胡寿松《自动控制原理》考研考点讲义

目录前言 (1)第一章自动控制系统的基本概念 (3)第二章控制系统的数学模型 (5)第三章线性系统的时域分析法 (10)第四章线性系统的根轨迹法 (18)第五章线性系统的频域分析法 (22)第六章线性系统的校正 (29)第七章离散系统的分析和校正 (35)第八章非线性控制系统分析 (41)第九章线性系统的状态空间分析和综合 (46)前言作为高等院校自动化类专业教学中的一门重要的专业基础课，自动控制原理是该类专业硕士入学考试的科目之一，对于考研总分的影响非常之大。纵观近些年来的考研试题，越来越侧重于考查考生对知识的综合运用能力。这就要求考生不仅要掌握好各个知识点，而且需要考生能把各知识点结合起来，具备较强的融会贯通能力。为使考生能够较好的掌握《自动控制原理》的解题思路和解题要领，顺利通过研究生入学考试，并取得高分，讲者根据对这门课程多年的教学经验，围绕国家教委关于自动控制原理教学大纲的要求，并结合近几年国内众多所重点院校的考研要求及考研真题展开讲解，以满足考生系统复习的需要，主要目的在于使考生能够快速突破自动控制原理的解题方法和解题技本教程讲解的主要内容是针对经典控制理论，是以胡寿松编写的《自动控制原理》(第五版)教材为依托的，这本教材是现在很多所院校的考研指定教材，当然现在还有些院校指定的教材是胡寿松编写的第四版，但是作为经典控制理论而言，这两本教材在考点上并没有区别，主要的差异在于每一章中有关MATLAB的应用部分，因此不需要拘泥于那个版本。当然还有些院校采用的教材不是胡寿松编写的，但是经典控制理论这部分的内容，不管采用的是那本教材，主要的知识点及考点基本都没什么变化，所以，本教程可以这么理解，是针对经典控制理论而不是针对那本具体的教材的。—2—本课程的知识脉络：分析的一般过程：解析法分析实验法实际系统—→数学模型—→系统的性能指标实验法系统综合的一般过程：—3—反馈控制系统的一般组成如下图所示。比较元件：产生被控量与控制连个偏差信号；变换放大元件：由于偏差信号一般比较微弱，经过变换放大后产生足够大的幅值和功率；执行元件：变换放大后的偏差信号经执行元件驱动被控对象；—4—校正元件：为使系统能正常工作，在系统中设计能提高控制性能的元件。统的基本要求稳定性是保证系统正常工作的先决条件；平稳性是对动态响应过程的评价，主要指标包括超调量以及振荡次数等。快速性也是对系统动态响应过程的评价，主要指标包括系统的过渡时间、上升时间、峰值时间等。准确性是指在理想情况下，当过渡过程结束后，被控量达到的稳态值(即平衡状态)应与期望值一致。主要指标是稳态误差。3．自动控制系统的基本控制方式自动控制系统的基本控制方式主要有三种：开环控制、闭环控制以及复合控制方式。自动控制系统有多种分类方法。例如：按控制方式、按元件类型、按系统功用、按系统性能、按参考量变化规律等。本章所涉及的自动控制方面的基本概念是以后课程学习的基础，有关内容在诸如问答、填空和选择类型的考题中常会涉及。在掌握基本概念的基础上，还应熟悉线性定常系统微分方程的特点，并通过练习掌握由系统工作原理图正确绘制框图的方法。—5— (1)传递函数的定义对于线性定常系统，在零初始条件下，输出地拉氏变换和输入的拉氏变换的比值。 (2)传递函数与微分方程的关系设n阶线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： dndn－1dt dmdmd—6—相应的传递函数为：传递函数与微分方程之间存在一一对应的关系，请观察并记住以下对应关系：传递函数分子与输入信号、传递函数分母与输出信号相对应；传递函数中s的幂次与微分方程中导数的阶次相对应。 (3)传递函数的性质传递函数是系统输入输出关系的表达式，它只取决于系统的结构参数，而与系统的输入信号的形式无关，当然也与初始条件无关；传递函数与微分方程有相通性，是一一对应的，非常容易转换；传递函数的拉氏变换是系统的单位脉冲响应；传递函数只是对系统的数学描述，并不反映系统的物理构成。2．用解析法建立系统数学模型的一般方法解析法建立数学模型的一般过程如图2．1所示、有源网络、简单的电气控制系统等。由于微分方程与传递函数之间存在一一对应的关系，因此，根据系统的具体情况，可以先写出微分方程或直接写出传递函数，电网络通常可直接写出传递函数。3．结构图与信号流图的绘制控制系统结构图与信号流图都是描述系统各元部件之间信号传递关系的图形。 (1)结构图的绘制化整为零：在考虑负载效应的情况下，分别列些系统中各元部件的时域方程或复频域方程；代数方程的时域形式与复频域形式相同，微分方程则必须写成复频域形式。积零为整：根据信号流动的单向性，用信号线依次将各方框连接。 (2)信号流图的绘制信号流图可依据微分方程绘制，也可由系统结构图按照对应关系得到。结构图的基本连接方式有串联、并联和反馈三种。结构图变换是一种手段，即通过结构图变换使系统中只出现3种基本形式，再进行处理。—7—在结构图变换和化简过程中，我们只能减少(或增加)一些中间变量，但各变量之间的数学关系不能改变。最常见的变换方式有：应用Mason公式可以直接求出系统的传递函数。式中：n—从输入节点到输出节点的前向通路的总条数。Pk—从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益。Δ—为特征式，由系统信号流图中各回路增益确定：La∑LbLc－∑LdLeLf＋…式中：∑La—所有单独回路增益之和；∑LbLc—所有存在的两个互不接触的单独回路增益乘积之和；∑LdLeLf—所有存在的三个互不接触的单独回路增益乘积之和。Δk—为第k条前向通路特征式的余因子式，即在信号流图中，除去与第k条前向通路接触的回路后的Δ值的剩余部分。本章涉及的内容是系统分析和设计的基础；主要考点有建立控制系统的微分方程、传递函数的概念、性质及表示形式，结构图等效变换及求复杂系统的传递函数是本章考试的重点内容。 (ⅱ)求系统的传递函数； (ⅲ)说明此电网络在校正中的作用。题型分析：本题旨在考查简历有源网络数学模型的基本方法。求解此类问题，一般有两种方法：第一种是先写出时域微分方程组，再消去中间变量，整理出微分方程；第二种是由网络结构直接用复阻抗表示图中的电阻、电容、电感等，用运算法写出复域方程组，再直接消元或者结合方框图求出传递函数。一般来说，第二种方法比较简单。Tdt＝x3(t)题型分析：本题重点考查由微分方程绘制系统的结构图，进而求传递函数的一般方法。题型分析：本题是从结构图求传递函数的一般题型，这种题型一般有三种方法可以解决：—9— (ⅱ)求系统在R(s)和N(s)共同作用下的C(s)的表达式。题型分析：这是一道多个信号共同作用于线性系统的题型，要充分利用到线性系统的叠加特性，也就是说多个信号共同作用下系统的输出，是每一个信号单独作用所产生输出的叠加。思路在所有的自控原理教材中一般都会给出标准一阶和二阶系统的时域分析结果，除此之外的一般系统我们需要按照一般的思路来分析。时域分析的一般思路是先确定系统的数学模型，然后求出该系统在典型输入信号作用下的输出响应，然后分析出系统的性能指标。输出响应的求取实质上是求解微分方程，常用方法是拉氏变换法。在计算性能指标时要搞清指标的定义、在阶跃响应曲线上的表示，并记住一些常用的公式(诸如一阶和二阶的)。2．标准一阶系统的时域分析 (1)标准一阶系统的数学模型标准一阶系统的结构图如下：·标准一阶系统只有一个参数：时间常数T。 (2)标准一阶系统的时域分析t常用公式：3．标准二阶系统的时域分析 (1)标准二阶系统的数学模型标准二阶系统的结构图如下：s＝＝标准一阶系统有两个参数：阻尼比ζ和无阻尼自然振荡角频率ωn。 (2)标准二阶系统的时域分析即闭环特征根与ξ和ωn有关。根据ξ值的不同，可分四种情况讨论其单位阶跃响应。 (3)标准二阶系统的性能指标调节时间ts调节时间ts：ts≈(ε取2％)ξωnts≈(c取5％ξωn 调。。 (4)改善二阶系统性能的措施改善二阶系统性能常用的措施有比例微分控制和测速反馈控制。采用比例微分控制时，系统同时受到误差比例信号和误差微分信号的共同作用，可在改善系统动态性能的基础上，保持常值稳态误差及系统的自然频率不变。从传递函数的角度看，会增加一个附加零点。采用测速反馈时，将输出的速度信号反馈到输入端，并与误差信号相比较，可以增大系统的阻尼从应试的角度来看，最常见的高阶系统的分析题型是利用主导极点和偶极子的概念对系统做降阶处理。从近几年的考研试题来看，此类考题呈上升趋势。闭环主导极点—在系统的时间响应过程中起主要作用的闭环极点。闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或者是它们的组合。一般认为，如果某个(或某对)极点到虚轴的距离仅为其它闭环极点到虚轴距离的或者更小，而且附近没有闭环零点，那么这个(或这对)极点就可以被看做闭环主导极点。偶极子—如果某对零、极点之间的距离比其自身的模值小一个数量级以上，则该极点和零点就构成了一对偶极子。在高阶系统的近似计算中，偶极子若不十分靠近坐标原点，则偶极子的作用可以被忽略。闭环的极点和零点对系统的响应均有影响，但它们的影响效果是不同的。对系统响应影响最大的是主导极点。如果高阶系统存在实数主导极点，则系统可近似为一阶系统；如果高阶系统存在共轭复数主导极点，则系统可近似为欠阻尼二阶系统。稳定性分析稳定是系统正常工作的首要条件，系统的动态性能分析及稳态性能分析都是以系统稳为前提的。ttw (1)系统稳定的充要条件系统的特征根全部分布在s平面的左半平面，即全部特征根都具有负实部。 (2)系统稳定的必要条件特征方程的所有系数全都大于零。 (3)代数稳定判据Routh判据首先根据特征方程的系数构造Routh阵列，如果Routh阵列的首列元素全都大于零，则系统稳定，否则(若Routh阵列的首列元素出现零或者负数)系统不稳定。而且Routh阵列的首列元素符号改变的次数等于s右半平面特征根的个数。在计算Routh阵列的的时候，有两种特殊情况：一是Routh阵列的首列中出现零元素且该元素所对应的行不全为零。此时，可用一小正数c代替该零元素，继续算完Routh阵列后再取c→0的极限。二是Routh阵列中出现了全零行。这种情况说明系统中出现了关于s平面的坐标原点对称的特征根 (比如共轭纯虚根等)。此时，可用全零行的上一行元素作为系数构造辅助方程，对辅助方程关于s求导，用求导后方程所对应的系数代替全零行的各个元素，继续算完Routh阵列，而那些对称根可由辅助方程解出。Hurwitz判据线性系统稳定的充要条件是由特征方程的各项系数所构成的Hurwitz阵列的主子式及顺序主子式全部为正。 (4)两个重要结论7．线性系统的稳态误差分析控制系统的典型结构如图所示。系统误差的定义有两种方式：对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。考生在做题时，要注意审题，正确判断误差定义方式，尤其对于带有前馈校正的复合控制系统更应该注意。当输入信号和扰动信号同时作用于线性系统时，系统的总误差是两个信号分别作用下的误差之和。 (1)误差传递函数误差传递函数与误差的定义以及系统结构图有关，具体问题应该具体分析。 (2)静态误差系数 其中，essr和essn分别表示输入作用和扰动作用下的稳态误差的终值。在终值定理应用条件满足的情况下，可以用终值定理分别计算essr和essn。这是计算稳态误差最基本的方法。