.2425 B.C.－2325 D.－解析：C因为sinπ2-α＝cosα，cos3π2+α＝sinα，所以cosα＋sinα＝－25，两边同时平方得1＋2sinαcosα＝225，所以sin2α＝2sinαcos4.sin2490°＝，cos-52π3＝解析：sin2490°＝sin（7×360°－30°）＝－sin30°＝－12.cos-52π3＝cos52π3＝cos16π+π+π3＝cosπ+π答案：－12－5.已知sinα-2cosα3sinα+5cosα＝－解析：由sinα-2cosα3sinα+5cosα＝－5，知cosα≠0，等式左边分子、分母同时除以cosα，可得tanα-答案：－231.同角三角函数关系式的常见变形（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα）；（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sinα）（1－sinα）；（3）（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；（4）sinα＝tanαcosαα≠2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksinα（k∈Z）；（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcosα（k∈Z）.1.已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为 （）A.56 B.－C.43 D.解析：B由题可得，sinα＋cosα＝23，sinαcosα＝a3.由结论1可得，49＝1＋2×a3，解得2.已知A＝sin(kπ+α)sinα＋cos(kπ+解析：由结论2得A＝(-1)ksinαsinα＋(-1)kcosαcosα，①当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；②当答案：{－2，2}同角三角函数基本关系式的应用考向1“知一求二”问题【例1】已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα＝.解析由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，所以cos2α＝910，易知cosα＜0，所以cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα答案－10｜解题技法｜利用同角基本关系式“知一求二”的方法考向2sinα，cosα的齐次式问题【例2】已知sinα+3cosα3cosα-sinα＝5，则cos2α＋A.35 B.－C.－3 D.3解析因为sinα+3cosα3cosα-sinα＝5，所以tanα+33-tanα＝5.解得tanα＝2，故cos2α＋1答案A｜解题技法｜利用“齐次化切”求齐次式值的方法（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cosα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tanα的式子，代入tanα的值即可求解；（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tanα的值即可求解.考向3“sinα±cosα，sinαcosα”之间关系的应用【例3】已知α∈（0，π），且sinα＋cosα＝22，则sinα－cosα＝ （A.－2 B.－6C.2 D.6解析∵sinα＋cosα＝22，∴（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝12，∴2sinαcosα＝－12＜0.∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0.又（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝32，∴sinα－cos答案D｜解题技法｜“sinα±cosα，sinα·cosα”之间关系的应用sinα±cosα与sinα·cosα通过平方关系联系到一起，即（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝(sinα+cosα)2-12，sinαcosα1.若角α的终边在第三象限，则cosα1-sin2αA.3 B.－3C.1 D.－1解析：B由角α的终边在第三象限，得sinα＜0，cosα＜0，故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα-2.（2022·浙江高考·节选）若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，则sinα＝.解析：因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sinπ2-α＝3sinα－cosα＝10sin（α－φ）＝10，其中sinφ＝1010，cosφ＝31010.所以α－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π2＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sinπ2答案：33.已知tanα＝cosα，则cos2α＋cos4α＝，11-sinα－1解析：由同角三角函数的基本关系，知tanα＝sinαcosα＝cosα，所以sinα＝cos2α，所以sin2α＝cos4α，所以cos2α＋cos4α＝cos2α＋sin2α＝1.11-sinα－1sinα＝11-cos2α答案：11诱导公式的应用【例4】（1）（2023·贵阳四校联考）化简：sin-α-（2）已知cosπ6-θ＝a，则cos5π6+θ＋解析（1）原式＝cosα(-cos（2）cos5π6+θ＝cosπ-π6-θ＝－cosπ6-θ＝－a，sin2π3-θ＝sinπ2+π6-答案（1）－1sinα（2｜解题技法｜1.利用诱导公式解题的一般思路（1）化绝对值大的角为锐角；（2）角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π22.常见的互余和互补的角（1）互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与（2）互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π41.化简cos(π+α)·cosA.－1 B.1C.tanα D.－tanα解析：C由诱导公式得，原式＝-cosα·(-sinα)·cos3π2-2.sin（－1200°）cos1290°＝.

