高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的单调性和奇偶性问题(原卷版+解析)

第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的单调性和奇偶性问题TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1判断指数型复合函数的单调性 2题型2由指数（型）的单调性求参数 4题型3比较指数幂的大小 5题型4由指数函数的单调性解不等式 7题型5判断对数型复合函数的单调性 9TOC\o"1-4"\h\z\u题型6比较对数式的大小 10题型7由对数函数的单调性解不等式 11题型8由对数（型）的单调性求参数 13题型9幂函数的奇偶性 16题型10由幂函数的单调性比较大小 18题型11由幂函数的单调性求参数 20一．典型例题题型1判断指数型复合函数的单调性反思领悟：例1（多选题）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（）A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是C．的最大值是 D．的最小值是例2求函数的单调区间___________.例3已知函数（，且）的图象经过点，.(1)求函数的解析式；(2)设函数，求函数的值域题型2由指数（型）的单调性求参数反思领悟：例1（多选题）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．例2若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．例3已知函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，且(1)求与的解析式；(2)若对，不等式恒成立，求实数m的最大值．题型3比较指数幂的大小反思领悟：例1（多选题）下列判断正确的有（

）A．B．C．若则D．例2的大小关系是________．例3已知函数为奇函数．（1）求实数的值，并用定义证明函数的单调性；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．题型4由指数函数的单调性解不等式反思领悟：例1（多选题）设函数的定义域为，对于给定的正数，定义函数，若函数，则（

）A．B．在上单调递减C．为偶函数D．的最小值为2例2已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是______．例3已知函数为奇函数．(1)证明：在R上为增函数；(2)解关于x的不等式．题型5判断对数型复合函数的单调性反思领悟：例1（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．的定义域是 B．是偶函数C．在区间上是增函数 D．的图象关于直线对称例2若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.例3已知函数，，且．(1)证明：在定义域上是增函数；(2)若，求的取值集合．题型6比较对数式的大小反思领悟：例1（多选题）已知实数、、满足，则下列说法正确的有（

）A． B．C． D．例2，，三个数中最小的是______．例3已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a＞1．(1)比较[f(0)＋f(1)]与f()的大小；(2)探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f对任意x1＞0，x2＞0恒成立．题型7由对数函数的单调性解不等式反思领悟：例1（多选题）设函数则使不等式成立的实数a的取值范围可以是（

）A．（0，1） B．C． D．例2若函数，则不等式的解集是_________．例3已知函数.(1)求函数的值域；(2)求不等式的解集.题型8由对数（型）的单调性求参数反思领悟：例1（多选题）若函数在区间上单调递增，则下列实数可以作为值的是（

）A． B． C． D．例2已知函数的值域为R，且在上单调递增，请写出一个满足题意的的解析式_____________．例3对于函数，解答下列问题：(1)若函数定义域为，求实数的取值范围；(2)若函数在内为增函数，求实数的取值范围．题型9幂函数的奇偶性反思领悟：例1（多选题）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．例2已知幂函数为偶函数则m的值为_____________.例3已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.题型10由幂函数的单调性比较大小反思领悟：例1（多选题）已知，，则（