tws→0s→0t→ws→0s→0 (4)稳态误差ess的快速计算上图所示的系统，误差从输入端定义的话，开环传递函数整理为：K为系统的开环增益，ν为系统所对应的“类型”，即开环传递函数中所包含的积分环节的数目。系统的稳定性分析，稳态误差计算和动态性能指标计算时系统分析的基本任务，也是必考内容。通常的考点有：Routh判据判定系统的稳定性或确定使系统稳定的参数范围；利用静态误差系数法或一般方法求系统的稳态误差；计算一、二阶系统(特别是典型欠阻尼二阶系统)的动态性能指标；给定系统的性能指标或典型响应特性，反过来确定系统参数。 (ⅰ)将系统等效为一个单位反馈系统，求对应开环传递函数； (ⅱ)若定义系统误差为e＝r－c，问当K取何值时系统对单位阶跃输入无静差？计算这时系统的题型分析：此题考查了四个知识点，一是典型二阶系统的标准结构，二是误差的定义，三是什么样的系统才能做到一阶无静差，四是二阶系统的时域性指标的计算。典型例题3．2：单位反馈控制系统的单位阶跃响应如下图所示。试用典型二阶系统传递函数为系统建模，并计算调节时间。题型分析：在控制系统的时域分析中，这种题型经常会见到，给出的往往是一个欠二阶系统的单位阶跃响应曲线(单调衰减振荡曲线)，如何从曲线中，读出一些关键的时域性能指标从而计算出二阶系统的关键参数ζ和ωn，并计算其余的性能指标。 (ⅱ)求系统闭环传递函数； 题型分析：在这个系统中出现了测速微分负反馈的形式，测速微分的出现改善了系统的性能；同时考查了系统参数之间的相互转换，这种题型在考研试卷中也经常会出现。 (ⅰ)对系统稳定性的影响； (ⅱ)求系统阶跃响应动态性能的影响； (ⅲ)当系统输入为斜坡信号时，对系统ess的影响。题型分析：这道例题没有具体的数据，只是定性的分析参数的改变会对系统各方面性能产生的影响。在很多学校的考试题中，慢慢的像此类定性分析的题型会越来越多。 (ⅱ)当系统的输入信号和扰动信号为单位冲激信号，试求系统输入稳态误差essr和扰动稳态误题型分析：这是一个既有扰动输入又有给定输入的多输入单输出线性系统，在分析系统的稳态误差时，要注意究竟需要求的是哪个信号作用后的结果，在分析此类问题时，可以先用Mason公式求出单个信号作用下的误差传递函数，然后用拉氏终值定理求稳态误差。根轨迹定义：当开环系统中某个参数(如开环增益K或根轨迹增益K*)由零变化到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。中符号不完全取决于反馈的极性，应视具体问题做具体分析(例如负反馈系统未必是180°根轨迹)。不失一般性，系统的特征方程总可以整理为：m1±j＝1＝0nm1±j＝1＝0n其中，A为参变量，A从0→w变化。这里A可以是根轨迹增益K*，也可以是开环传递函数中的其他参变量(诸如参数根轨迹)。3．绘制根轨迹的两个基本条件绘制根轨迹的两个基本条件是幅值条件和相角条件。其中相角条件是绘制根轨迹的充要条件，幅值条件通常用来求给定点所对应的参数(K*或其它参数)的值。mm相角条件：∑∠(相角条件：∑∠(s－zj)－∑∠(s－pi)＝(2k＋1)π—180°根轨迹ji＝1∑∠(s∑∠(s－zj)－∑∠(s－pi)＝(2k＋1)π—0°根轨迹从概念上讲，可以用特征方程、相角条件以及绘制规则绘制根轨迹图。在分析某些概念问题是可以采用两种方法，但是对于三阶以上的系统，一般要应用规则来绘图。180°根轨迹规则和从概念上讲，可以用特征方程、相角条件以及绘制规则绘制根轨迹图。在分析某些概念问题是可以采用两种方法，但是对于三阶以上的系统，一般要应用规则来绘图。180°根轨迹规则和0°根轨迹规则大多相同，但是其中有三个不同点要特别注意：实轴上存在根轨迹的区域不同；渐近线的倾角公式不同；出射角、入射角的计算公式不同。为了正确绘制根轨迹，需要记住绘制规则，而且正确使用规则。