解析：原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin（3×360°＋120°）cos（3×360°＋210°）＝－sin120°cos210°＝－sin（180°－60°）cos（180°＋30°）＝sin60°cos30°＝32×32＝答案：33.已知π＜α＜2π，cos（α－7π）＝－35，求sin（3π＋α）·tanα解：∵cos（α－7π）＝cos（7π－α）＝cos（π－α）＝－cosα＝－35，∴cosα＝3∴sin（3π＋α）·tanα＝sin（π＋α）·-＝sinα·tanπ2-α＝sin＝sinα·cosαsinα＝cosα同角关系式与诱导公式的综合应用【例5】（2023·苏州八校联考）已知f（α）＝sin(（1）化简f（α）；（2）若α＝－31π3，求f（α（3）若cos-α-π2＝15，α∈π解（1）f（α）＝-sinα×cosα×（2）若α＝－31π3，则f（α）＝－cos-31π3＝－cosπ（3）由cos-α-π2＝15，可得sinα＝－15，因为α∈π,3π2，所以cosα＝－265，｜解题技法｜利用诱导公式与同角关系求解问题的思路和要求（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.（2）要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为12（1）求tanθ的值；（2）求cosπ解：（1）由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P12,y，得122＋y2＝1解得y＝－32，所以tanθ＝-32（2）因为tanθ＝－3，所以cosπ2-θ+cos(θ-2π)sin1.若sinα＝13，α∈π2,π，则sinα-A.－13B.－C.13 D.解析：B因为α∈π2,π，所以cosα＝－1-sin2α＝－223，所以sinα-3π2＝sinα2.已知3sin（π＋θ）＝cos（2π－θ），｜θ｜＜π2，则θ＝ （A.－π6 B.－C.π6 D.解析：A∵3sin（π＋θ）＝cos（2π－θ），∴－3sinθ＝cosθ，∴tanθ＝－33，∵｜θ｜＜π2，∴θ＝－3.已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cosπ2+β＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sinα＝ A.355 BC.31010 D解析：C由已知得3sinβ-2tanα+5=0,tanα-6sinβ-1=0,消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin24.在△ABC中，sinA·cosA＝－18，则cosA－sinA＝（A.－32 B.－C.52 D.±解析：B∵在△ABC中，sinA·cosA＝－18，∴A为钝角，∴cosA－sinA＜0，∴cosA－sinA＝－(cosA-sinA)5.（多选）在△ABC中，下列结论正确的是 （）A.sin（A＋B）＝sinCB.sinB+C2C.tan（A＋B）＝－tanCCD.cos（A＋B）＝cosC解析：ABC在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，A正确；sinB+C2＝sinπ2-A2＝cosA2，B正确；tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tanCC≠π2，C正确；cos（A＋B）＝cos（6.（多选）已知α∈（0，π），且sinα＋cosα＝15，则（A.π2＜α＜π B.sinαcosα＝－C.cosα－sinα＝75 D.cosα－sinα＝－解析：ABD∵sinα＋cosα＝15，等式两边平方得（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝125，得sinαcosα＝－1225，故B正确；∵α∈（0，π），sinαcosα＝－1225＜0，∴α∈π2,π，故A正确；cosα－sinα＜0，且（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×-1225＝4925，解得cosα－7.sin（－570°）＋cos（－2640°）＋tan1665°＝.

解析：原式＝sin（－570°＋720°）＋cos（－2640°＋2880°）＋tan（1665°－1620°）＝sin150°＋cos240°＋tan45°＝sin30°－cos60°＋1＝12－12＋1＝答案：18.已知函数f（x）＝sin2x.若存在非零实数a，b，使得f（x＋a）＝bf（x）对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝，b＝.

