高考数学总复习《导数-导数的几何意义的应用》专项练习题（附答案）

第第页高考数学总复习《导数-导数的几何意义的应用》专项练习题（附答案）常见考点考点一求曲线的切线方程典例1．已知函数。(1)若，求曲线在处的切线方程(2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围。【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）直接求导后得到直接写出切线即可（2）直接求导确定单调性端点作差确定最大值得到不等式结合单调性求解即可。(1)若因为所以曲线在处的切线方程为。(2)由题意知则因为所以当时当时所以在上单调递减在上单调递增。设则当时所以当时。则在上的最小值为最大值为所以设则当时单调递增由可得即的取值范围是。变式1-1．已知函数(1)过原点作的切线求的方程(2)令求在恒成立求的取值范围【答案】(1)(2)。【解析】【分析】（1）设切线的方程为设切点为,求出即得解（2）利用导数求出函数在上的单调区间即得解。(1)解：设切线的方程为设切点为,因为则所以切线方程为即由题得则∴切线的方程为．(2)解：当时时所以函数在单调递增在单调递减∵因为所以最小值．。变式1-2．已知函数其中．(1)当时求在处的切线方程(2)讨论的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析。【解析】【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标即得解（2）求导再对分四种情况讨论得解。(1)解：由题得所以切线的斜率所以切线方程为即。所以切线方程为。(2)解：由题得当时令令所以此时函数的增区间为减区间为。当时所以函数在上单调递增当时令或令所以此时函数的增区间为减区间为。当时令或令所以此时函数的增区间为减区间为。综合得当时函数的增区间为减区间为当时函数的增区间为减区间为当时函数在上单调递增当时函数的增区间为减区间为。变式1-3．已知函数．(1)若求曲线在处的切线方程(2)若关于的不等式在上能成立求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依据导数几何意义即可求得曲线在处的切线方程（2）构造新函数由新函数最小值小于0即可求得实数的取值范围．(1)依题意故．则而故所求切线方程为即．(2)依题意令则函数在上的最小值小于0．①当即时在上单调递减则函数在上的最小值故舍去．②当即时在上单调递增所以在上的最小值解得又故．③当时即时在上单调递减在上单调递增所以在上的最小值为．因为所以所以所以不合题意舍去．综上所述实数的取值范围为．考点二利用切线方程求参数典例2．设函数．(1)若曲线在点处的切线方程为求(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）求出建立方程关系即可求出结论（2）对分类讨论求出的单调区间。(1)由于切点在切线上所以函数通过点又根据导数几何意义(2)由可知当时则当时则当时的单调递减区间为单调递增区间为当时单调递增区间为单调递减区间为。变式2-1．已知函数。(1)若曲线在点处的切线垂直于直线求的值(2)当时求函数在区间上的最小值。【答案】(1)(2)当时最小值为当时最小值为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数再根据得到方程解得即可（2）依题意可得再对分三种情况讨论分别求出函数的单调性即可求出函数的最小值(1)解：因为所以∵曲线在点处的切线垂直于直线又直线的斜率为1∴∴(2)解：∵①当时在区间上此时函数在区间上单调递减则函数在区间上的最小值为.②当即时在区间上此时函数在区间上单调递减在区间上此时函数在区间上单调递增则函数在区间上的最小值为.③当即时在区间上此时函数在区间上单调递减则函数在区间上的最小值.综上所述当时函数在区间上的最小值为当时函数在区间上的最小值为。变式2-2．已知函数若函数处的切线斜率为2．(1)求实数的值(2)求函数在区间上的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求导然后根据在切点处的导数等于切线斜率可得（2）讨论函数在区间上的单调性然后可得。(1)因为函数在处的切线斜率为2所以．(2)因为所以所以在上单调递减所以在上的最小值为．变式2-3．已知函数在处的切线与x轴平行。(1)求在区间上的最值(2)若恰有两个零点且在上恒成立求实数c的取值范围。【答案】(1)最小值为最大值为(2)。【解析】【分析】（1）由题可得进而可得即求（2）由题可得函数极大值大于零结合条件可知函数极小值为零进而可得即得。(1)依题意由已知即解得。所以∴当x变化时变化如下：x24+0-0+递增递减递增由上表可知的最小值为最大值为。(2)由（1）知的极大值点为因为所以的极大值故若恰有两个零点则的极小值。由（1）在上的最小值为0。即有。所以。巩固练习练习一求曲线的切线方程1．已知函数．(1)当时曲线在点处的切线方程(2)若为整数当时求的最小值．【答案】(1)(2)2【解析】【分析】（1）求出函数的导函数再根据导数的几何意义即可得出答案（2）由可得求导再令用导数法得到时取得极小值分和时即论证再验证是否成立即可。