）A． B．C． D．例2已知实数、满足，下列五个关系式：①，②，③，④，⑤.其中不可能成立的关系式有________个.例3已知（）的图像关于y轴对称且在上随着x值的增大而减小，求的解析式及其定义域、值域，并比较与的大小.题型11由幂函数的单调性求参数反思领悟：例1（多选题）已知函数为偶函数且在区间上单调递减，则实数m的值可以为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2函数是幂函数，对任意，且，满足，若函数（其中且）在上单调递增，则的取值范围是_______例3已知幂函数的图像关于原点对称，且在上为增函数．(1)求表达式；(2)求满足的的取值范围．第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的单调性和奇偶性问题TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1判断指数型复合函数的单调性 2题型2由指数（型）的单调性求参数 4题型3比较指数幂的大小 5题型4由指数函数的单调性解不等式 7题型5判断对数型复合函数的单调性 9TOC\o"1-4"\h\z\u题型6比较对数式的大小 10题型7由对数函数的单调性解不等式 11题型8由对数（型）的单调性求参数 13题型9幂函数的奇偶性 16题型10由幂函数的单调性比较大小 18题型11由幂函数的单调性求参数 20一．典型例题题型1判断指数型复合函数的单调性反思领悟：例1（多选题）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（）A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是C．的最大值是 D．的最小值是【答案】ACD【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.【详解】设，，则是增函数，且，又函数在上单调递增，在上单调递减，因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；，故C正确；，，因此的最小值是，故D正确．故选:ACD．例2求函数的单调区间___________.【答案】增区间为，减区间为【分析】由换元法，结合复合函数的单调性求解即可.【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.故答案为：增区间为，减区间为例3已知函数（，且）的图象经过点，.(1)求函数的解析式；(2)设函数，求函数的值域【答案】(1)；(2).【分析】（1）将给定的点代入函数式，再解方程组作答.（2）由（1）求出函数的解析式，判断函数单调性求解作答.（1）依题意，，而，解得，即有，所以函数的解析式是.（2）由（1）知，，因函数和在上都单调递增，因此函数在上单调递增，，所以函数的值域为.题型2由指数（型）的单调性求参数反思领悟：例1（多选题）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】结合的单调性以及特殊值、基本不等式，确定正确选项.【详解】在为增函数，依题意，所以，A错误.由基本不等式得，B正确.若，则，C错误.若，则，D正确.故选：BD例2若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据指数函数，二次函数及复合函数的单调性求解即可；【详解】解：因为是R上的增函数，在上单调递减，所以，根据复合函数单调性，要使在上单调递减，需，解得，所以，实数的取值范围是．故答案为：例3已知函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，且(1)求与的解析式；(2)若对，不等式恒成立，求实数m的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）方程组法去求解与的解析式即可解决；（2）将题给抽象不等式转化为整式不等式即可求得实数m的最大值．（1）由题意

①，所以

，函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，所以所以

②，由①②解得，；（2）对，不等式恒成立，即，令，，则，不等式等价于在上恒成立，所以，因为，所以，当且仅当即时取等号，所以，即m的最大值为题型3比较指数幂的大小反思领悟：例1（多选题）下列判断正确的有（

）A．B．C．若则D．【答案】ABD【分析】A利用幂函数、指数函数性质判断；B由指数幂运算化简各数，比较大小；C、D应用基本不等式判断，注意等号成立条件.【详解】A：由定义域上递增，则，由定义域上递减，则，故，正确；B：，正确；C：由，则，当且仅当时等号成立，所以，错误；D：由题设，，当且仅当时等号成立，正确.故选：ABD例2的大小关系是________．【答案】##【分析】先利用指数函数性质得到，再利用幂函数性质得到，即得解.【详解】解：指数函数是减函数，由，知；幂函数是增函数，.所以.故答案为：例3已知函数为奇函数．（1）求实数的值，并用定义证明函数的单调性；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；证明见解析；（2）．【分析】(1)利用奇函数定义可得值，再利用单调性定义借助“取值、作差、判断符号”的步骤即可作答；(2)利用(1)的结论消去法则“f”，再利用一元二次不等式恒成立即可得解.【详解】（1）函数的定义域为R，，因函数为奇函数，即恒成立，于是有恒成立，即恒成立，所以，，，且，则因是R上的增函数，即，，从而得，即，所以函数是R上的增函数；（2）因是奇函数，且是R上的增函数，，即对任意的恒成立，于是有，即，所以实数的取值范围是.题型4由指数函数的单调性解不等式反思领悟：例1（多选题）设函数的定义域为，对于给定的正数，定义函数，若函数，则（