解析：当a＝π2时，fx+π2＝sin（2x＋π）＝－sin2x，即b＝－1，故当a＝π2，b＝－1时，f（x＋a）＝bf（x）对答案：π2－19.已知α∈-π2,π2，且sinα＋cosα＝55，则解析：法一：由sinα＋cosα＝55，平方得1＋2sinαcosα＝15，所以sinαcosα＝－25，则sinαcosαsin2α+cos2α＝－25，所以tanαtan2α+1＝－25，即2tan2α＋5tanα＋2＝0，解得tanα＝－12或tanα＝－2.因为α∈-π2,π2，且0＜sinα＋cosα＝法二：由sinα＋cosα＝55，①.平方得1＋2sinαcosα＝15，2sinαcosα＝－45，则（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝95.因为α∈-π2,π2，且0＜sinα＋cosα＝55＜1，所以cosα＞－sinα＞0，sinα－cosα＝－355，②.联立答案：－110.已知π2＜α＜π，tanα－1tanα（1）求tanα的值；（2）求cos3π解：（1）令tanα＝x，则x－1x＝－32，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝12或x因为π2＜α＜π所以tanα＜0，故tanα＝－2.（2）cos3π2＝tanα＋1＝－2＋1＝－1.11.在△ABC中，3sinπ2-A＝3sin（π－A），cosA＝－3cos（π－B），则△ABC为 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析：B由3sinπ2-A＝3sin（π－A）可得3cosA＝3sinA，即tanA＝33，又0＜A＜π，所以A＝π6，再由cosA＝－3cos（π－B）可得cosA＝3cosB，所以cosB＝12，又0＜B＜π，所以B＝π3，所以C＝π2，12.已知α，β均为锐角，且α＋β－π2＞sinβ－cosα，则下列结论中正确的是 （A.sinα＞sinβ B.cosα＞cosβC.cosα＞sinβ D.sinα＞cosβ解析：D由α＋β－π2＞sinβ－cosα，变形得β－sinβ＞π2-α－sinπ2-α.构造函数f（x）＝x－sinx，x∈0,π2，则f'（x）＝1－cosx＞0，则f（x）在x∈0,π2上单调递增，则β＞π2－α，∴cosβ＜cosπ2-α，sinβ＞sinπ2-α，即cosβ＜sinα，sinβ＞cosα，故C错误，D正确.当π2＞β＞π2－α＞0时，若0＜α＜π4，则β＞π4，∴π2＞β＞α＞0，此时sinβ＞sinα，cosβ＜cosα，若0＜β＜π4，则α＞π4，∴π2＞α＞β＞13.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin2θ－cos2θ的值是.解析：由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ－sinθ，∵小正方形的面积是125，∴（cosθ－sinθ）2＝125，∵θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ，∴cosθ－sinθ＝15，又∵（cosθ－sinθ）2＝1－2sinθcosθ＝125，∴2sinθcosθ＝2425，∴1＋2sinθcosθ＝4925，即（cosθ＋sinθ）2＝4925，∴cosθ＋sinθ＝75，∴sin2θ－cos2θ＝（cosθ＋sinθ）（sin答案：－714.已知α是第三象限角，且f（α）＝sin(（1）若cosα-3π2＝35，求（2）若α＝－32π3，求f（α解：f（α）＝sinα·cosα·（1）∵cosα-3π2＝－sinα，∴sinα＝－35.∵α是第三象限角，∴cosα＝－1--352＝－45.∴（2）f（α）＝－cos-32π3＝－cos-2π15.已知sin5π2-θcos7π2+θ＝1225（1）求tanθ的值；（2）求cos3π2+θ+sinθ-π2·[sin（3π解：（1）∵sin5π2-θcos7π2+θ＝cosθ∴1225＝sinθcos∴12tan2θ－25tanθ＋12＝0，即（3tanθ－4）（4tanθ－3）＝0.∵0＜θ＜π4，∴0＜tanθ＜1，∴tanθ＝3（2）cos3π2+θ+sinθ-π2·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]＝（sinθ－cosθ）（sinθ＋2cosθ第三节三角恒等变换1.经历推导两角差余弦公式的过程，了解两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式（1）cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））；

（2）cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））；

（3）sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））；

（4）sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））；

（5）tan（α－β）＝tanα-tanβ1+tanαtanβ（6）tan（α＋β）＝tanα+tanβ1-tanαtan2.二倍角公式（1）基本公式①sin2α＝2sinαcosα；

