2025届高考数学冲刺复习立体几何中的综合问题

2025届高考数学冲刺复习立体几何中的综合问题

随着高考改革的不断深入，立体几何中的翻折、探究、动态等问

题备受命题者青睐.解决此类问题的关键是“以静制动”，将其转化为

平面几何问题，通过构造函数、基本不等式等方法加以解决.【例1】图①是由矩形

ADEB

，Rt△

ABC

和菱形

BFGC

组成的一个平

面图形，其中

AB

＝1，

BE

＝

BF

＝2，∠

FBC

＝60°.将其沿

AB

，

BC

折

起使得

BE

与

BF

重合，连接

DG

，如图②.翻折问题（1）证明：图②中的

A

，

C

，

G

，

D

四点共面，且平面

ABC

⊥平面

BCGE

；解：证明：由已知得

AD

∥

BE

，

CG

∥

BE

，所以

AD

∥

CG

，所以

AD

，

CG

确定一个平面，从而

A

，

C

，

G

，

D

四点共面.由已知得

AB

⊥

BE

，

AB

⊥

BC

，且

BE

∩

BC

＝

B

，所以

AB

⊥平面

BCGE

.

又因为

AB

⊂平面

ABC

，所以平面

ABC

⊥平面

BCGE

.

（2）求图②中的二面角

B

-

CG

-

A

的大小.

因此二面角

B

-

CG

-

A

的大小为30°.解题技法1.翻折问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清翻折前后

变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个

平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.2.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，

因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂

直问题的技巧.

（1）求证：平面

BC

1

E

⊥平面

ABED

；

（2）已知点

P

为线段

DC

1上一点，且

PC

1＝2

PD

，求直线

BP

与平面

ABC

1所成角的正弦值.

探究问题【例2】

（2021·全国甲卷19题）已知直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，侧面

AA

1

B

1

B

为正方形，

AB

＝

BC

＝2，

E

，

F

分别为

AC

和

CC

1的中点，

D

为棱

A

1

B

1上的点，

BF

⊥

A

1

B

1.（1）证明：

BF

⊥

DE

；

（2）当

B

1

D

为何值时，面

BB

1

C

1

C

与面

DFE

所成的二面角的正弦值

最小？

解题技法利用空间向量巧解探究性问题的策略（1）空间向量最适合于解决立体几何中的探究性问题，它无需进行

复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；（2）解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存

在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的

解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用

这一方法解题.提醒

探究线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用.

（2024·厦门质检）在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，四边形

AA

1

B

1

B

是

菱形，

AB

⊥

AC

，平面

AA

1

B

1

B

⊥平面

ABC

，平面

A

1

B

1

C

1与平面

AB

1

C

的交线为

l

.（1）证明：

A

1

B

⊥

B

1

C

.

解：证明：因为四边形

AA

1

B

1

B

为菱形，所以

A

1

B

⊥

AB

1.因为平面

AA

1

B

1

B

⊥平面

ABC

，平面

AA

1

B

1

B

∩平面

ABC

＝

AB

，

AC

⊂平面

ABC

，

AC

⊥

AB

，所以

AC

⊥平面

AA

1

B

1

B

.

又

A

1

B

⊂平面

AA

1

B

1

B

，所以

AC

⊥

A

1

B

.

又因为

AB

1∩

AC

＝

A

，所以

A

1

B

⊥平面

AB

1

C

.

又

B

1

C

⊂平面

AB

1

C

，所以

A

1

B

⊥

B

1

C

.

（2）已知∠

ABB

1＝60°，

AB

＝

AC

＝2，

l

上是否存在点

P

，使

A

1

B

与

平面

ABP

所成角为30°？若存在，求

B

1

P

的长度；若不存在，请

说明理由.解：l

上不存在点

P

，使

A

1

B

与平面

ABP

所成

角为30°.理由如下：取

A

1

B

1的中点

D

，连接

AD

.

因为∠

ABB

1＝60°，所以∠

AA

1

B

1＝60°.又

AA

1＝

A

1

B

1，所以△

AA

1

B

1为等边三角形，所以

AD

⊥

A

1

B

1.因为

A

1

B

1∥

AB

，所以

AD

⊥

AB

.

又平面

AA

1

B

1

B

⊥平面

ABC

，平面

AA

1

B

1

B

∩平面

ABC

＝

AB

，

AD

⊂平面

AA

1

B

1

B

，

动态问题考向1

轨迹问题

A.πB.2πC.4π

（2）（多选）如图，已知正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱长为4，

M

为

DD

1的中点，

N

为

ABCD

所在平面内一动点，则下列命题正确的是（

）B.若

MN

＝4，则

MN

的中点

P

的轨迹所围成图形的面积为2πC.若点

N

到直线

BB

1与到直线

DC

的距离相等，则点

N

的轨迹为

抛物线

解题技法解决动点轨迹问题的方法（1）几何法：根据平面的性质进行判定；（2）定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用

代替法进行计算；（3）特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行

排除.考向2

空间位置关系的判定【例4】

（多选）已知

P

，

Q

分别是正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱

BB

1，

CC

1上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是

（

）A.

