高考数学总复习《导数-利用导数求函数的单调性》专项练习题（附答案）

第第页高考数学总复习《导数-利用导数求函数的单调性》专项练习题（附答案）常见考点考点一含参的单调性讨论典例1．已知函数a∈R．(1)讨论函数f（x）的单调性(2)讨论函数f（x）的零点个数．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】（1）求出导函数对a分类讨论：a≤0和a>0两种情况判断单调性（2）对a分类讨论：a≤0和a>0两种情况结合单调性即零点存在定理判断零点的个数。(1)当a0时恒成立故f（x）在（0+∞）上单调递减当a＞0时令解得：令解得：。所以在上单调递减在上单调递增．(2)当a≤0时f（x）在（0+∞）上单调递减,而有唯一零点当a＞0时。记则。令解得：令解得：。所以g在上单调递减在上单调递增,所以所以。所以两边取对数有：。令则有所以。因为令则有所以所以由零点存在定理可得在有且只有一个零点即在有且只有一个零点取f（）＝ea+1﹣（a+1）2。令则当t＞1时∴单调递增∴∴g（t）单调递增∴g（t）＞g（1）＝e﹣1＞0故f（）＞0。所以在有且只有一个零点即在有且只有一个零点∴f（x）在和内各有一个零点．综上当a0时f（x）有一个零点当a＞0时f（x）有两个零点．变式1-1．已知函数．(1)讨论的单调区间(2)若存在极大值M和极小值N且求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)。【解析】【分析】（1）求得对参数进行分类讨论在每种情况下考虑的正负即可判断函数单调性（2）根据（1）中所求函数的单调性求得的值以及的初步范围结合的范围即可分类讨论求得的范围。(1)因为则其定义域为又当时故当时单调递增当时单调递减当时令解得或则当时故在单调递减当时则当单调递减当时单调递增当时则当单调递减当单调递增当时则当单调递减当单调递增综上所述当时在单调递减在单调递增当时在单调递减在单调递增当时在单调递减当时在单调递减在单调递增。(2)因为存在极大值M和极小值N显然或由（1）可知因为即当则满足题意当时则不满足题意。综上所述：的取值范围时。【点睛】本题考察利用导数研究含参函数单调性的讨论以及利用导数由函数单调性求极值属综合中档题处理问题的关键是合理的对参数的范围进行讨论。变式1-2．已知函数.其中实数。(1)讨论函数的单调性(2)求证：关于x的方程有唯一实数解。【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导然后分和三种情况判断导数的正负可求出函数的单调区间（2）将问题转化为函数有唯一零点当时求导后可得函数在R上单调递增然后利用零点存在性定理可得函数有唯一零点当时令由导数可判断存在唯一实数使得再根据利用零点存在性定理可得函数有唯一零点当时可得存在唯一实数使得可判断当时函数只有1个零点再利用导数讨论时无零点即可(1)依题意当时函数单调递增。若则当时函数单调递增当时函数单调递减当时函数单调递增。若则当时函数单调递增当时函数单调递减

当时函数单调递增(2)证明：依题意即。令则。当时当时所以当时即综上故函数在R上单调递增。因为故时恰有1个零点当时令则在R上单调递增因为令得单调递增所以所以故存在唯一实数使得即故在上单调递增在上单调递减在上单调递增因为故当时函数恰有1个零点当时在R上单调递增因为所以存在唯一实数使得即所以在上单调递增在上单调递减在上单调递增。因为所以当时函数只有1个零点当时由得故。令因为故在上单调递增因为故故当时函数无零点。故当时函数恰有1个零点。综上所述关于x的方程有唯一实数解【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用考查利用导数求函数的单调区间利用导数解决函数零点问题解题的关键是将问题转化为函数有唯一零点然后分和三种情况利用导数结零点存在性定理讨论函数的零点考查数学分类思想和转化思想属于难题变式1-3．函数.(1)讨论函数的单调性(2)若的图象恒在函数的图象的下方求的取值范围。【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求出导函数对a分类讨论：①当时②当-1<a<0时③当a=-1时④当a<-1时.四种情况分别求出单调区间（2）令把题意转化为.利用导数求出即可求出的范围。(1)函数定义域为(0,+∞)导函数。①当时,ax+1>0.故当x∈(0,1)时,>0,f(x)单调递增当x∈(1,+∞)时,<0,f(x)单调递减。②当-1<a<0时,令=0得或1,且>1>0。从而当x∈(0,1)时,>0,f(x)单调递增当x∈时,<0,f(x)单调递减当x∈,>0,f(x)单调递增。