②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝2tanα（2）公式变形①升幂公式：1－cosα＝2sin2α2；1＋cosα＝2cos2α2；tanα＝2tanα21-ta②降幂公式：sin2α＝1-cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；提醒（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α21.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角.（）（2）存在实数α，β，使等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立. （）（3）公式tan（α＋β）＝tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ（4）32sinα＋12cosα＝sinα+π3答案：（1）√（2）√（3）×（4）×2.已知cosα＝－45，α∈π,3π2，则sinA.－210B.C.－7210 D解析：C∵α∈π,3π2，且cosα＝－45，∴sinα＝－35，∴sinα+π4＝－353.化简1+cos4＝ （）A.sin2 B.－cos2C.2cos2 D.－2cos2解析：D因为1+cos4＝2cos22，又cos2＜0，所以可得选项4.（2021·全国乙卷）cos2π12－cos25π12＝ （A.12 B.C.22 D.解析：D法一（通解）：因为cos5π12＝sinπ2-5π12＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12＝cos2π12－sin2π12＝cos法二（优解）：因为cosπ12＝6+24，cos5π12＝6-24，所以cos2π12－cos25π125.已知α是第二象限角，tan（π＋2α）＝－43，则tanα.解析：由tan（π＋2α）＝－43，得tan2α＝－43，又tan2α＝2tanα1-tan2α＝－43，解得tanα＝－12或tanα＝2，答案：－11.公式的常用变式：若α＋β＝π4，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）；tanα·tanβ＝1－tanα+tanβtan2.常用拆角、拼角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝α+β2－α-β2＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；π43.辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2+b2sin（α＋1.（1＋tan1°）（1＋tan2°）（1＋tan3°）…（1＋tan44°）＝（）A.222B.223C.211D.212解析：A由结论1知（1＋tan1°）（1＋tan2°）·（1＋tan3°）…（1＋tan44°）＝222.故选A.2.（2023·烟台一模）已知tan（α＋β）＝12，tan（α－β）＝13，则tan（π－2α）＝解析：因为tan（π－2α）＝－tan2α，由结论2可知tan2α＝tan(α+β)+tan(α-β)1-tan(答案：－1第一课时两角和、差及倍角公式公式的直接应用1.已知角α的终边过点A（1，3），则cosα+π6＝ A.－12B.C.12 D.解析：B∵角α的终边过点A（1，3），∴sinα＝31+3＝32，cosα＝11+3＝12，则cosα+π6＝32cosα－12sinα＝32×12.已知tanα-π3＝33，则tan2α＝ A.－43B.－32C.43D.解析：A由tanα-π3＝tanα-tanπ31+tanαtanπ3＝33，求得tanα＝－33.（2021·全国甲卷）若α∈0,π2，tan2α＝cosα2-sinαA.1515 B.C.53 D.解析：A因为α∈0,π2，所以tan2α＝2sinαcosα2cos2α-1＝cosα2-sinα⇒2sinα2cos2α-1＝12-sinα⇒2cos2α－1＝4sinα－2sin4.若sinπ4-θ＝13，则cos2解析：因为sinπ4-θ＝13，所以sinπ4cosθ－cosπ4sinθ＝13，即cosθ－sinθ＝23，又cos2θsinθ+cosθ＝cos2θ答案：2｜练后悟通｜三角函数公式的应用策略（1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；（2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.公式的逆用及变形用【例1】（1）（2022·新高考Ⅱ卷）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝22cosα+π4sinβA.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1（2）在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB＝ （A.14 B.C.12 D.解析（1）由题意得sinαcosβ＋sinβcosα＋cosαcosβ－sinαsinβ＝22×22（cosα－sinα）sinβ，整理，得sinαcosβ－sinβcosα＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C（2）∵C＝120°，∴tanC＝－3.∵A＋B＝180°－C，∴tan（A＋B）＝－tanC.