备战2024年高考数学一轮复习9.4抛物线(精讲)(原卷版+解析)

9.4抛物线（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一抛物线定义及应用【例1-1】（2022·广西梧州）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（

）A．4 B．3 C． D．【例1-2】（江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题）在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（

）A．3

B．2

C．1

D．【一隅三反】1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．3．（2021·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（

）A． B． C．6 D．考点二直线与抛物线的位置关系【例2-1】（2022·广东）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【例2-2】（2022·肥城市）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________.【一隅三反】1．（2022·云南）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于、两点，若，则这样的直线的条数为（

）A． B． C． D．2（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知圆的方程为，抛物线的方程为，则两曲线的公共切线的其中一条方程为_____________．3．（2022·广东高三开学考试）过点的两条直线与抛物线C：分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为（）A． B．3 C．27 D．考点三弦长【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．【例3-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【一隅三反】1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．2．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43（2021·福建高三月考）过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为______．考点四综合运用【例4】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（

）A． B．抛物线的方程为C．直线的方程为 D．【一隅三反】1．（2022·广东江门）（多选）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（

）A． B．是等边三角形C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为2．（2022·辽宁朝阳）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（

）A．若直线的倾斜角为，则B．若，则直线的斜率为C．若为坐标原点，则三点共线D．3．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学）（多选）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若为抛物线上的动点，，则D．若为抛物线上的点，则9.4抛物线（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一抛物线定义及应用【例1-1】（2022·广西梧州）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（

）A．4 B．3 C． D．【答案】D【解析】由题意，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，可得，解得故选：D.【例1-2】（江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题）在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（

）A．3

B．2

C．1

D．【答案】A【解析】设准线与轴交于点，则，，∴，连接，则，又，所以是正三角形，∴，准线的方程是，∴点纵坐标为3.故选：A【一隅三反】1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.，则．故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【解析】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.3．（2021·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（

）A． B． C．6 D．【答案】D【解析】由题可知抛物线的准线方程为，所以，即，所以，∴，所以.故选：D.考点二直线与抛物线的位置关系【例2-1】（2022·广东）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程，消去并整理，得．当时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为），显然满足题意；当时，，解得或．综上，，故选：A．【例2-2】（2022·肥城市）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________.【答案】【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线.设，直线方程为，代入抛物线方程消去，得，所以.又过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设，可得，因为，所以，得到，所以.因为，所以，解之得，所以，直线方程为，即.故答案为：.【一隅三反】1．（2022·云南）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于、两点，若，则这样的直线的条数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以直线不与轴重合，易知抛物线的焦点为，设直线的方程为，联立可得，，则，所以，，解得.故满足条件的直线有且只有一条．故选：B．2（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知圆的方程为，抛物线的方程为，则两曲线的公共切线的其中一条方程为_____________．【答案】【解析】设切线方程为：，分别联立方程得到和，得和，得和，解得和，解得或，所以，两曲线的公共切线的其中一条方程可为：故答案为：3．（2022·广东高三开学考试）过点的两条直线与抛物线C：分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为（）A． B．3 C．27 D．【答案】A【解析】抛物线，即，故，设两点的坐标为，则有，整理得，同理故直线的方程为，由得，故，因为点到直线的距离为，故三角形的面积为故选：.考点三弦长【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．【答案】B【解析】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，代入抛物线方程得，可得，根据抛物线的定义可知直线AB的长为．故选：B．【例3-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，所以．故选：C．【一隅三反】1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．【答案】【解析】如图，分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，设，易得，则，由抛物线的性质可得，，所以，，解得，故．故答案为：2．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由题意知的方程为，代入的方程，得，设，则；因为，且，所以32，整理得，所以，结合，解得.故选：D.3（2021·福建高三月考）过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为______．【答案】【解析】如图，抛物线的焦点为，准线为，分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有．过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，则，即，解得.所以的横坐标为．故答案为：．考点四综合运用【例4】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（

）A． B．抛物线的方程为C．直线的方程为 D．【答案】ACD【解析】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确故抛物线的方程为，焦点，故B错误则，．又是的中点，则，所以，即，所以直线的方程为．故C正确由，得．故D正确故选：ACD．【一隅三反】1．（2022·广东江门）（多选）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（

）A． B．是等边三角形C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为【答案】BC【解析】根据题意，作出示意图,因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以是等边三角形，故B正确；所以∠FBD＝30°.因为的面积为|BF|2＝9，所以|BF|＝6.故A错误；又点F到准线的距离为|BF|sin30°＝3＝p，故C正确；则该抛物线的方程为y2＝6x.故D错误.故选：BC.2．（2022·辽宁朝阳）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（

）A．若直线的倾斜角为，则B．若，则直线的斜率为C．若为坐标原点，则三点共线D．【答案】ACD【解析】若直线的倾斜角为，则，令，由消可得，所以，故正确；设1，令，由，消可得，，所以，所以，所以或所以.即，故错误；设，令，，消可得，所以，即三点共线，故C正确；设，令，由消可得，，所以，即，故正确.故选：ACD.3．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学）（多选）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若为抛物线上的动点，，则D．若为抛物线上的点，则【答案】ABC【解析】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与