2023-2024学年山东省烟台一中高一（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省烟台一中高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z(1+i)=1−i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z=(

)A.−i B.−2i C.i2.为了估计某高中的在校学生人数，用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为45的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人.若高二年级有300人，则这所学校共约有高中学生(

)A.1350人 B.675人 C.900人 D.450人3.如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的(

)A.四分位数 B.中位数 C.众数 D.均值4.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(

)A.12 B.13 C.145.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名女生的概率是(

)A.245 B.215 C.7156.△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=c=6+2，且A=75°A.2 B.4+23 C.4−27.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α/​/平面A1BD，平面α∩A.30° B.45° C.60° D.90°8.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上(含边界)A.[1,52] B.[5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若平面α，β垂直同一个平面，则α/​/β

B.若l⊥α且m/​/α，则l⊥m

C.若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线

D.若l/​/m，且α/​/β，则l与α所成的角和m与β所成的角相等10.一个盒子里装有2个白球、2个黑球，从中有放回地取两次球，每次取出1个.设事件A={第一次取出白球}，事件B={第二次取出黑球}，事件C={两次至少取出1个白球}，事件D={两次至少取出1个黑球}，事件E={两次取出的都是黑球}，则下列关系正确的是(

)A.A与B相互独立 B.A与C互斥 C.C与D互斥 D.C与E互为对立11.如图，把等腰Rt△ABC沿着其斜边BC上的中线AD折叠，将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面.下面四个结论中正确的是(    )．A.BD⊥平面ACD

B.△ABC为等边三角形

C.平面ADC⊥平面ABC

D.点D在平面ABC内的射影为△ABC的外接圆圆心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z1=a+i，z2=3−4i，其中i为虚数单位，若z113.已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α−214.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6 cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．

(1)求这组数据的平均数M；

(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．16.(本小题15分)

如图，多面体ABCDE中，BE/​/CD，BE⊥BC，AB=AC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点．

(1)若N是线段AE的中点，求证：MN/​/平面ACD；

(2)若BE=1，BC=2，CD=3，求证：DE⊥平面AME．17.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，设向量a=(cosα,sinα)，b=(−sinβ,cosβ)，c=(−12,32)．

(1)若|a+b|=|c18.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E、F分别为BC、AP中点．

(1)求证：EF/​/平面PCD；

(2)若AD=AP=PB=22AB=1，求三棱锥19.(本小题17分)

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．

若n=19，求y与x的函数解析式；

(1)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

(2)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

参考答案1C

2C

3D

4B

5C

6A

7C

8D

9BD

10AD

11ABD

124313101450015解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知：90～100分的频率为0.1，100～110分的频率为0.25，110～120分的频率为0.45，120～130分的频率为0.15，130～140分的频率为0.05；

∴这组数据的平均数M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113(分);

(Ⅱ)∵第五组130～140分数段的人数为2人，频率为0.05，

故参加的总人数为2÷0.05=40(人)．

第一组共有40×0.01×10=4(人)，记作A1、A2、A3、A4；

第五组共有2人，记作B1、B2.

从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1,A2}、{A1,A3}、

{A1,A4}、{A2,A3}、{A2,A4}、{A16证明：(1)取AB的中点P，连接MP，NP，由N是AE的中点，得NP//BE，

又BE/​/CD，得NP//CD，NP⊄平面ACD，

所以NP/​/平面ACD，

同理可证，MP/​/平面ACD，

而MP∩NP=P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，

所以平面MNP/​/平面ACD，又MN⊂平面MNP

从而MN/​/平面ACD；

(2)连接AM，DM，EM，由AB=AC，M为BC的中点，得AM⊥BC，

又平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AM⊂平面ABC，

所以AM⊥平面BCDE，DE⊂

平面BCDE，

则AM⊥DE，

由勾股定理，在Rt△EBM中，BE=1，BM=12BC=1，得EM=2，

在Rt△DCM中，CD=3，CM=12BC=1，得DM=10，

在直角梯形BCDE中，由平面几何知识计算得DE=(CD−BE)2+BC2=4+4=217解：(1)因为a=(cosα,sinα)，b=(−sinβ,cosβ)，c=(−12,32)．

所以|a|=|b|=|c|=1，

且a⋅b=−cosαsinβ+sinαcosβ=sin(α−β)．

因为|a+b|=|c|，所以|a+b|2=c2，即a2+2a⋅18(1)证明：取PD中点G，连接GF，GC．

在△PAD中，有

G，F分别为PD、AP中点，

∴GF−//12AD

在矩形ABCD中，E为BC中点，

∴CE−//12AD，∴GF−//EC，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴GC/​/EF

∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，

∴EF/​/平面PCD．

解：(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD//BC，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊂平面PAB，

∴AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB，BC/​/平面PAD，

∵AD=AP=PB=22AB=1，∴AB=2，满足AP2+PB2=AB2，

∴AP⊥PB，∴BP⊥平面PAD，

∵BC/​/平面19解：(1)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x−19)=500x−5700．

所以y与x的函数解析式为y=3800,x≤19500x−5700,x>19(x∈N∗)…(3分)

由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19.…(6分)

(3)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费