∴tan（A＋B）＝3，tanA＋tanB＝3（1－tanAtanB），又∵tanA＋tanB＝233，∴tanAtanB＝答案（1）C（2）B｜解题技法｜三角函数公式的活用技巧（1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；（2）tanαtanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用.提醒（1）公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；（2）注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的.1.tan87°－tan27°－3tan27°tan87°＝ （）A.2 B.3C.－2 D.－5解析：Btan87°－tan27°－3tan27°tan87°＝tan（87°－27°）（1＋tan27°tan87°）－3tan27°tan87°＝3（1＋tan27°tan87°）－3tan27°tan87°＝3.2.已知α，β，γ∈0,π2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α＝解析：由题意知，sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，将两式分别平方后相加，得1＝（sinβ－sinα）2＋（cosα－cosβ）2＝2－2（sinβsinα＋cosβcosα），∴cos（β－α）＝12，∵γ∈0,π2，∴sinγ＝sinβ－sinα＞0，又α，β∈0,π2，∴β＞α，∴0＜β－α＜π答案：π变换求值考向1角的变换【例2】已知α，β∈3π4,π，sin（α＋β）＝－35，sinβ-π4＝24解析由题意知，α＋β∈3π2,2π，sin（α＋β）＝－35＜0，所以cos（α＋β）＝45，因为β－π4∈π2,3π4，所以cosβ-π4＝－725，cosα+π4＝cos(α+答案－4｜解题技法｜三角公式求值中变角的解题思路（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.考向2名的变换【例3】若cosθ+π6＝45，则sin2θA.－725B.2425C.725解析法一：sin2θ-π6＝－cosπ2+2θ-π6＝－cos2θ+法二：cos2θ+π6＝1+cos2θ+π32＝1625，解得cos2θ+π3＝725，答案A｜解题技法｜三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.1.已知sinπ5-α＝14，则cos2αA.－78 B.C.－158 D.解析：A由sinπ5-α＝14，得cos2π5-2α＝1－2sin2π5-α＝78，cos22.已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα＝43，cos（β－α）＝210，则sinα＝，cosβ＝解析：因为0＜α＜π2，且tanα＝43，所以sinα＝45，cosα＝35，由0＜α＜π2＜β＜π，则0＜β－α＜π，又因为cos（β－α）＝210，则sin（β－α）＝7210，所以cosβ＝cos[（β－α）＋α]＝cos（β－α）cosα－sin（β－α）sinα＝210答案：45－1.已知cosθ＝13，则sin2θ+π2A.－79B.C.23 D.－解析：A根据诱导公式与二倍角公式，得sin2θ+π2＝cos2θ＝2cos2θ－1＝－72.若sinθ＝5cos（2π－θ），则tan2θ＝ （）A.－53 B.C.－52 D.解析：C因为sinθ＝5cos（2π－θ）＝5cosθ，所以tanθ＝5，所以tan2θ＝2tanθ1-tan3.已知sinα＝35，α∈π2,π，则tanA.－7 B.－1C.17 D.解析：D因为sinα＝35，α∈π2,π，所以cosα＝－1-352＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34.已知cosβ－3sinα＝2，sinβ＋3cosα＝32，则sin（β－α）＝ （A.－524 B.C.－58 D.解析：C由cosβ－3sinα＝2得，（cosβ－3sinα）2＝cos2β－6cosβsinα＋9sin2α＝4，①.由sinβ＋3cosα＝32得，（sinβ＋3cosα）2＝sin2β＋6sinβcosα＋9cos2α＝94，②.①＋②得10＋6（sinβcosα－cosβsinα）＝10＋6sin（β－α）＝254，∴sin（β－α5.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点M-12,-32，则cos2α＋A.－12 B.C.1 D.3解析：A由题意知sinα＝－32，cosα＝－12，所以cos2α＋sinα-π3＝2cos2α－1＋12sinα－32cosα＝2×-122－1＋126.（多选）下列各式中，值为12的是 （A.tan22.5°1-tan222C.33cos2π12－33sin2π12解析：ACD∵tan22.5°1-tan222.5°＝12tan45°＝12，tan15°cos215°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14，33cos2π12－33sin2π12＝337.（2022·北京高考）若函数f（x）＝Asinx－3cosx的一个零点为π3，则A＝；fπ12＝解析：依题意得fπ3＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sinx－3cosx＝2sinx-π3，所以fπ答案：1－28.化简：sin10°1-3解析：sin10°1-3tan10°＝sin10°答案：19.满足等式（1－tanα）（1－tanβ）＝2的数组（α，β）有无穷多个，试写出一个这样的数组.