）A．B．在上单调递减C．为偶函数D．的最小值为2【答案】ABCD【分析】令，利用对数函数的性质得，解得，得到，进而可对于各选择支进行分析判定.【详解】令，得，解得，∴.，故A正确；在上单调递减，故B正确；因函数,即，∴,即是偶函数，故C正确；当时，，∴，当时，,当时，，∴的最小值为2，故D正确．故选：ABCD．例2已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】由题意可得，利用基本不等式求出，然后解不等式可求出的取值范围.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，因为存在，使得成立，所以，即，所以，即（舍去），或，得，所以的取值范围为，故答案为：例3已知函数为奇函数．(1)证明：在R上为增函数；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)证明见解析．(2)．【分析】（1）由求得，由增函数的定义证明函数是增函数；（2）由奇偶性变形不等式，由单调性去掉“”后求解．（1）是R上的奇函数，则，解得，，满足设，则，，，即，所以是增函数；（2）是奇函数，则不等式为，又是增函数，所以，即，解得．所以不等式的解集为．题型5判断对数型复合函数的单调性反思领悟：例1（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．的定义域是 B．是偶函数C．在区间上是增函数 D．的图象关于直线对称【答案】BCD【分析】对于A，直接由真数大于零可求出函数的定义域，对于B，由偶函数的定义求解判断，对于C，根据复合函数单调性的判断方法求解，对于D，通过比较与的关系判断.【详解】对于A，由题意可得函数，由可得，故函数定义域为，故A错误；对于B，的定义域为，设，所以，即是偶函数，故B正确：对于C，令，可得，当时，是减函数，外层函数也是减函数，所以函数在区间上是增函数，故C正确；对于D,，得的图象关于直线对称，故D正确.故选：BCD.例2若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.【答案】【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：令，则，当时，是增函数，由在区间上为减函数，则在上为减函数，故，即，解得；当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，即，解得，综上，的取值范围是..故答案为：例3已知函数，，且．(1)证明：在定义域上是增函数；(2)若，求的取值集合．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由条件等式，结合对数运算法则可解出m，即有解析式，用定义法证的单调性，最后结合复合函数的单调性即可证明；（2）结合对数运算法则得，即可化简不等式，最后结合单调性即可求得解集.（1），，，又，，．由，解得，的定义域为．令，任取，且，则．又，，，，即，又在上是增函数，由复合函数的单调性知：在上是增函数．（2），原不等式可化为，即．由（1）知，是增函数，．又的定义域为，的取值集合为题型6比较对数式的大小反思领悟：例1（多选题）已知实数、、满足，则下列说法正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】令，则，，，利用作差法可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式结合基本不等式可判断D选项.【详解】令，则，，且，，．对于A，，所以A错误：对于B，，即，所以B正确；对于C，，所以C正确：对于D：，所以D正确．故选：BCD.例2，，三个数中最小的是______．【答案】【分析】将问题转化为比较、、的大小关系，应用作差法、对数的运算及对数函数性质比较大小即可.【详解】由，，，所以只需比较、、的大小关系即可，而，则，又，综上，最小数为，即最小.故答案为：例3已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a＞1．(1)比较[f(0)＋f(1)]与f()的大小；(2)探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f对任意x1＞0，x2＞0恒成立．【答案】(1).(2)答案见解析.【分析】（1）根据函数解析式，代入计算[f(0)＋f(1)]和f，由对数函数的单调性比较可得结论；（2）计算[f(x1－1)＋f(x2－1)]，f，由－＝和对数函数的单调性比较可得结论.(1)解：∵[f(0)＋f(1)]＝(loga1＋loga2)＝loga，又∵f＝loga，且＞，由a＞1知函数y＝logax为增函数，所以loga＜loga．即[f(0)＋f(1)]＜f．(2)解：由（1）知，当x1＝1，x2＝2时，不等式成立．接下来探索不等号左右两边的关系：[f(x1－1)＋f(x2－1)]＝loga，f＝loga，因为x1＞0，x2＞0，所以－＝≥0，即≥．又a＞1，所以loga≥loga，即[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f．综上可知，不等式对任意x1＞0，x2＞0恒成立．题型7由对数函数的单调性解不等式反思领悟：例1（多选题）设函数则使不等式成立的实数a的取值范围可以是（