同时，为了能够快速准确的绘制出根轨迹，还应该记住某些典型的根轨迹图。例如，二阶系统当具有一个或者两个开环零点时，若复数部分存在根轨迹，则负数部分的根轨迹是圆或一段圆弧。绘制根轨迹的流程如下：0°根轨迹与180°根轨迹的绘制流程相似，只要对上述规则修改即可。—20—借助于根轨迹图，可以确定或近似估算系统在某一参数下的闭环极点位置，从而得到相应的传递函数，进而确定系统的各项性能指标。 (1)定性分析稳定性：当所有根轨迹分支(即闭环极点)都位于s左半平面时，闭环系统稳定。快速性：闭环极点距离虚轴越远，快速性越好。在设计系统时，如要使系统快速性越好，应尽量让闭环极点之间距离加大，零点靠近极点，尤其是靠近离虚轴较近的极点。平稳性：当闭环极点都是负实数时，除个别情况外，系统一般无超调。当主导极点是一对共轭负数时，该极点与负实轴之间的夹角β越小，则平稳性越好(cosβ＝ζ)。为了兼顾快速性和平稳性，常取 (2)定量计算利用根轨迹的定量计算通常是高阶系统的指标估算，是与主导极点的概念密不可分的。最常见环极点。解决的办法都是根据ζ所对应的β角，过s平面坐标原点作直线，再求该直线与根轨迹的交点，该交点坐标即为所求的闭环极点。本章涉及根轨迹的绘制，包括180°根轨迹，0°根轨迹及参数根轨迹(要求会计算实轴上根轨迹区稳定的K*(或K)；确定某一K*值对应的闭环极点及闭环传递函数。 题型分析：180°根轨迹的绘制属于基本考查题型，考核要点在于主导极点的确定、高阶系统的降阶处理及性能指标的计算。系统的开环传递函数为 —21— (ⅱ)求使系统取得最大振荡响应的阻尼比ζ和K值； (ⅲ)求K＝2时系统的单位阶跃响应。题型分析：本题要求绘制的仍然是180°根轨迹，但是此系统在复平面内的根轨迹是一个圆，，利用幅值条件或者相角条件可以证明，同时借助于阻尼角β和二阶系统阻尼比ζ的关系，可以分析系统的时域响应。在这里，建议考生把常见的有可能是单位圆的系统开环零极点分布熟记，见到类似的零极点分布，就要在头脑中反映出来有可能复平面内的根轨迹就是圆或者圆的一部分。(补充画图)系统的开环传递函数为 (ⅱ)已知系统的一个闭环极点为－0．9，试求其它的闭环极点； (ⅲ)该系统是否可以用低阶系统来近似？若能，则求出它的闭环传递函数；若否，则给出理由。题型分析：此题重在分析第三问，在这里将会用到偶极子的概念，即系统中若存在一对闭环偶极子，那么这对偶极子在系统中的影响可以近似认为相互抵消，因此可以对系统做降阶处理。 (ⅰ)绘制K从－w→＋w变化时系统的闭环根轨迹； (ⅱ)确定系统稳定时的最小阻尼比。题型分析：此题重在分析零度根轨迹的绘制，需要重视零度根轨迹和180°根轨迹曲线绘制规则的变化。 (ⅰ)绘制K从－w→＋w变化时系统的闭环根轨迹； (ⅲ)求系统有一个闭环极点为－2时的闭环传递函数。题型分析：此题考查的是参数根轨迹的绘制，在参数根轨迹绘制过程中最重要的是确定等效开环传递函数，其后绘制的规则和180°根轨迹的规则完全相同。此外此题还考查了二阶系统性能指标和系统状态之间的关系。—22—系统的频率特性G(jω)是一个复数，记为：G(jω)＝A(ω)ejφ(ω)幅频特性曲线和开环相频特性曲线组成。从应试角度看，Bode图中的幅频特性曲线应该能准确绘制，而其余图形只要大致绘制出即可。 (1)L(ω)的绘制方法把所有的转折频率标注在频率轴上；—23—绘制出低频渐近线，该直线斜率为－20νdB／dec(其中ν为相应传递函数当中积分环节的个数)，每经过一个转折频率斜率做相应的改变，斜率的改变取决于该转折频率所对应的典型环节的类型。修正。当开环传递函数中含有二阶环节(振荡或二阶微分)时，通常需要根据二阶环节的特征点进行修正。2ζ2ζ (2)φ(ω)的绘制方法先绘制出各环节的相频特性，然后再迭加。