解析：由（1－tanα）（1－tanβ）＝2，得1－（tanα＋tanβ）＋tanαtanβ＝2，所以tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，所以tan（α＋β）＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝tanαtanβ-11-tanαtanβ＝－1，所以α＋β＝3π4＋kπ答案：0,10.已知cosα＝－34，sinβ＝23，α是第三象限角，β∈（1）sin2α的值；（2）cos（2α＋β）的值.解：（1）因为α是第三象限角，cosα＝－34则sinα＝－1-cos所以sin2α＝2sinαcosα＝2×-74×-3（2）因为β∈π2,π，sinβ则cosβ＝－1-sin又cos2α＝2cos2α－1＝2×916－1＝1所以cos（2α＋β）＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝18×-53－37811.设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝22（sin56°－cos56°），c＝1-tan239°1+tan239A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.c＞a＞b D.a＞c＞b解析：D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos（50°－127°）＝cos（－77°）＝cos77°＝sin13°，b＝22（sin56°－cos56°）＝22sin56°－22cos56°＝sin（56°－45°）＝sin11°，c＝1-tan239°1+tan239°＝1-sin239°cos239°1+sin239°cos239°＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因为函数12.（多选）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方（即CD＝10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论，其中正确的是 （）A.水深为12尺 B.芦苇长为15尺C.tanθ2＝23 D.tanθ解析：ACD设BC＝x，则AC＝x＋1，∵AB＝5，∴52＋x2＝（x＋1）2，∴x＝12，即水深为12尺，A正确；芦苇长为13尺，B错误；tanθ＝125，由tanθ＝2tanθ21-tan2θ2，解得tanθ2＝23（负值已舍去），C正确；∵tanθ＝125，∴tanθ+13.设α是第一象限角，满足sinα-π4－cosα+π4＝6-解析：∵sinα-π4－cosα+π4＝22sinα－22cosα－22cosα＋22sinα＝2（sinα－cosα）＝6-22，∴sinα－cosα＝3-12.∵α是第一象限角，∴sinα＞0，cosα＞0，由sinα-cosα=3-答案：314.已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan（α－β）＝－1（1）求sin（α－β）的值；（2）求cosβ的值.解：（1）∵α，β∈0,π2，∴－π2＜α－又∵tan（α－β）＝－13＜0∴－π2＜α－β＜0∴sin（α－β）＝－1010（2）由（1）可得，cos（α－β）＝310∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝4∴cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝45×31010＋35×15.已知α，β为锐角，tanα＝43，cos（α＋β）＝－5（1）求cos2α的值；（2）求tan（α－β）的值.解：（1）因为tanα＝43＝sin所以sinα＝43cosα因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925所以cos2α＝2cos2α－1＝－725（2）因为α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π）.