备战2024年高考数学一轮复习7.1空间几何中的平行与垂直(精讲)(原卷版+解析)

7.1空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一平行问题【例1-1】（2022·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面【例1-2】（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面【例1-3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面【例1-4】（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线【例1-5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面【例1-6】（2022·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：【一隅三反】1．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC2．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面3（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；5．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面6.（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：平面ECD考点二空间几何中的垂直问题【例2-1】（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：【例2-2】（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.【例2-3】（2022·四川成都）如图，三棱锥中，等边三角形的重心为O，，，，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.(1)求证：平面DEF；(2)求证：平面平面PBC.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：2．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．(1)求证：直线平面ADF；(2)求证：直线平面ADF；(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：；条件②：；条件③：．3．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．考点三空间几何中的定理辨析【例3-1】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【例3-2】（2022·湖北武汉·高三开学考试）（多选）如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（

）A． B． C．平面 D．平面【一隅三反】1．（2022·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则2．（2022·全国·模拟预测（理））已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（

）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥α B．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，，，，，M，N分别是棱和的中点，则下列说法中不正确的是（

）A．四点共面 B．与共面C．平面 D．平面7.1空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一平行问题【例1-1】（2022·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面【答案】证明见解析；【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.【例1-2】（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；【例1-3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面【答案】证明见解析【解析】在上取一点，使得，连接，，，又平面，平面，平面；，，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面.【例1-4】（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线【答案】证明见解析【解析】直线平面，，平面平面，．【例1-5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．【例1-6】（2022·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：【答案】证明见解析【解析】证明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因为，，平面，所以平面，在中，，在中，，则，因为，所以平面，所以；【一隅三反】1．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC【答案】证明见解析【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以.又因为面EAC，面EAC，所以平面EAC；2．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD,因为E为中点,故,又,F为中点,故,所以四边形EDAF为平行四边形，故,因为平面，平面,故平面；3（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面【答案】见解析【解析】过点作，交于点，连接，由题意得，故，，而平面，平面，平面，同理得平面，而，平面平面，平面4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；【答案】证明见解析【解析】证明：在梯形中，，平面，平面，平面.又平面，平面平面，所以.5．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面【答案】证明见解析【解析】∵P，D分别为，的中点，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分别为，BC的中点，∴，且平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面.6.（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：平面ECD【答案】证明见解析【解析】证明：取CD的中点G，连接EG∵△CDE为腰长为的等腰三角形，∴又∵平面CDE⊥平面BCD，平面ECD，平面平面,∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴又∵平面ECD，平面CDE，∴平面CDE考点二空间几何中的垂直问题【例2-1】（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：【答案】证明见解析；【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.【例2-2】（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.∵M，F分别是PC，PB的中点，∴，.∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴，，∴，，∴四边形DEFM为平行四边形.∴，∵平面PDC，平面PDC.∴平面PDC.(2)∵四边形ABCD为正方形，∴.又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，∴AD⊥平面PAB.∵平面PAB，∴.连接AF，∵，F为PB中点，∴.又，AD，平面DEF，∴PB⊥平面DEF.【例2-3】（2022·四川成都）如图，三棱锥中，等边三角形的重心为O，，，，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.(1)求证：平面DEF；(2)求证：平面平面PBC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接PE，因为为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且，因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以，所以，所以，因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF(2)连接AE、BD，如图所示因为为等边三角形，E为BC中点，所以，因为，，E为BC中点，所以，因为平面PAE，所以平面PAE，因为平面PAE，所以，在中，，，，所以，即，所以，在中，，由余弦定理得，在中，，，所以，在中，，，所以，即，因为平面PBC，所以平面PBC，因为平面DEF，所以平面平面PBC【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：【答案】证明见解析【解析】证明：取的中点，连，，∵为等边三角形，且是边的中点，∴，∵平面底面，且它们的交线为，∴平面，则，∵，且∴平面，∴；2．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．(1)求证：直线平面ADF；(2)求证：直线平面ADF；(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：；条件②：；条件③：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【解析】(1)证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，所以，又，平面，所以平面；(2)证明：依题意可得且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；(3)证明：因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，过点作，交于点，若选①，，，所以，所以，此时，所以如图过点作交的延长线于点，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，显然平面与平面不垂直；若选②：，则，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若选③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；3．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，则平面，即是与平面所成的角，有，解得，即有，则，即，而，则有平面，又平面，于是得，因，平面，则平面，平面，所以平面平面.考点三空间几何中的定理辨析【例3-1】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.所以由“”可得“”，充分性成立；反之亦成立.所以“”是“”成立的充要条件.故选：A【例3-2】（2022·湖北武汉·高三开学考试）（多选）如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（

）A． B． C．平面 D．平面【答案】AC【解析】连接，如图：由正方体可知，因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确，B错误；由题意知为的中位线，所以，又,所以又平面，平面，所以平面，故C正确；若平面，BD1在平面BDD1B1中，则，进而，在中易知与不垂直，故D错误；故选：AC【一隅三反】1．（2022·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】C【解析】对于A，因，，当时，而，则，当时，在直线上取点，过作直线，