人教版高一数学新教材同步配套教学讲义4.5.2用二分法求方程的近似解(原卷版+解析)

4．5．2用二分法求方程的近似解【知识点梳理】知识点一：二分法1、二分法对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．2、用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．知识点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．3、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位．（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．【题型归纳目录】题型一：用二分法求近似解的条件题型二：用二分法求方程近似解的过程题型三：用二分法求函数零点的过程【典型例题】题型一：用二分法求近似解的条件例1．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．例2．（2022·湖南·高一课时练习）观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（

）A．B．C．D．例3．（2022·四川省南充高级中学高一阶段练习）用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（

）A． B． C． D．变式1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（

）A．f（x）＝3x－1 B．f（x）＝x3C．f（x）＝|x| D．f（x）＝lnx变式2．（2022·江苏·高一单元测试）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（

）A．（k，b为常数，且）B．（a，b，c为常数，且）C．D．（，k为常数）变式3．（2022·江苏·高一专题练习）用二分法求函数零点的近似值适合于（

）A．变号零点 B．不变号零点C．都适合 D．都不适合【方法技巧与总结】判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．题型二：用二分法求方程近似解的过程例4．（2022·甘肃·高台县第一中学高一期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x00．50．531250．56250．6250．7510．0660．2150．5121．099由二分法，方程的近似解（精确度为0．05）可能是（

）A．0．625 B． C．0．5625 D．0．066例5．（2022·全国·高一课时练习）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0．1）可以是（

）A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5例6．（2022·四川·广安二中高一期中）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：

那么方程的一个近似解（精确度为0．1）为（

）A．1．5 B．1．25 C．1．41 D．1．44变式4．（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，变式5．（2022·全国·高一课前预习）方程在区间上的根必定在（

）A．上 B．上 C．上 D．上变式6．（2022·全国·高一单元测试）若函数在区间[1，1．5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：x11．51．251．3751．3125f（x）-10．875-0．29690．2246-0．05151那么方程的一个近似根（精确度为0．1）可以为（）A．1．3 B．1．32 C．1．4375 D．1．25变式7．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函数的部分函数值数据如下：，，，，则方程的一个近似根x所在区间为（

）A． B． C． D．变式8．（2022·全国·高一专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（

）A． B． C． D．变式9．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程可得，，，则方程的解所在区间为（

）A． B．C． D．不能确定变式10．（2022·广东·珠海市斗门区第一中学高一阶段练习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0．04）为（

）A．1．5 B．1．25 C．1．375 D．1．4375变式11．（2022·全国·高一课时练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）．（2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）．题型三：用二分法求函数零点的过程例7．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（

）A．1 B． C．0．25 D．0．75例8．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高一阶段练习）已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（

）A． B． C． D．例9．（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（

）A． B． C． D．变式12．（2022·江苏·高一）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：121.51.751.76561.75781.7617－63－2.625－0.140630.035181－0.05304－0.0088要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（

）A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76变式13．（2022·全国·高一单元测试）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．变式14．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.变式15．（2022·全国·高一专题练习）根据下表，用二分法求函数在区间上的零点的近似值（精确度）是__________．f（1）=-1f（2）=3f（1.5）=-0.125f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.12719726变式16．（2022·全国·高一专题练习）已知函数.(1)探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；(2)判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）变式17．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求下列函数在给定区间内的零点：(1)在区间内的零点（精确到0.1）；(2)在区间内的零点（精确到0.1）．变式18．（2022·湖南·益阳平高学校高一阶段练习）已知函数为上的连续函数．(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．(2)若，判断在上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．【方法技巧与总结】利用二分法求函数近似零点的流程图：【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．2．（2022·湖北省武昌实验中学高一期末）已知函数的部分函数值如下表所示那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一课时练习）下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．4．（2022·浙江·高一期末）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.55．（2022·江苏·高一）下列关于二分法的叙述，正确的是（

）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只有求函数零点时才用二分法6．（2022·全国·高一课时练习）若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（

）．A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.57．（2022·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定8．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、多选题9．（2022·湖北·武汉市第十四中学高一阶段练习）给出下列命题：①已知函数，则②当且时，函数的图像必过定点③用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1④函数的零点有2个以上命题错误的有（

）．A．① B．② C．③ D．④10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（

）A．函数的两个零点可以分别在区间和内B．函数的两个零点可以分别在区间和内C．函数的两个零点可以分别在区间和内D．函数的两个零点不可能同时在区间内11．（2022·全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（

）A．的零点在区间内 B．的零点在区间内C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.512．（2022·全国·高一课时练习）如图，函数的图像与轴交于，，，四点，则能用二分法求出的零点近似值的是（