(1)解：当时则则所以曲线在点处的切线方程为(2)因为当时所以即所以则令则因为所以在递增又当时递减当时递增所以当时取得极小值当时即所以在上递增则又令在上递增所以所以满足题意当时因为a为整数则此时则因为函数在都是增函数所以函数在是增函数又所以存在使得则当时故函数递减当时故函数递增又所以存在使得则当时故函数递减当时故函数递增所以而即所以所以令则令则所以函数在上递减所以所以所以函数在上递减所以,所以即满足题意当时则因为函数在都是增函数所以函数在是增函数且所以在上递增又所以存在使得当时故函数递减不满足题意综上：整数的最小值为2。【点睛】思路点睛：本题第二问基本思路是由确定再由当时取得极小值确定分类标准而得解特别注意是验证是否成立是本题的关键。2．已知函数。(1)当时求曲线在点处的切线方程(2)讨论的单调性与极值点。【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由已知把带入函数先计算出然后再求导计算最后利用点斜式写出切线方程即可（2）对函数进行求导然后进行因式分解通过对进行分类讨论比较两根大小来判断的单调性与极值点.。(1)当时则且所以所求切线的斜率为故所求的切线方程为即。(2)的定义域为。①当时当时当时。所以在上单调递减在上单调递增.此时的极小值点为1。②当时令得或（i）当时当时当时。所以在和上单调递增在上单调递减。此时的极小值点为1极大值点为。（ii）当时对恒成立所以在上单调递增无极值点。（ⅲ）当时当时当时。所以在和上单调递增在上单调递减。此时的极小值点为极大值点为1。综上所述：当时在上单调递减在上单调递增的极小值点为1无极大值当时在和上单调递增在上单调递减的极小值点为1极大值点为当时在上单调递增无极值点当时在和上单调递增在上单调递减的极小值点为极大值点为1。3．已知函数。(1)当时求曲线在点处的切线方程(2)试讨论函数的单调性。【答案】(1)(2)详见解析。【解析】【分析】（1）由求导得到写出切线方程（2）求导再分讨论求解。(1)解：因为所以则所以所以曲线在点处的切线方程是即(2)因为所以当时成立则在上递减当时令得当时当时所以在上递减在上递增综上：当时在上递减当时在上递减在上递增4．已知函数．(1)若求曲线在点处的切线方程(2)若方程有两个根求a的取值范围．【答案】(1)(2)。【解析】【分析】（1）当时求出函数的导数再利用导数的几何意义直接求出切线方程作答。（2）求出函数的导数构造函数再探讨其性质利用直线与曲线有两个公共点求解作答。(1)当时函数定义域为求导得：则而则有即所以所求切线方程为：．(2)函数定义域为求导得：而方程则有两个根即直线与曲线有两个公共点令则当时当时即函数在上单调递增在上单调递减因为且当时在同一坐标系内作出直线及函数的图象如图观察图象得直线与曲线有两个公共点时所以a的取值范围是．练习二利用切线方程求参数5．已知函数其中ab。(1)若曲线在点P（2f（2））处的切线方程为求ab的值(2)若函数f(x)在（12）上为单调函数求实数a的取值范围。【答案】(1)8b=9(2)或。【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可（2）根据函数导数与单调性的关系分类讨论进行求解即可。(1)由导数的几何意义得于是由切点P（2f（2））在直线上可得解得b=9。(2)函数f(x)在（12）上为单调函数①若f(x)在（12）上为单调递增函数则当x（12）恒成立即当x（12）恒成立②若f(x)在（12）上为单调递减函数则当x（12）恒成立即当x（12）恒成立综上所述：或。6．已知函数曲线在点处的切线方程为。(1)求的解析式(2)设试讨论函数的零点的个数。【答案】(1)(2)详见解析。【解析】【分析】（1）由题可得即求（2）由题可将函数的零点的个数转化为直线与函数的图象交点个数利用导数研究函数的性质利用数形结合即得。(1)∵∴又曲线在点处的切线方程为∴解得∴(2)∵∴由得令则令则∴函数在上单调递减又∴当时函数单调递增当时函数单调递减∴当时函数有最大值画出函数的大致图象由图可知当即时直线与函数的图象没有交点即函数没有零点当即时直线与函数的图象有一个交点即函数有一个零点当即时直线与函数的图象有两个交点即函数有两个零点。综上当时函数的零点个数为0当时函数的零点个数为1当时函数的零点个数为2。7．设函数曲线在点处切线的斜率为1为的导函数。(1)求a(2)证明：在上存在唯一的极大值点。【答案】(1)1(2)证明见解析。【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义即可求a(2)令求令h(x)＝求根据的正负判断的单调性用的正负判断单调性和极值即可。(1)由题可知且得(2)令则令h(x)＝则当时cosx＞sinx单调递增当时cosx＜sinx单调递减又∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的使得则当时单调递增当时单调递减∴在上存在唯一的极大值点。【点睛】本题关键是多次求导用导数的正负依次求原函数的单调性和正负逐层倒推即可得结论。8．已知函数的导函数为的图象在点处的切线方程为且又函数与函数的图象在原点处有相同的切线．(1)求函数的解析式及k的值．(2)若对于任意恒成立求m的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线方程建立方程关系即可求出的取值（2）依题意对于任意恒成立进行参变分离利用导数求函数最值即可求实数的取值范围．(1)解：即①的图象在点处的切线方程为当时