同时为了保证φ(ω)的绘制精度，通常要在变化剧烈或者需要注意的地方取几个点进行修正。3．由L(ω)反求最小相位系统的传递函数最小相位系统的开环对数幅频特性与系统的开环传递函数是一一对应的，因此，可由L(ω)求出相应的传递函数并绘制出相应的相频特性曲线。在近几年的考研题中，越来越多的出现了由非最小相位系统的L(ω)求相应的传递函数的题型。由L(ω)求G(s)的关键问题是比例系数K的确定。对于一条给定的L(ω)折线，除给出各段斜、转折频率外，还应有一个定位点，通常是给定某个ω所对应的L(ω)的值，而比例系数K就是由此定位点计算而得到的。需要注意的是：当定位点在折线上时，应按照L(ω)的折线方程进行计算。在考研试题中，Nyquist曲线的绘制经常会遇到。在绘制过程中要把握好曲线的三个频段的绘制。对于最小相位系统当系统中含有纯微分环节时，只要取ν为负的微分环节的个数即可。对于非最小相位系统，具体分析。mnAω)→0，终点位于坐标原点。—24—频段：拐点：含有零点的个数就是系统凸凹变化的次数。5．关于闭环频率特性的相关问题闭环频率特性曲线的绘制通常比较麻烦。对应单位反馈情况可由Nichols标准曲线或由标准的等M圆、等N圆绘出。在最新版的教材中，已经极少提及后一种方法。考生在复习中，只需要掌握概念即可。Nyquist稳定判据是应用开环频率特性判断闭环稳定性的有效方法。ist定的充要条件是ΓGH绕(－1，j0)点逆时针方向旋转P圈。当闭环系统不稳定时，闭环正实部特征根的个数Z可按下式确定为正，顺时针为负；ΓGH是当ω从－w~＋w变化时完整的Nyquist曲线。是由三段或者两段曲线构成的完整曲线。—25—据变为：系统稳定的充要条件是ΓGH绕(－1，j0)点逆时针旋转圈。其中ΓGH由一段或两段曲线构成：第2段：ω从0~0＋变化时，半径无限大，顺时针转过的ν·90°的大圆弧。一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根的个数可以根据开环传递函数右半s平面极点数P和L(ω)＞0在所有频段内，φ(ω)对(2k＋1)180°线的正负穿越次数之差N＝N＋－N－确定：Z为系统不稳定根的个数，即右半平面的闭环极点数。如果闭环传递函数含有ν个积分环节，则绘制开环对数频率曲线后，应从对数相频特性曲线ω→0＋的地方向上补画ν×90°的虚线。当开环系统稳定时，稳定裕度是衡量闭环系统相对稳定系的指标，包括相角裕度和幅值稳定裕度。°＋φ(ωc)截止频率。其中，ωx满足方程φ(ωx)＝－180°。计算γ和h的关键是ωc和ωx的计算，当中有些技巧，在后面的典型例题中详细解析。相角裕度和幅值裕度在频率特性曲线上的表示如下。—26—9．频域指标和时域指标的关系熟练掌握系统的各项性能项指标的定义公式是正确分析控制系统的基础。常见性能指标如下表：性能指标暂态指标稳态指标平稳性快速性时域指标ttte开环频域指标L(ω)的低频段闭环频域指标闭环谐振峰值Mr带宽频率ωbr谐振频率ωr闭环零频值这些指标之间的定性关系：开环频率特性的“三频段”与系统性能之间的关系。典型的开环对数幅频特性图如下：“三频段”与系统性能之间的关系：低频段决定了系统的稳态精度，从提高稳态精度的角度，低频段越高(K越大)越陡(ν越大)越好。中频段决定了系统的动态性能，为获得良好的动态性能，应使γ在30°~70°之间，L(ω)应以－20的斜率穿过ω轴，而且中频段应有足够的宽度。高频段决定了系统抗高频干扰的能力。从提高抗干扰性能的角度，高频段越低、越陡，抑制噪声的能力越强。态响应；绘制开环系统的Nyquist曲线和Bode图，并由此—27—判断闭环系统的稳定性；计算系统的相角裕度和幅值裕度；根据最小相位系统的对数幅频特性曲线，确定系统的传递函数；根据系统的频域指标估算时域动态性能。 c (ⅲ)讨论参数a对系统稳定性的影响。