）A． B． C． D．三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为___．14．（2022·全国·高一课时练习）在用二分法求函数的零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）15．（2022·全国·高一专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为______．16．（2022·江苏·高一专题练习）用二分法求方程x3－8＝0在区间(2，3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01.四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）求函数的一个负零点（精确度0.01）.18．（2022·全国·高一专题练习）求方程lnx＋x－3＝0在(2，3)内的近似解(精确度为0.1).19．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)＝3x＋，方程f(x)＝0在(－1,＋∞)内是否有根？若有根，有几个？请你用二分法求出方程f(x)＝0根的近似值.(精确度0.01)20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.(1)若，判断函数在上是否存在零点.若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出该零点存在的区间；若不存在，请说明理由.(2)若函数在区间上存在零点，求实数m的取值范围.4．5．2用二分法求方程的近似解【知识点梳理】知识点一：二分法1、二分法对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．2、用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．知识点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．3、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位．（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．【题型归纳目录】题型一：用二分法求近似解的条件题型二：用二分法求方程近似解的过程题型三：用二分法求函数零点的过程【典型例题】题型一：用二分法求近似解的条件例1．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点．故选：C．例2．（2022·湖南·高一课时练习）观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．故选：A例3．（2022·四川省南充高级中学高一阶段练习）用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是单调增函数，故是单调增函数，其零点至多有一个；又，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是．故选：B．变式1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（

）A．f（x）＝3x－1 B．f（x）＝x3C．f（x）＝|x| D．f（x）＝lnx【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于B，f（x）＝x3在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于C，f（x）＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；对于D，f（x）＝lnx在（0，+∞）上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；故选：C．变式2．（2022·江苏·高一单元测试）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（

）A．（k，b为常数，且）B．（a，b，c为常数，且）C．D．（，k为常数）【答案】A【解析】由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故C，D不能用“二分法”求其零点，故CD错误；对于二次函数（a，b，c为常数，且），当时，不能用二分法，故B错误；由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故A选项正确．故选：A变式3．（2022·江苏·高一专题练习）用二分法求函数零点的近似值适合于（

）A．变号零点 B．不变号零点C．都适合 D．都不适合【答案】A【解析】由零点存在定理可知，二分法求函数零点的近似值适合于在零点两边的函数值异号，即适用于变号零点．故选：A．【方法技巧与总结】判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．题型二：用二分法求方程近似解的过程例4．（2022·甘肃·高台县第一中学高一期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x00．50．531250．56250．6250．7510．0660．2150．5121．099由二分法，方程的近似解（精确度为0．05）可能是（

）A．0．625 B． C．0．5625 D．0．066【答案】C【解析】由题意得在区间上单调递增，设方程的解的近似值为，由表格得，所以，因为，所以方程的近似解可取为0．5625．故选：C．例5．（2022·全国·高一课时练习）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0．1）可以是（

）A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5【答案】C【解析】因为，，且1．375与1．4375精确到0．1的近似值都为1．4，所以原方程的一个近似根为1．4．故选：C．例6．（2022·四川·广安二中高一期中）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：

那么方程的一个近似解（精确度为0．1）为（

）A．1．5 B．1．25 C．1．41 D．1．44【答案】C【解析】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，因为，，所以根在内，因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，因为，，所以根在区间，因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，因为，，所以根在区间内，因为满足精确度，因为，所以根在内，所以方程的一个近似解为，故选：C变式4．（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因为，由零点存在性知：零点，根据二分法，第二次应计算，即，故选：D．变式5．（2022·全国·高一课前预习）方程在区间上的根必定在（

）A．上 B．上 C．上 D．上【答案】D【解析】解析：设，则，，因为且，所以函数在上必有零点．又因为且，所以函数在上必有零点．又因为且，所以函数在上必有零点．即方程的根必在上．故选：D变式6．（2022·全国·高一单元测试）若函数在区间[1，1．5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：x11．51．251．3751．3125f（x）-10．875-0．29690．2246-0．05151那么方程的一个近似根（精确度为0．1）可以为（）A．1．3 B．1．32 C．1．4375 D．1．25【答案】B【解析】由，，且为连续函数，由零点存在性定理知：区间内存在零点，故方程的一个近似根可以为1．32，B选项正确，其他选项均不可．故选：B变式7．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函数的部分函数值数据如下：，，，，则方程的一个近似根x所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，知，所以函数的零点在区间内，即方程的一个近似根x所在区间为．故选：B．变式8．（2022·全国·高一专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后，区间长度变为，用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为，，解得，故选：C．变式9．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程可得，，，则方程的解所在区间为（

）A． B．C． D．不能确定【答案】A【解析】因为，故方程的解所在区间为．故选：A．变式10．（2022·广东·珠海市斗门区第一中学高一阶段练习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0．04）为（

）A．1．5 B．1．25 C．1．375 D．1．4375【答案】D【解析】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0．03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1．4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，故选：D．变式11．（2022·全国·高一课时练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据已知，，，，，根据二分法可知该近似解所在的区间是．故选：C.【方法技巧与总结】（1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）．（2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）．题型三：用二分法求函数零点的过程例7．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（

）A．1 B． C．0．25 D．0．75【答案】C【解析】因为，，所以在内存在零点，根据二分法第二次应该计算，其中；故选：C例8．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高一阶段练习）已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由在上单调递增得：，，又恒成立，∴，解得，∴的零点为，故选：C.例9．（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是；第三次所取的区间可能是.故选：.变式12．（2022·江苏·高一）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：121.51.751.76561.75781.7617－63－2.625－0.140630.035181－0.05304－0.0088要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（

