山东省滨州市沾化区下河乡实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（解析版）

2023—2024学年度第二学期核心素养评价一九年级数学试题（本试卷满分120分，考试时间120分钟）第I卷（选择题，共24分）一、选择题：本大题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题涂对得3分，满分24分1.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，根据的确定方法解答即可．解：．故选：C．2.如图，，，平分，则的度数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．故选：B．3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了乘法公式，算术平方根，分式的除法及分式的乘方，熟练掌握计算法则是解题的关键；运用乘法公式展开即可对A选项判断；根据算术平方根得定义计算即可判断B选项；将式子进行约分，注意符号，即可判断C选项；将分子分母分别乘方即可判断D选项A．，原式计算错误，故选项不符合题意；B．，原式计算错误，故选项不符合题意；C．，原式计算错误，故选项不符合题意；D．，原式计算正确，故选项符合题意；故选：D．4.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A.

B.

C.

D.【答案】D【解析】【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．∵反比例函数和一次函数∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确；当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．5.如图，在菱形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接．则下列说法错误的是（）A.是的垂直平分线 B.C. D.若，则【答案】B【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识点．熟练掌握相关结论是解题关键．结合尺规作图和菱形的性质即可逐一进行判断．解：A．由作法得垂直平分，故A选项正确，不符合题意；∴，B．∵四边形为菱形，∴，，，∵，∴，∴，故B选项错误，符合题意；C．∵，，∴中，，∴，∴，故C选项正确，不符合题意；D．作于H，如图，∵，∴，∵，，∴，在中，，∴，∴，在中，，故D选项正确，不符合题意．故选：B．6.对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥若点，均在抛物线上，则．其中结论正确的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据时的函数值大于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据，即可判断⑥．解：①由图象可知：，∵对称轴为直线：，∴，∴，故①正确；②∵抛物线与轴有两个交点，∴，∴，故②正确；③根据函数图象可知：当时，，∴，故③正确；④∵当时，，∴，故④错误；⑤∵当时，取到最小值，此时，，而当时，，∴，故，故⑤正确，⑥∵，，∴，∴，故⑥错误；综上，正确的共4个，故选：B．7.如图，内接于，所对弧的度数为，，的角平分线分别交于、于、两点，、相交于点，以下四个说法错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得出，再根据、的角平分线分别是、，即得出，从而可求出，；作，，由三角形内心的性质可知，，，从而得出，即证明得出，；由于点F是内心而不是各边中线的交点，故不一定成立．∵所对弧的度数为120°∴∴，∵，的角平分线分别是，，∴，∴，故A选项正确，该选项不符合题意；∴，故B选项正确，该选项不符合题意；如图，作，，∵点F是内心，则，，，∵，∴，∴，∴，∴，故C选项正确，该选项不符合题意；由于点F是内心而不是各边中线的交点，故不一定成立，故D选项不正确，该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，求角的余弦值，等腰三角形的性质，三角形内心的性质，三角形全等的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．8.如图，在边长为的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动任何一个点到达即停止，连接、交于点，过点作交于点，交于点，连接，在运动过程中则下列结论：①；②；③；④；⑤线段的最小值为．其中正确的结论有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】D【解析】【分析】①动点，分别以相同的速度从，两点同时出发，所以，从而得到，再根据正方形的性质，利用证明；②由得到；③由得到，从而有，所以；④由，，把问题转化为证明，结论成立；⑤在矩形中，，所以问题转化为求的最值，的运动轨迹是以为直径的圆，所以的最小值是中点与的连线段减去的一半．解：①动点，分别以相同的速度从，两点同时出发，，，即，又，，，所以①正确；②由得到，所以②正确；③，，又，，，即，③正确；④，，，，即，又，，，④正确；⑤在矩形中，，所以问题转化为求的最值，的运动轨迹是以为直径的圆，所以的最小值是中点与的连线段减去的一半，如图，是中点，的最小值即，，，的最小值是，⑤正确；故选：D．【点睛】本题是四边形的综合应用，考查了全等三角形、相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，动点最值问题，解题的关键是选择恰当的判定条件，证明．第Ⅱ卷（非选择题，共96分）二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．9.计算：________．【答案】7【解析】【分析】本题主要考查了实数运算，关键是掌握在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．利用特殊角三角函数值、负整数指数幂的性质、零次幂的性质、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．解：，故答案为：710.分解因式：x3-2x2y+xy2=_____【答案】x（x-y）2【解析】【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解：x3-2x2y+xy2，=x（x2-2xy+y2），=x（x-y）2．故答案为：x（x-y）2．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11.不等式组的解集为________．【答案】－6＜x≤13【解析】【分析】根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．，解得在坐标轴上表示为：∴不等式组的解集为﹣6＜≤13故答案为：﹣6＜≤13．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解题问题，熟练掌握其解法及表示方法是解题的关键．12.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为________．【答案】7天【解析】【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程解方程即可．解：设规定时间为天，根据题意得：，两边同时乘以得，解得，经检验，是原分式方程的解．故答案为：7天．13.如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为___.【答案】8π【解析】【分析】解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为4，则底面周长为4π，所以所以扇形的圆心角的度数为180°，则侧面展开图的面积为.故答案为：8π14.如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据，从而可以解答本题．连接OD，作DE⊥AB于点E，∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，

∴，∴∠A=30°，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA30°，

∴∠DOB=60°，∠ODE=30°，

∵，在中，∠OED=90°，OD=，∠CDE=30°，∴，

，

∴，

故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是_____．【答案】（﹣2，1）或（2，﹣1）．【解析】【分析】利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或-，得出即可．解：∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A'的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故答案为（-2，1）或（2，-1）．点睛：此题主要考查了位似图形性质，根据题意得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．16.如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则_________（结果用含的代数式表示）．【答案】【解析】【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值．解：点和点关于直线对称，，，．，，点和点关于直线对称，，又，，，，，点和点关于直线对称，，，，，在和中，，．在中，，，，，，，，，，．，，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明．三、解答题：本大题共6个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．17.某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；（2）补全调查结果条形统计图；（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．【答案】（1）120，99（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．【小问1】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，故答案为：120，99；【小问2】解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），则选修“园艺”的学生人数为：（名），补全条形统计图如下：【小问3】解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，画树状图如下：共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．18.先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解．【答案】，．【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，先根据分式的加减法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出方程的解，根据分式有意义的条件求解即可，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．解：原式＝，方程，解得，，当时，，舍去，当时，原式．19.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，．（1）若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式；（2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？【答案】（1）（2）当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．（1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到与之间的函数关系式，（2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可．【小问1】解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为，当时，；当时，．，解得，∴，【小问2】解：，，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大，时，有最大值，最大值为元．答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元．20.如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）当时，求的长．【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析（2）．【解析】【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可．【小问1】证明：四边形是菱形，理由如下，∵矩形的对角线与相交于点O，∴，∵直线是线段的垂直平分线，∴，，∴，即是等边三角形，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴四边形是菱形；【小问2】解：∵直线是线段的垂直平分线，且，∴，，由（1）得四边形是菱形，∴，在中，，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21.如图，内接于，平分交于，过点作分别交，延长线于，，连接．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，且，求的半径．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）欲证明是切线，只要证明即可；（2）连接，根据等腰三角形的判定得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意由（1）知是的切线，由切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得