）A．（0，1） B．C． D．【答案】BC【分析】由解析式，应用奇偶性定义可得为奇函数，并确定其值域、单调性，进而讨论、，结合的性质解不等式求a的取值范围.【详解】由题设，当时，，则，当时，，则，综上，为奇函数，在、上值域均为R且分别单调递增；∴，可得，即，当时，，可得；当时，，可得；∴a的取值范围为或.故选：BC.例2若函数，则不等式的解集是_________．【答案】【分析】判断函数的奇偶性与单调性，利用奇偶性与单调性化简不等式，然后由对数函数性质得结论．【详解】因为，定义域为R，且，故其为奇函数，又均为单调增函数，故为R上的单调增函数；则原不等式等价于，也即，整理得，解得，故不等式的解集为．故答案为：．例3已知函数.(1)求函数的值域；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）由对数运算法则化简函数式后，把作为一个整体，结合二次函数性质可得值域；（2）把作为一个整体，解一元二次不等式，然后再解对数不等式可得．（1），，即时，取得最大值．所以的值域为.（2）根据题意得，整理得，即，解得或，所以或，故不等式的解集为.题型8由对数（型）的单调性求参数反思领悟：例1（多选题）若函数在区间上单调递增，则下列实数可以作为值的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】设，由复合函数单调性可确定单调性和在上恒成立，结合二次函数性质可构造不等式组求得的范围，结合选项可得结果.【详解】设，要使在区间上单调递增，则需在上单调递增，且在上恒成立，，解得：，则选项中可以作为的值的是和.故选：CD.例2已知函数的值域为R，且在上单调递增，请写出一个满足题意的的解析式_____________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，列出不等式，得到之间的关系，即可得到结果.【详解】由题意，得，可取，得（答案不唯一）．故答案为:（答案不唯一）例3对于函数，解答下列问题：(1)若函数定义域为，求实数的取值范围；(2)若函数在内为增函数，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由定义域为R得到不等式，分与两种情况进行求解；（2）由复合函数单调性及定义域得到在为减函数，且在的函数值为正，从而建立不等式组，求出实数的取值范围.(1)函数定义域为，即恒成立，当时，不恒成立，不满足题意，

当时，则，解得：，综上，实数的取值范围为；(2)若函数在内为增函数，则在为减函数，且在的函数值为正，，解得：，故实数的取值范围是．题型9幂函数的奇偶性反思领悟：例1（多选题）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用函数奇偶性的定义以及指数函数、幂函数、一次函数函数的单调性逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A：既不是奇函数也不是偶函数，故选项A不正确；对于B：，故是奇函数，且在上单调递减，故选项B正确；对于C：的定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，故选项C不正确；对于D：定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，因为在上单调增，所以在上单调递减，故选项D正确；故选：BD.例2已知幂函数为偶函数则m的值为_____________.【答案】2.【分析】根据幂函数得到，计算得到或，再验证函数的奇偶性得到答案.【详解】幂函数，则或当时，为奇函数，舍去；当时，为偶函数，满足故答案为：【点睛】本题考查了幂函数，函数的奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.例3已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.【答案】且.【分析】根据幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，可得且为偶数，求得，再利用函数在在上为减函数，由偶函数的性质可转化为求解即可.【详解】因为函数在上单调递减，所以，解得.因为，所以或2.又函数的图象关于轴对称，所以是偶数，而为奇数，为偶数，所以，所以，在上为增函数，在上为减函数，所以等价于且，解得且.故实数的取值范围为且.题型10由幂函数的单调性比较大小反思领悟：例1（多选题）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据条件表示出，即可分别判断各个选项的正误.【详解】，又，即，由得，则，得，则，所以A正确；可知，，则，故C正确；对于B：∵B错；对于D：由和知与均递减，再由，的大小关系知D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查指数式和对数式的互换，考查大小的判断例2已知实数、满足，下列五个关系式：①，②，③，④，⑤.其中不可能成立的关系式有________个.【答案】【解析】设，可得出，，分、、三种情况讨论，利用幂