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文档简介
专题10三角形专题专题综述课程要求初中对三角形的研究比较多,但是集中在研究三角形的全等与相似以及直角三角形等特殊情况。高中对三角形的研究就上升到了一般三角形的研究,对于任意的三角形都能去解决边角问题。同时,结合三角函数,可以更好的去解三角形。课程要求课程要求《初中课程要求》1、了解三角形的基本概念及其性质;2、全等三角的相关概念;3、相似三角形的相关概念;4、直角三角形的相关概念。《高中课程要求》三角恒等变换;解三角形。知识精讲知识精讲高中知识储备:三角形高中知识储备:三角形备:绝对值三角形的”“四心”:=1\*GB3①重心:三角形三边中线的交点;=2\*GB3②垂心:三角形三边高的交点;=3\*GB3③内心:内切圆圆心,到三边距离相等,三角形三条角平分线交点;=4\*GB3④外心:外接圆圆心,到三个顶点距离相等,三角形三条边的垂直平分线交点。2.含120°角的等腰三角形:三边之比为13.边长为a的等边三角形:高为边长的32倍,即32a典例剖析典例剖析例题1.如图,将一张长方形纸片沿折叠,使两点重合.点落在点处.已知,.(1)求证:是等腰三角形;(2)求线段的长.变式训练变式训练1.如图,连接四边形的对角线,已知.(1)求证:是直角三角形;(2)求四边形的面积.能力提升能力提升1.如图,在四边形中,,,对角线,相交于点,AC平分,过点作交的延长线于点,连接.(1)求证:四边形是菱形:(2)若,且,求的长.对点精练对点精练1.如图,已知四边形是矩形,点在上,,点在上,且与交于点,则()A. B. C. D.2.如图,,,,,垂足分别为A、B.点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿向点B运动;点Q从点B出发,以每秒a个单位的速度沿射线方向运动.点P、点Q同时出发,当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时,a的值为()A.2 B.3 C.2或3 D.2或3.已知与全等,A、B、C的对应点分别为D、E、F,且E点在AE上,B、F、C、D四点共线,如图所示若,,则下列叙述何者正确?()A., B.,C., D.,4.下列说法错误的是()A.一组邻边相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形,顺次连接其四边的中点,所得四边形是矩形C.若三角形的三边长的比为5∶12∶13,则这个三角形是直角三角形D.若,则a≥05.如图,在中,,,为中线,则与的周长之差为()A.2 B.3 C.4 D.56.如图,在四边形中,,.若,,,则对角线的长为____________cm.7.如图,将沿对角线折叠,使点落在点处,若,则为______.8.如图,在平行四边形中,平分交于点,过点作的垂线交于点,若,,则______.9.如图,点为正方形边上一动点,,,将点绕点顺时针旋转到点,若、分别为、中点,则的最小值为___.10.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,AD=4,AB=10,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)则△PMN面积是________.(2)把△ADE绕点A在平面内自由旋转,△PMN面积的最大值为________.11.如图中,,分别是的高和角平分线,,.求和的度数.12.如图,已知中,,.(1)画出的高和;(2)若,求的长:(3)求的值.13.如图,将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠,点C落在同一平面内,落点记为F,BF与AD交于点E,若AB=4,BC=8,求BE的长.14.如图,中,,是边上的高,是边上的高,.求证:(1);(2).15.如图,在中,,平分,交于点,过点作于点.(1)求证:;(2)若,,求的长.专题10三角形专题专题综述课程要求初中对三角形的研究比较多,但是集中在研究三角形的全等与相似以及直角三角形等特殊情况。高中对三角形的研究就上升到了一般三角形的研究,对于任意的三角形都能去解决边角问题。同时,结合三角函数,可以更好的去解三角形。课程要求课程要求《初中课程要求》1、了解三角形的基本概念及其性质;2、全等三角的相关概念;3、相似三角形的相关概念;4、直角三角形的相关概念。《高中课程要求》三角恒等变换;解三角形。知识精讲知识精讲高中知识储备:三角形高中知识储备:三角形备:绝对值三角形的”“四心”:=1\*GB3①重心:三角形三边中线的交点;=2\*GB3②垂心:三角形三边高的交点;=3\*GB3③内心:内切圆圆心,到三边距离相等,三角形三条角平分线交点;=4\*GB3④外心:外接圆圆心,到三个顶点距离相等,三角形三条边的垂直平分线交点。