）A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76【答案】D【解析】由表格数据，零点区间变化如下：，此时区间长度小于，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取．故选：D．变式13．（2022·全国·高一单元测试）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，，所以函数在区间上有唯一零点，所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.变式14．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.【答案】3【解析】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：取区间的中点，且，所以.取区间的中点，且，所以.取区间的中点，且，所以.因为，所以区间的中点即为零点的近似值，即，所以至少需进行3次函数值的计算.故答案为：3变式15．（2022·全国·高一专题练习）根据下表，用二分法求函数在区间上的零点的近似值（精确度）是__________．f（1）=-1f（2）=3f（1.5）=-0.125f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.12719726【答案】（答案不唯一）【解析】由二分法定义：由函数，由图表知；；；.由于，故零点的近似值是1.5或1.5625或区间[1.5，1.5625]上的任何一个值.故答案为：.（答案不唯一）变式16．（2022·全国·高一专题练习）已知函数.(1)探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；(2)判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）【解析】（1），则函数在上为减函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，即，故函数在上为减函数.（2）由，可知，即，解得，即，可得，构造函数，由（1）可知，函数在上为减函数，而函数为定义域上的增函数，则函数在上为增函数，又因为函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，且零点记为，，即，，故，，故，且区间的长度为.故满足条件的一个区间为.变式17．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求下列函数在给定区间内的零点：(1)在区间内的零点（精确到0.1）；(2)在区间内的零点（精确到0.1）．【解析】(1)因为，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，因为，，则在区间内的零点近似为.(2)因为，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，因为，，则在区间内的零点近似为.变式18．（2022·湖南·益阳平高学校高一阶段练习）已知函数为上的连续函数．(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．(2)若，判断在上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．【解析】(1)为二次函数，开口向上，对称轴为，可知函数在区间上单调递减，∵在区间上存在零点，∴，即，解得：，∴实数的取值范围是．(2)当时，为二次函数，开口向上，对称轴为，所以在区间上单调递减，，，则，∴函数在上存在唯一零点，又为上的连续函数，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，此时误差为，即满足误差不超过0.1，∴零点所在的区间为．【方法技巧与总结】利用二分法求函数近似零点的流程图：【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即图像穿过轴时，能用二分法求函数零点近似值，据此分析选项，由图知，A选项中，零点的左右两侧的函数值符号相同，函数不能用二分法求零点近似值；B选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；C选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；D选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值.故选:A2．（2022·湖北省武昌实验中学高一期末）已知函数的部分函数值如下表所示那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数在R上单调递增，由数表知：，由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，所以函数的一个零点的近似值为.故选：B3．（2022·全国·高一课时练习）下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值.故选：B4．（2022·浙江·高一期末）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】根据二分法，结合表中数据，由于所以方程的一个近似根所在区间为所以符合条件的解为1.4故选:C.5．（2022·江苏·高一）下列关于二分法的叙述，正确的是（

）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只有求函数零点时才用二分法【答案】B【解析】根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选：B.6．（2022·全国·高一课时练习）若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（

）．A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5【答案】B【解析】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B.故选：B7．（2022·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定【答案】B【解析】∵f（1）<0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数=3x+3x﹣8存在一个零点又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，∴在区间（1.25，1.5）内函数=3x+3x﹣8存在一个零点，由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，故选：B8．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过次操作后，区间长度变为，∵用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01，∴，解得：，

所需二分区间的次数最少为7.故选：C．二、多选题9．（2022·湖北·武汉市第十四中学高一阶段练习）给出下列命题：①已知函数，则②当且时，函数的图像必过定点③用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1④函数的零点有2个以上命题错误的有（

）．A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】①选项，函数，所以令代入得：，故选项错误；②选项，函数为指数函数，当时，，此时，所以，此函数必过定点，该选项正确；③选项，区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后，区间长度变为，故有，，至少要操作4次，所以选项错误；④选项，函数的零点有3个，一个是，一个为，一个为，所以选项错误.故选：ACD10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（

）A．函数的两个零点可以分别在区间和内B．函数的两个零点可以分别在区间和内C．函数的两个零点可以分别在区间和内D．函数的两个零点不可能同时在区间内【答案】ABD【解析】因为函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，又，，所以，，若，可得，，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故B正确；若，则，，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故A正确.综上两种情况，可知选项C错误，D正确.故选：ABD.11．（2022·全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（

）A．的零点在区间内 B．的零点在区间内C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.5【答案】BC【解析】易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．故选：BC.12．（2022·全国·高一课时练习）如图，函数的图像与轴交于，，，四点，则能用二分法求出的零点近似值的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由题图，可知在两侧，函数的值均大于0，故的近似值不能用二分法求出.其他零点两侧函数值符号均相反，可以用二分法求解近似值.故选:ACD.三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为___．【答案】