：此题是频域分析法的典型考查题型，需要会熟练绘制Nyquist曲线，这只需要掌握三个频段内曲线的特征即可，此外Nyquist稳定判据的使用，以及频域内一些重要性能指标的计算也需要熟练掌握，这是这一章最基本的考查类型。度γ和幅值裕度h，简单分析系统稳定性。题型分析：此题也属于频域分析法的典型考查题型，要求考生熟练掌握Bode图的绘制技巧，以及在对数频率特性中如何确定频域性能指标。试求： c度h； (ⅱ)系统的闭环传递函数v(s)； 题型分析：此题是一道综合性比较强的题，考生遇到的问题有这样几个：首先，大家已经习惯了如—28—何从给定的开环频率特性来绘制Nyquist曲线，但实际上频域分析法是一种实验分析法，也就是说这种方法更多针对的内部结构不明确的系统，如何从测定的频率特性曲线中反推系统的结构，也就是系统的传递函数，这道题正是考查了这样一个问题；其次，在系统参数的计算中，又需要考生应用到时域分析法法中稳态精度(ess＝0．2)；最后，第三问在考查了系统稳定性的判定后，还考察了频率特性的概念。析：此题系统是一个非最小相位系统，非最小相位系统在绘制系统Nyquist曲线时，其低频段的特性是和最小相位系统不同的，这一点要给外关注。此类题型在近几年考试中越来越频繁出现。—46——47— 状态：系统在时域中的行为或运动信息的集合。状态变量：确定系统状态的一组独立(数目最小)的变量。状态向量：以系统n个状态变量作为基底所组成的n维空间。状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分(差分)方程组。输出方程：描述系统输出变量和输入变量之间函数关系的代数方程组。状态空间表达式(动态方程)：状态方程和输出方程的组合。空间表达式为线性函数的关系；即··线性定常系统：状态空间表达式中的系数矩阵都是常数的线性系统。状态变量图：按状态空间表达式绘制的系统结构图。 (ⅱ)线性定常连续系统状态空间表达式的建立描述系统所用的状态变量必须是独立变量，系统状态变量的个数是唯一的。n阶系统的状态变量数只能是n个，状态变量的选取不具备唯一性，因此系统状态空间表达式也不具有唯一性，选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式。系统的状态空间表达式可以根据系统机理、物理定律、微分(差分)方程、传递函数、方框图、信号积分量、微分量作为状态变量，并注意一，s一d根据状态矩阵的形式或特点，单输入－单输出系统的状态方程有可控标准型、可观测标准型、约当标准型(含对角标准型)三种基本的规范形式。 (ⅲ)状态转移矩阵Φ(t)的求法及其性质Φ(0)＝IΦ(0)＝I—48— (ⅳ)线性连续定常系统动态方程的求解齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：积分法 (ⅴ)线性离散系统状态空间表达式的求解递推公式i＝0i＝0z变换法 (ⅵ)系统的传递函数矩阵及实现传递函数矩阵G(s)，初始条件为零时，输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递并不唯一，常用标准形式来实现。若阶数相等则称G(s)的最小实现。传递函数的规范型实现主要有可控标准型、可观测标准型和约当标准型三类。可控标准型(能控Ⅰ型)「0A＝010：00100]—49—01A01A可观标准型(能控Ⅱ型)「000001000约当标准型(含对角标准型)i式中，λ1为三重实极点；λ4，···，λn为单实极点，约当标准型为「11]＝＝λ「0]01：「0]01：c4…cn]x可控标准型和可观测标准型互为对偶关系。2．线性系统的可控性与可观测性 (ⅰ)系统状态可控性及其判据·txtu (t)作用下在有限时间T内转移到x(T)＝0，则称系统状态完全可控，简称系统可控。