③当a=-1时,故f(x)在(0,+∞)单调递增。④当a<-1时,令=0得或1,且1>>0。从而当x∈(0,)时,>0,f(x)单调递增当x∈时,<0,f(x)单调递减当x∈,>0,f(x)单调递增。综上所述：①当时,f(x)在(0,1)单调递增(1,+∞)单调递减②当-1<a<0时,f(x)在(0,1)单调递增在上单调递减在上单调递增③当a=-1时,f(x)在(0,+∞)单调递增。④当a<-1时,f(x)在(0,)上单调递增在上单调递减在单调递增。(2)要使的图象恒在函数的图象的下方只需在(0,+∞)上恒成立。令只需。。令=0得。从而当x∈(0,1)时,>0,g(x)单调递增当x∈时,<0,g(x)单调递减。所以解得：。故的取值范围。【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程（2）利用导数研究原函数的单调性求极值（最值）（3）利用导数求参数的取值范围（4）利用导数证明不等式。考点二根据单调区间求参数典例2．函数。(1)若在上单调递增求a的取值范围(2)若时证明：。【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由在上单调递增则在上恒成立分离参数可得设求出导数得出其单调性从而得出其最大值即可得出答案。（2）由题意即证即证成立设求出导数得出单调性从而得出最大值即可证明。(1)由在上单调递增则在上恒成立又所以在上恒成立令令则所以函数在上单调递增在上单调递减。所以所以的取值范围为：(2)当时要证只需证明即证令令恒成立则在R上为减函数且则所以当时即故在上单调递增当时即故在上单调递减所以即恒成立即成立【点睛】关键点睛：本题考查已知函数在区间上的单调性求参数的范围和利用导数证明不等式解答本题的关键是由已知的单调性将问题转化为在已知区间上导函数在上恒成立问题求解证明不等式是先将所要证明的不等式转化为即证构造函数求出其最大值即可属于难题。变式2-1．已知函数为自然对数的底数）．(1)当时求函数的单调递增区间(2)若函数在上单调递增求的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出函数的导函数令可得的单调递增区间（2）若在内单调递增即当时即对恒成立分离参数求最值即可求的取值范围．(1)解：当时令得的单调递增区间是(2)解：若在内单调递增即当时即对恒成立即对恒成立令则在上单调递增当时当且仅当时的取值范围是．变式2-2．已知函数．(1)若在上单调递减求的取值范围(2)若在处的切线斜率是证明有两个极值点且．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知在上恒成立分离参数设根据导数求得的最大值进而可得的取值范围（2）二次求导可得在和有个极值点再根据导数值的正负情况可得再利用不等性质即可得证。(1)在递减在上恒成立在上恒成立令时递增时递减(2)由题意得令解得：令解得：故在递增在递减又故分别在和有零点（不妨设时递减时递增时递减故在和有个极值点而故原命题成立．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性极(最)值问题处理．变式2-3．已知函数．(1)若在上是减函数求实数的取值范围．(2)若的最大值为6求实数的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）在上是减函数可以转化为导函数在上恒成立,进而求得实数的取值范围（2）根据函数单调性及边界值可以求得函数最大值进而求得实数的值。(1)函数的定义域为在上是减函数在内恒成立在内恒成立设则在内单调递增由可得．(2)函数的定义域为且又知的最大值为6故即．下面证明：当时即也即设在内单调递增在内单调递减在内恒成立符合题意．巩固练习练习一含参的单调性讨论1．已知函数．(1)讨论的单调性．(2)当时证明：对恒成立．【答案】(1)单调区间单调性见解析(2)证明见解析。【解析】【分析】（1）求出函数的导数再分类讨论解不等式或即可作答。（2）将不等式等价转化构造函数再探讨其最小值的符号推理作答。(1)因为当时由得由得所以在上单调递增在上单调递减当时由得由得或所以在和上单调递减在上单调递增当时当且仅当时取“=”则在R上单调递减当时由得由得或所以在和上单调递减在上单调递增。(2)当时令则显然在上单调递增且即存在使得当时当时于是得在上单调递减在上单调递增即而即因此而即所以对恒成立。【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题将所证不等式等价转化构造新函数再借助导数探讨函数的单调性极(最)值问题处理。