AB

⊥

PQ

B.平面

BPQ

∥平面

ADD

1

A

1C.四面体

ABPQ

的体积为定值D.

AP

∥平面

CDD

1

C

1解析：

对于A，∵

AB

⊥

BC

，

AB

⊥

BB

1，

BC

∩

BB

1＝

B

，

BC

，

BB

1⊂平面

BCC

1

B

1，∴

AB

⊥平面

BCC

1

B

1，∵

PQ

⊂平面

BCC

1

B

1，∴

AB

⊥

PQ

，故A正确；对于B，∵平面

ADD

1

A

1∥平面

BCC

1

B

1，平面

BPQ

与平面

BCC

1

B

1重合，∴平面

BPQ

∥平面

ADD

1

A

1，故B

正确；对于C，∵

A

到平面

BPQ

的距离

AB

为定值，

Q

到

BP

的距离为

定值，

BP

的长不是定值，∴四面体

ABPQ

的体积不为定值，故C错

误；对于D，∵平面

ABB

1

A

1∥平面

CDD

1

C

1，

AP

⊂平面

ABB

1

A

1，∴

AP

∥平面

CDD

1

C

1，故D正确.解题技法解决空间位置关系的动点问题的方法（1）应用“位置关系定理”转化；（2）建立“坐标系”计算.考向3

最值（范围）问题【例5】

（1）已知点

M

是棱长为2的正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱

AD

的中点，点

P

在平面

BCC

1

B

1所在的平面内.若平面

D

1

PM

分别与平

面

ABCD

和平面

BCC

1

B

1所成的锐二面角相等，则点

P

与点

C

1的最短

距离是（

）C.1

解题技法

立体几何中体积、距离、角的最值（范围）问题，常用的解题思

路是：（1）直观判断：判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大

（小）值；（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类问题转化为函数，从

而利用代数方法求解.

1.在四棱锥

P

-

ABCD

中，四边形

ABCD

是边长为2的菱形，∠

DAB

＝

60°，

PA

＝

PD

，∠

APD

＝90°，平面

PAD

⊥平面

ABCD

，点

Q

是△

PBC

内（含边界）的一个动点，且满足

DQ

⊥

AC

，则点

Q

所形成的

轨迹的长度是

⁠.

解析：如图，连接

BD

，交

AC

于点

O

，因为四边形

ABCD

为菱形，

所以

AC

⊥

BD

.

取

PC

上一点

M

，连接

MD

，

MB

，使得

DM

⊥

AC

，

又

AC

⊥

BD

，

BD

∩

DM

＝

D

，所以

AC

⊥平面

BDM

，则点

Q

的轨

迹是线段

BM

.

2.（2024·天津六校联考）在如图所示的实验装置中，正方形框架的

边长都是1，且平面

ABCD

⊥平面

ABEF

，弹子

M

，

N

分别在正方形

对角线

AC

，

BF

上移动，则

MN

长度的最小值是

⁠.

课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习

A.圆B.椭圆C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分12345678910111213141516171819202122232425262728

B.

（1，＋∞）

A.当λ＝1时，△

AB

1

P

的周长为定值B.当μ＝1时，三棱锥

P

-

A

1

BC

的体积为定值

5.（多选）如图，在棱长为1的正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

M

，

N

分别为

BD

1，

B

1

C

1的中点，点

P

在正方体的表面上运动，且满足

MP

⊥

CN

.

下列说法中正确的是（

）A.点

P

可以是棱

BB

1的中点C.点

P

的轨迹是正方形

6.（多选）（2024·新高考Ⅰ卷12题）下列物体中，能够被整体放入棱

长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

（

）A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

3π

8.在直四棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，底面

ABCD

为正方形，

AA

1＝2

AB

＝2.点

P

在侧面

BCC

1

B

1内，若

A

1

C

⊥平面

BDP

，则点

P

到

CD

的距离的最小值为

⁠.

9.如图，在四棱锥

S

-

ABCD

中，已知四边形

ABCD

为菱形，∠

BAD

＝

60°，△

SAD

为正三角形，平面

SAD

⊥平面

ABCD

.

（1）求平面

SBC

与平面

ABC

夹角的大小；解：取

AD

中点

O

，连接

SO

，

BO

，因为

SA

＝

SD

，

OA

＝

OD

，所以

SO

⊥

AD

，又因为平面

SAD

⊥平面

ABCD

，平面

SAD

∩

平面

ABCD

＝

AD

，

SO

⊂平面

SAD

，所以

SO

⊥平面

ABCD

，因为

OB

⊂平面

ABCD

，所以

SO

⊥

OB

，因为

BA

＝

BD

，

OA

＝

OD

，所以

OA

⊥

OB

，所以

OA

，

OB

，

OS

两两垂直，以

O

为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

（2）在线段

SC

（端点

S

，

C

除外）上是否存在一点

M

，使得

AM

⊥

BD

？若存在，指出点

M

的位置；若不存在，请说明理由.

10.（2024·保定质检）如图①，在Rt△

ABC

中，

AB

⊥

BC

，

AC

＝2

AB

＝