可控性是系统状态运动的一个定性特征，表征控制作用u(t)对状态变量x(t)的影响程度。线性定常系统可控性常用判据： 状态矩阵A为对角阵且对角元素互异时，输入矩阵B无全零行；当A阵为约当阵且重特征值只对应一个约当块时，B阵中对应互异特征值的行元素不全为零，与—50—约当块最后行所对应行的元素不为零(相同特征值分布在不同约当块时不适用)；单输入系统为可控标准型或可化为可控标准型。 (ⅱ)系统输出可控性任意最终输出y(t1)，则称系统是输出完全可控的，简称为输出可控。它与状态可控性没有必然的联系。其可控性判据为 (ⅲ)系统可观测性及其判据·下，可由输出y(t)唯一确定状态向量的初值x(t0)，则称系统是完全可观测的，简称系统可观。它表征状态可由输出量y(t)反映的能力。线性定常连续系统可观测性常用判据系统C－－1(sIA)的列向量线性无关；状态矩阵A为对角阵且对角元素互异时，输出矩阵C无全零行；当A阵为约当阵且重特征值只对应一个约当块时，C阵中对应互异特征值的列元素不全为零，与约当块最前一列所对应的元素不全为零(相同特征值分布在不同约当块时不适用)；单输出系统为可观测标准型或可化为可观测标准型。 (ⅳ)连续时间系统离散化后的可控性和可观测性与原系统之间的关系若连续系统不可控(不可观测)，离散化后的系统一定不可控(不可观测)；若连续系统可控(可观测)，离散化后的系统不一定可控(可观测)，与采样周期的选择有关。3．线性定常系统的线性变换 (ⅰ)状态空间表达式的线性变换非奇异线性变换的目的通常是将系统变成某种规范形式，如可控标准型、可观测标准型、对角型、约当型，以便于分析和综合设计。非奇异线性变换是等价变换，系统原有的特性。—51— (ⅱ)非奇异线性变换的不变性非奇异线性变换不改变系统的固有特性(即特征值、传递函数矩阵、可控性、可观测性均不变)。 (ⅲ)对偶原理S (ⅳ)线性定常系统的结构分解系统的结构分解有可控性标准分解和可观测性标准分解两种形式。从可控性，可观测性出发，状此对应，状态空间可划分为4个子空间，系统也可分解为4个子系统，这称为系统的规范分解。规范分解更能明显的揭示系统的结构特征和传递特征。分解途径：从可控性矩阵或可观性矩阵中，选出线性无关的列或行向量，经扩充后构成非奇异矩阵，然后实施线性变换。4．线性定常系统的反馈结构及状态观测器 (ⅰ)常用反馈结构及其对系统特性的影响状态反馈：两种形式：反馈至参考输入(重点)，反馈至状态微分。·x·用状态反馈任意配置单输入系统闭环极点的充要条件是：系统可控。状态反馈不改变系统可控性，但可能会改变可观测性；状态反馈不改变闭环传递函数的零点。输出反馈：两种形式：反馈至状态微分(重点)，反馈至参考输入。··用输出至状态微分的反馈任意配置单输出闭环极点的充要条件是：系统可观测。输出至状态微分的反馈不改变系统可观测性，但可能改变可控性。输出至参考输入的反馈不改变系统可观测性和可控性。 (ⅱ)状态观测器及其设计可以通过用被控对象的输出量和输入量建立状态观测器来重构状态。状态观测器分全维状态观测器和降维状态观测器。全维状态观测器状态向量的维数与被控对象状态向量的维数相同；降维状态观测器状态向量的维数小于被控对象状态向量的维数。∧择，以决定状态估计误差衰减的速率，通常希望观测器的响应速度比状态反馈的响应速度快2~ (ⅲ)分离定理若被控系统可控可观测，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即K和H阵的设计可分别独立进行。—52—稳定性分析 (ⅰ)李雅普诺夫意义下的稳定性·设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心，δ为半径的闭环域S(δ)内，即则称系统的平衡状态xe在李雅普诺