又因为cos（α＋β）＝－55所以α＋β∈π2所以sin（α＋β）＝1-cos所以tan（α＋β）＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1所以tan（α－β）＝tan[2α－（α＋β）]＝tan2α-tan第二课时简单的三角恒等变换三角函数式的化简【例1】化简：（1）2sin(（2）sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2α·cos2β解（1）2sin(π＝2sinα(1+cosα)（2）法一：原式＝1-cos2α2·1-cos2β2＋1+cos2α2·1+cos2＝1-cos2β-cos2α+cos2αcos2β4＋＝12＋12cos2αcos2β－12cos2αcos2β法二：原式＝（1－cos2α）（1－cos2β）＋cos2αcos2β－12（2cos2α－1）（2cos2β－1＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－12（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝1法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12（cos2α－sin2α）·（cos2β－sin2β＝12（2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β＝12[sin2α（sin2β＋cos2β）＋cos2α（sin2β＋cos2β）＝12（sin2α＋cos2α）＝1｜解题技法｜三角函数式的化简要遵循“3看”原则1.sin(180°+2α)1+cos2A.－sinαB.－cosαC.sinα D.cosα解析：D原式＝-＝-2sinαcosα·2.化简：2tanπ解：原式＝2tan＝2＝2sin＝sinπ2-2θ三角函数式求值考向1给角求值【例2】计算2cos10°-sin20°cos20°A.1B.2C.3 D.2解析2cos10°-sin20°cos20°＝2cos(30°-20°)-答案C｜解题技法｜给角求值问题的基本思路观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：（1）特殊角的三角函数值；（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.考向2给值求值【例3】已知tanα+π4＝12，且－π2＜α＜0，则2siA.－255B.－3510C.－3解析因为tanα+π4＝tanα+11-tanα＝12，所以tanα＝－13，因为tanα＝sinαcosα＝－13，sin2α＋cos2α＝1，α∈-π2,0，所以sinα＝－1010.所以2sin答案A｜解题技法｜给值求值问题的解题策略（1）此类问题的解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件，然后用代入法求出三角函数式的值，也可以将所求的函数式经过适当的变形，再利用条件求值；（2）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示.考向3给值求角【例4】已知角α∈0,π2，tanπ12＝sinα-解析tanπ12＝sinπ12cosπ12＝sinα-sinπ12cosα+cosπ12，整理得sinπ12cosα+cosπ12＝cosπ12sinα-sinπ12答案π｜解题技法｜“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围为-1.cos40°cos25°1-sin40A.1 B.3C.2 D.2解析：C原式＝cos220°-sin22.已知cosθ+π4＝1010，θ∈0,π2解析：由题意可得cos2θ+π4＝1+cos2θ+π22＝110，cos2θ+π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cosθ+π4＝1010＞0，θ∈0,π2，所以0＜θ＜π4，2θ∈0,π2，根据同角三角函数的基本关系式，可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，答案：43.已知sinα＝55，sin（α－β）＝－1010，α，β均为锐角，则β＝解析：因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin（α－β）＝－1010，所以－π2＜α－β＜0，所以cos（α－β）＝31010.又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－（α－β）]＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）＝55×31010答案：π三角恒等变换的综合应用【例5】已知函数f（x）＝4cosxcosx+π6（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α∈0,π2，且f（α）＝65解（1）f（x）＝4cosxcosx+π＝4cosx32cos＝23cos2x－2sinxcosx－3＝3（1＋cos2x）－sin2x－3＝3cos2x－sin2x＝2cos2x令2kπ－π≤2x＋π6≤2kπ（k∈Z），解得kπ－7π12≤x≤kπ－π12（k所以f（x）的单调递增区间为kπ-7π12,（2）由α∈0,π2，且f（α）＝65，得f（α）＝2cos所以cos2α+π因为0≤α≤π2，所以π6≤2α＋π6≤7π6，则π6≤2α所以sin2α+π6＝45，则