2023-2024学年广东省江门市新会一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省江门市新会一中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知ξ的分布列为ξ1234P111m设η=2ξ−5，则E(η)=(

)A.12 B.13 C.232.已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则A.±2 B.±2 C.±3.已知等差数列{an}，等比数列{bn}，满足a7A.14 B.12 C.2 4.若曲线y=lnx+ax在点(1,a)处的切线与直线l：x+y+5=0平行，则实数a=(

)A.12 B.1 C.32 5.今天是星期天，则137天后是(

)A.星期五 B.星期六 C.星期天 D.星期一6.某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有(

)A.60种 B.66种 C.72种 D.78种7.袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为(

)A.29 B.310 C.138.已知函数f(x)=x2ex，下列关于f(x)A.函数f(x)在[0,1]上是增函数

B.函数f(x)的最小值为0

C.如果x∈[0,t]时，f(x)max=4e2，则t的最小值为2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.给出下列命题，其中正确的命题有(

)A.两个变量的线性相关性越强，则相关系数r越大

B.在(3x−1x)10的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等

C.将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法

D.公共汽车上有1010.已知双曲线E：x2a2−y22=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线A.若E的两条渐近线相互垂直，则a=2

B.若E的离心率为3，则E的实轴长为1

C.若∠F1PF2=90°，则11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1A.三棱锥A1−EFG的体积为定值

B.存在点G，使平面EFG/​/平面BDC1

C.当点G与B1重合时，二面角G−EF−A1的正切值为22

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知F1，F2分别为椭圆x218+y210=113.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为______．14.已知a∈N∗，函数f(x)=e3x−四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某班级有60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数学成绩x140130120110100物理成绩y110901008070数据表明y与x之间有较强的线性相关性．

(1)利用表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；

(2)在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？数学成绩物理成绩合计物理优秀物理不优秀数学优秀数学不优秀合计参考公式及数据：b​=i=1n(xi−x−)(yi−y−)α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题15分)

已知{an}数列的前n项和为Sn,Sn=2an−3n(n∈N∗)．

(1)证明：数列{an+3}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；

17.(本小题15分)

如图所示，在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．

(1)证明：BC⊥平面PAB；

(2)若PA=AB=6，BC=3，在线段PC上(不含端点)，是否存在点D，使得二面角

B−AD−C的余弦值为105，若存在，确定点D18.(本小题17分)

面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分．

(1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N(60,144)，规定X⩾72为达标，求进入面试环节的人数大约为多少(结果四舍五入保留整数)；

(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为23，后两题答对的概率均为45，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列和数学期望．

附：若X∼N(μ,σ2)(σ>0)，则P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.95419.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln(1+x)−axx+1(a>0)．

(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；

(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

(3)证明：(2017参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.B

6.C

7.B

8.D

9.BC

10.ACD

11.AC

12.213.2514.7

15.解：(1)由表中数据可得x−=140+130+120+110+1005=120，y−=110+90+100+80+705=90，i=15xiyi=54900，i=15(xi−x−)2=1000，数学成绩物理成绩合计物理优秀物理不优秀数学优秀24630数学不优秀121830合计362460零假设H0：数学成绩与物理成绩无关联，

则χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=60×(24×18−6×12)16.(1)证明：由Sn=2an−3n，可得a1=S1=2a1−3，解得a1=3，

当n≥2时，由Sn=2an−3n，可得Sn−1=2an−1−3(n−1)，

两式相减可得an=2an−3n−2an−1+3(n−1)，

整理得an=2an−1+3，又a1+3=6，

则an+3an−1+3=2an−1+3+3an−1+3=2，

所以数列{an+3}是首项为6，公比为2的等比数列，

可得an+3=6×2n−1=3×2n，

所以an=3×2n−3；

(2)解：由(1)得a17.解：(1)过点A作AE⊥PB于点E，

因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AE⊂平面PAB，

所以AE⊥平面PBC，

又BC⊂平面PBC，

所以AE⊥BC，

又PA⊥平面ABC，BC⊂平面PBC，

所以PA⊥BC，

又因为AE∩PA=A，AE，PA⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB；

(2)假设在线段PC上(不含端点)，存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为105，

以B为原点，分别以BC、BA为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则A(0,6,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P(0,6,6)，

AC=(3,−6,0)，AP=(0,0,6)，PC=(3,−6,−6)，BA=(0,6,0)，

设面ACD的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅AC=3c−6y=0m⋅AP=6z=0，则可取m=(2,1,0)，

因为D在线段PC上(不含端点)，

所以可设PD=λPC=(3λ,−6λ,−6λ)，0<λ<1，

所以AD=AP+PD=(3λ,−6λ,6−6λ)，

设面ABD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅BA=6y=0n⋅AD=3λx−6λy+(6−6λ)z=0，则可取n=(2λ−2,0,λ)，

所以cos<m，18.解：(1)∵X服从正态分布N(60,144)，

∴P(X≥72)≈1−0.6832=0.1585，

∴进入面试环节的人数Z～B(100,0.1585)，

∴E(Z)=100×0.1585≈16，

即进入面试环节的人数大约为16；

(2)根据题意，Y的所有可能取值为0，2，4，6，8，10，

则P(Y=0)=13×(15)2=175，P(Y=2)=2Y0246810P128161632则E(Y)=0×17519.解：(1)∵f(x)=ln(1+x)−axx+1(a>0)，

∴f′(x)=x+1−a(x+1)2，

∵x=1是函数f(x)的一个极值点，

f′(1)=0即a=2；

(2)∵f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，∴f(x)min≥0，

当0<a≤1时，f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，

即f(x)在[0,+∞)上为增函数，

∴f(x