2023-2024学年吉林省长春五中高二（下）第一学程数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省长春五中高二（下）第一学程数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3=3，A.5 B.6 C.7 D.82.设f(x)是可导函数，且limΔx→0f(1−3Δx)−f(1)Δx=3，则A.12 B.−13 C.−13.用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为(

)A.18 B.24 C.30 D.484.若(x−ax)6A.2 B.1 C.±1 D.±25.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：4x−by=0与直线l平行，则直线lA.4 B.2 C.85 D.6.老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有(

)A.248种 B.168种 C.360种 D.210种7.已知函数f(x)=13x3−2x2+ax+1A.1 B.2 C.3 D.48.已知a=ln(2e),b=e+1e,c=ln55A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=panA.若p=−1，q=3，则a10=2 B.若p=−1，q=3，则S10=15

C.若p=2，q=1，则a10=1024 D.10.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.过F2A.b=2 B.e=5

C.双曲线的方程为x211.已知(1−2x)2023=aA.展开式中所有二项式的系数和为22023

B.展开式中二项式系数最大项为第1012项

C.a1212.已知函数f(x)=−x3+3xA..函数f(x)在(−∞,0)∪(2,+∞)上单调递减

B.x=2是函数f(x)的极大值点

C..函数f(x)有3个零点

D..若函数f(x)在区间(3a−1,a+3)上存在最小值，则实数a的取值范围为(−3,0]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数f(x)的导函数为f′(x)，满足关系式f(x)=x2+2xf′(3)−3lnx，则f′(3)14.已知直线l过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，与C相交于A，B两点，且|AB|=10.若线段AB的中点的横坐标为3，直线l的斜率为______．15.已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元.设入水处的较短池壁长度为xm，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为425k(k>0)，较长的池壁总维修费用满足代数式2500kx16.定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f′(x)<f(x)，且函数f(x)的周期T=4，若f(2023)=−e，则不等式f(x)<ex的解集为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=(2n+1)an+1(n∈N∗)．

(1)求{a18.(本小题12分)

如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．

(1)求证：BA19.(本小题12分)

已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a∈R,b∈R)，其图象在点(1,4)处的切线方程为y=4．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数20.(本小题12分)

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，且椭圆C的短轴长为2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l过点D(0,12)21.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax−2lnx．

(1)试讨论函数f(x)的单调性；

(2)当x>1时，不等式f(x)<(x−2)lnx+2x+a−1恒成立，求整数a的最大值．

参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.A

6.D

7.D

8.B

9.ABD

10.ABC

11.ACD

12.BCD

13.−5

14.±2

15.25

16.(1,+∞)

17.解：(1)因为4Sn=(2n+1)an+1，令n=1得a1=1，

因为4Sn=(2n+1)an+1，

所以4Sn−1=(2n−1)an−1+1(n≥2)，

两式相减得4an=(2n+1)an−(2n−1)an−1(n≥2)，

即(2n−3)an=(2n−1)an−1．

所以18.(1)证明：设A1C∩AC1=O，则O是A1C中点，连接OD，

又∵D是BC中点，∴OD//A1B，

又∵BA1⊄平面C1AD，OD⊂平面C1AD，

∴A1B/​/平面C1AD；

(2)解：∵AB=AC，∴AD⊥BC，

AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴AA1⊥BC，同理AA1⊥AD，

AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD19.解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx(a∈R,b∈R)可得：f′(x)=3x2+2ax+b，

所以f(x)在点(1,4)处切线的斜率为k=f′(1)=3+2a+b，

因为f(x)在点(1,4)处切线方程为y=4，

所以切线的斜率为0，且f(1)=4，

所以f′(1)=0f(1)=4，即3+2a+b=01+a+b=4，

解得a=−6，b=9，

所以f(x)=x3−6x2+9x；

(2)由(1)知f(x)=x3−6x2+9x，

则f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，

令f′(x)=0得x=1或3，

所以在(12,1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，在(1,3)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在(3,5)上f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以在20.解(1)由题意得：e2=c2a2=1−b2a2=(32)2b=22，

解得b=1a=2，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1；

(2)由(1)可知P(0,−1)，D(0,12)，

所以|PD|=32，

由题意可知直线斜率必存在，设直线l：y=kx+12，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=kx+12x24+y2=1，整理可得：(1+4k2)x21.解：(1)由函数f(x)=ax−2lnx可得f′(x)=a−2x=ax−2x(x>0)，

当a≤0时，f′(x)<0恒成立，

所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞)；无单调递增区间．

当a>0时，令f′(x)=0解得x=2a，

令f′(x)<0，解得x∈(0,2a)；

令f′(x)>0，解得x∈(2a,+∞)，

所以f(x)的单调递减区间是(0,2a)；单调递增区间是(2a,+∞)，

综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)；无单调递增区间，

当a>0时，f(x)的单调递减区间是(0,2a)；单调递增区间是(2a,+∞)．

(2)当x>1时，不等式f(x)<(x−2)lnx+2x+a−1恒成立，

即ax−2lnx<(x−2)lnx+2x+a−1，

即ax−2lnx<xlnx−2lnx+2x+a−1，

ax<xlnx+2x+a−1，

a(x−1)<xlnx+2x−1，

a(x−1)<xlnx+2(x−1)+1，

a<xlnx+2(x−1)+1x−1，

即a<xlnxx−1+1x−1+2，

令g(x)=xlnxx−1+1x−1+2