cos2α＝cos2α+π6-π6＝cos2α+π6cosπ6｜解题技法｜三角恒等变换综合问题的求解策略（1）进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用；（2）形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2+b2sin（x＋φ），可进一步研究函数的周期性、已知向量a＝cosx2+sinx2,2sinx2，（1）求函数f（x）的最大值，并指出f（x）取最大值时x的取值集合；（2）若α，β为锐角，cos（α＋β）＝1213，f（β）＝65，求f解：（1）f（x）＝cos2x2－sin2x2＋23sinx2cosx2＝cosx＋3sinx当x＋π6＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝π3＋2kπ，k∈f（x）有最大值为2，此时x的取值集合为{x︱x＝π3＋2kπ，k∈Z}（2）由α，β为锐角，cos（α＋β）＝1213，得sin（α＋β）＝5由f（β）＝65得，sinβ+π∵0＜β＜π2，∴π6＜β＋π6又sinβ+π6∴π6＜β＋π6＜π4，∴cosβ∴cosα-π6＝cos（α＋β）cosβ+π6＋sin（α＋β）sinβ∴fα+π6＝2sinα+π3＝2sinπ1.已知α∈（0，π），2sin2α＝cos2α－1，则cosα＝（）A.55B.－55C.255解析：B∵2sin2α＝cos2α－1，∴4sinαcosα＝－2sin2α.∵α∈（0，π），∴sinα＞0，2cosα＝－sinα，∴cosα＜0，结合sin2α＋cos2α＝1，得cosα＝－552.若cos（30°－α）－sinα＝13，则sin（30°－2α）＝ （A.13 B.－13 C.79 解析：D由cos（30°－α）－sinα＝13，得32cosα－12sinα＝13，即cos（30°＋α）＝13，所以sin（30°－2α）＝cos（60°＋2α）＝2cos2（30°＋α）－1＝2×13.已知锐角α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋βA.3π4 B.π4C.π4 D.2kπ＋π4（k∈解析：C由sinα＝55，cosβ＝31010，且α，β为锐角，可知cosα＝255，sinβ＝1010，故cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，又0＜4.已知α∈（0，π），sin2α＋cos2α＝cosα－1，则sin2α＝（）A.34 B.－C.－34或0 D.解析：C∵sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，∴2sinαcosα＋2cos2α＝cosα，当cosα＝0时，等式成立，此时sin2α＝0；当cosα≠0时，sinα＋cosα＝12，两边平方得sin2α＝－34，故选5.已知λcos50°－tan40°＝3，则λ的值为 （）A.2 B.23 C.4 D.33解析：C由已知，λsin40°－sin40°cos40°＝3，则λsin40°cos40°-sin40°cos40°＝3，从而λsin40°cos40°－sin40°＝3cos40°，λ2sin80°＝3cos40°＋sin40°＝232cos40°+12sin40°＝2sin（606.（多选）已知sinα＝－45，180°＜α＜270°，则下列选项正确的是 （A.sin2α＝－2425 B.sinα2C.cosα2＝－55 D.tanα解析：BCD因为sinα＝－45，180°＜α＜270°，所以cosα＝－35，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×-45×-35＝2425，故A错误.因为90°＜α2＜135°，所以sinα2＝1-cosα2＝1--352＝255，cosα2＝－7.化简：3cos10°－1sin170°解析：原式＝3sin10°-cos10°cos10答案：－48.写出一个使等式sinαsinα+π6＋cosαcos解析：由sinαsinα+π6sinαcosα+π6+cosαsinα+π6sinα+π6cosα+π6＝2，所以sin2α+π6＝sin2α+π答案：π89.已知cosα+π6－sinα＝435，则sin解析：由cosα+π6－sinα＝32cosα－12sinα－sinα＝32cosα－32sinα＝312cosα-32sinα＝3cosα+π3＝3sinπ6答案：－410.化简：（1）3tan12（2）cos解：（1）原式＝3＝3＝2＝43sin(12（2）法一：原式＝cos2αcosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin法二：原式＝cos2αtanα2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin11.已知x，y∈0,