2．已知函数。(1)求函数的单调区间(2)设若且使得求的最大值。【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求出导函数然后对分三种情况讨论即可求解（2）由题意当满足时取得最大值令求出的值即可得答案。(1)解：因为所以当时令可得或令可得所以在和上单调递增在上单调递减当时所以在R上单调递增当时令可得或令可得所以在和上单调递增在上单调递减(2)解：因为所以由（1）知在和上单调递增在上单调递减因为且使得所以当满足时取得最大值令所以当时同理可得所以当时所以此时即的最大值为。3．已知函数(1)讨论函数的单调性(2)若对于定义域内任意恒成立求实数的取值范围。【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求出函数的定义域分两种情况讨论分析导数的符号变化即可得出函数的增区间和减区间（2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立构造函数其中则利用导数分析函数的单调性求出函数的最小值即可得出实数的取值范围。(1)解：函数的定义域为。当时对任意的此时函数的单调递增区间为无递减区间当时由可得由可得。此时函数的增区间为减区间为。综上当时函数的单调递增区间为无递减区间当时函数的增区间为减区间为。(2)解：对任意的即可得对任意的恒成立构造函数其中则构造函数其中则所以函数在上单调递增因为所以存在使得当时函数单调递减当时函数单调递增所以因为则构造函数其中则所以函数在上为增函数因为则则由可得所以所以可得所以。【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立可根据以下原则进行求解：（1）（2）（3）（4）。4．已知函数。(1)若讨论函数的单调性(2)当时求在区间上的最小值和最大值。【答案】(1)在和上单调递增在上单调递减。(2)答案见解析。【解析】【分析】（1）求解导函数并求出的两根得和的解集从而得函数单调性（2）由（1）得函数的单调性从而得最小值计算再分类讨论与两种情况下的最大值。(1)函数定义域为时或因为所以时或时所以函数在和上单调递增在上单调递减。(2)因为由（1）知在上单调递减在上单调递增所以的最小值为又因为当时此时最小值为最大值为当时此时最小值为最大值为。【点睛】导数是研究函数的单调性极值(最值)最有效的工具而函数是高中数学中重要的知识点对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义往往与解析几何微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间判断单调性已知单调性求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．练习二根据单调区间求参数5．已知函数其中。(1)若函数在上单调递增求的取值范围(2)若函数存在两个极值点当时求的取值范围。【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由题知在上恒成立进而在上恒成立再求函数的最小值即可得答案。（2）先求得利用换元法表示出通过构造函数法利用导数结合来求得的取值范围。(1)解：因为所以因为函数在上单调递增所以在上恒成立所以在上恒成立故令则在上恒成立所以在上单调递增故所以即的取值范围是。(2)解：对函数设上一点为过点的切线方程为将代入上式得所以过的的切线方程为。所以要使与有两个交点则此时有两个极值点且。令则所以所以即所以令令所以在上递增。因为所以在上恒成立。所以在上恒成立。所以在上递增。所以当时所以的取值范围是。【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据题意求函数过点的切线斜率进而得再结合极值点的定义得进而换元求出再构造函数研究函数的单调性得并结合得答案。6．已知函数是其导函数其中．(1)若在上单调递减求a的取值范围(2)若不等式对恒成立求a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出导函数根据在上单调递减可得在上恒成立分类参数可得在上恒成立令利用导数求出函数的最大值即可得解（2）将已知不等式转化为对恒成立令在对分类讨论求出的最大值小于等于0即可求出答案。(1)解：因为在上单调递减所以在上恒成立即在上恒成立令则当时当时所以函数在上递增在上递减所以所以a的取值范围为(2)解：由得即对恒成立令当时不满足当时时时所以函数在上递减在上递增所以不符合题意当时时时所以函数在上递增在上递减所以解得综上所述a的取值范围。【