2023-2024学年福建省泉州市晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省泉州市晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=2i，则A.z2=2 B.z2=−4 C.2.如图，则a−b=(

)

A.2e1−3e2 B.−2e3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=4，a=42，A=π4，则A.π6 B.π6或5π6 C.π3 4.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是(

)A.42π B.4π C.25.某地新建了一处云顶观景塔，引来广大市民参观，张同学在与塔底水平的A处，利用无人机在距离地面22m的C处观测塔顶的俯角为30°，在无人机正下方距离地面2m的B处观测塔顶仰角为60°，则该塔的高度为(

)A.15m

B.(153+2)m

C.17m6.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.则下列判断中正确的个数是(

)

(1)M，N，K三点共线；

(2)P，N，M，C四点共面；

(3)BC//NK．A.0

B.1

C.2

D.37.已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点(含端点)，则(DA+DB)⋅(A.[4,12] B.[4,20] C.[8,20] D.[8,24]8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，D为BC边上的中点，c=4，AO⋅AD=5，sinC+sinA−4sinB=0，则cosA=A.32 B.12 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在空间中，下列命题正确的是(

)A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点

B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线

C.若点A既在平面α内，又在平面β内，且α与β相交于直线b，则点A在b上

D.用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c=2：3：4，则下列结论正确的是(

)A.sinA：sinB：sinC=2：3：4

B.△ABC是锐角三角形

C.若c=8，则△ABC内切圆半径为153

D.若c=8，则△ABC11.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1A.PQ/​/平面ADD1A1

B.若Q，M，N，P四点共面，则λ=14

C.若λ=13，点F在侧面BB1C1C内，且A1F/​/平面APQ，则点F的轨迹长度为133三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(3,1),b=(1,−1),c=a+kb13.在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM/​/平面AD14.已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，圆台的侧面积为36π，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=bi(b∈R)，z+31−i是实数．

(1)求复数z；

(2)设w=z2+z−+5，求|w|；

(3)16.(本小题15分)

已知点P为△ABC中边AB上一点，BP=23BA．

(1)设CP=xCA+yCB，求(x−y)的值．

(2)设|CA|=6，|CB|=3，

①若|CP|=2,∠ACP=π617.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，已知A=π2，B=2π3，AB=6.在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED.若∠CED=2π3，EC=7．

(Ⅰ)求sin∠BCE的值；18.(本小题17分)

如图所示正四棱锥S−ABCD，SA=SB=SC=SD=2，AB=2，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD，求：

(1)正四棱锥S−ABCD的表面积；

(2)若M为SA的中点，求证：SC//平面BMD；

(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC.若存在，求SE19.(本小题17分)

如图，在△AOB中，已知|OA|=2，|OB|=23，∠AOB=90°，单位圆O与OA交于C，AD=λAB，λ∈(0,1)，P为单位圆O上的动点．

(1)当λ=12时，求|PD|的最小值；

(2)若OC+OP=OD

参考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.C

6.B

7.D

8.C

9.ABC

10.AC

11.AC

12.−5

13.214.12π

15.解：(1)因为z=bi，

所以z+31−i=3+bi1−i=(3+bi)(1+i)2=3−b+(b+3)i2

因为z+31−i是实数，所以b+3=0，解得b=−3

故z=−3i．

(2)由(1)可知，z=−3i，则w=z2+z−+5=(−3i)2+3i+5=4+3i，

|w|=|4+3i|=42+32=516.解：(1)因为BP=23BA，

所以CP−CB=23(CA−CB)，

所以CP=23CA+13CB，

所以x=23，y=13，

所以x−y=13；

(2)①CP在CA上的投影向量为：|17.解：(Ⅰ)在△CBE中，由正弦定理得CEsinB=BEsin∠BCE，

所以sin∠BCE=BEsinBCE=1×327=2114；

(Ⅱ)在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2−2BE⋅CBcos2π18.(1)解：在正四棱锥S−ABCD中，SA=SB=SC=SD=2,AB=2，

则正四棱锥侧面的高为ℎ=22−(22)2=142，

所以正四棱锥的表面积为S=4×12×2×142+2×2=27+2；

(2)证明：如图，连接BD交AC于点O，连接MO，BM，DM，则O为AC的中点，

当M为SA的中点时，OM//SC，

又OM⊂平面BMD，SC⊄平面BMD，

所以SC//平面BMD；

(3)解：在侧棱SC上存在点E，使得BE//平面PAC，满足SEEC=2．

理由如下：

取SD的中点Q，由SP=3PD，得PQ=PD，

过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE，

△BDQ中，有BQ//PO，又PO⊂平面PAC，BQ⊄平面PAC，

所以BQ//平面PAC，由SQQP=2，得SEEC=SQQP=2．

又QE//PC19.解：(1)当λ=12时，D为AB中点，连接OD交圆O于点P1，

当点P运动到点P1时，PD取得最小值．

在△OAB中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，

所以△ODA为等边三角形，OD=OA=2；

PDmin=OD−OP=2−1=1．

(2)以O为原点，OA，OB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，

则A(2,0),B(0,23),C(1,0)，记∠POC=α，则P(cosα,sinα)，

所以OD=OA+λAB=(2(1−λ),2