2.含120°角的等腰三角形:三边之比为13.边长为a的等边三角形:高为边长的32倍,即32a典例剖析典例剖析例题1.如图,将一张长方形纸片沿折叠,使两点重合.点落在点处.已知,.(1)求证:是等腰三角形;(2)求线段的长.【答案】(1)见解析;(2)3【分析】(1)根据矩形的性质可得,则,因为折叠,,即可得证;(2)设用含的代数式表示,由折叠,,再用勾股定理求解即可【详解】(1)四边形是矩形因为折叠,则是等腰三角形(2)四边形是矩形,设,则因为折叠,则,,在中即解得:【点睛】本题考查了矩形的性质,等腰三角形的判定定理,图像的折叠,勾股定理,熟悉以上知识点是解题的关键.变式训练变式训练1.如图,连接四边形的对角线,已知.(1)求证:是直角三角形;(2)求四边形的面积.【答案】(1)△ACD是直角三角形;(2)【分析】(1)利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长,再利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形即可;
(2)计算出△ABC和△ACD的面积,再求和即可.【详解】解:(1)∵∠B=90°,∠BAC=30°,BC=1,∴AC=2BC=2,又CD=2,,∴AC2+CD2=8,AD2=8,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形.(2)∵AC=2,BC=1,∴,∴S四边形ABCD==.【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理,含30°角的直角三角形的性质,正确得出AC的长是解题关键.能力提升能力提升1.如图,在四边形中,,,对角线,相交于点,AC平分,过点作交的延长线于点,连接.(1)求证:四边形是菱形:(2)若,且,求的长.【答案】(1)见解析;(2)【分析】(1)根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可;(2)根据菱形的性质和勾股定理解答即可;【详解】(1)证明:∵,∴.∵平分,∴.∴.∴.∴,∴.∴四边形是平行四边形.∵,∴四边形是菱形.(2)解:由(1)知,四边形是菱形,,∴,.∵,∴,.∵,,∴四边形是平行四边形.∴,.∴.【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质,结合勾股定理计算是解题的关键.对点精练对点精练1.如图,已知四边形是矩形,点在上,,点在上,且与交于点,则()A. B. C. D.【答案】B【分析】设BM=CD=a,DN=CM=b,利用勾股定理分别表示出DM与BN的值即可解答.【详解】解:设BM=CD=a,DN=CM=b,∴BC=a+b,NC=a-b,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DCB=90°,在Rt△DCM和Rt△BCN中,由勾股定理得,,,,故选:B.【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识,关键是设出相等边,利用勾股定理表示出所求边.2.如图,,,,,垂足分别为A、B.点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿向点B运动;点Q从点B出发,以每秒a个单位的速度沿射线方向运动.点P、点Q同时出发,当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时,a的值为()A.2 B.3 C.2或3 D.2或【答案】D【分析】根据题意,可以分两种情况讨论,第一种△CAP≌△PBQ,第二种△CAP≌△QBP,然后分别求出相应的a的值即可.【详解】解:当△CAP≌△PBQ时,则AC=PB,AP=BQ,∵AC=6,AB=14,∴PB=6,AP=AB-AP=14-6=8,∴BQ=8,∴8÷a=8÷2,解得a=2;当△CAP≌△QBP时,则AC=BQ,AP=BP,.∵AC=6,AB=14,∴BQ=6,AP=BP=7,∴6÷a=7÷2,解得a=,由上可得a的值是2或,故选:D.【点睛】本题考查全等三角形的判定,解答本题的关键是明确有两种情况,利用数形结合的思想解答.3.已知与全等,A、B、C的对应点分别为D、E、F,且E点在AE上,B、F、C、D四点共线,如图所示若,,则下列叙述何者正确?()A., B.,C., D.,【答案】B【分析】由与全等,A、B、C的对应点分别为D、E、F,可得,,,可得;,可得,由大角对大边可得;利用,可得,即,由上可得正确选项.【详解】解:≌,,,,,.,,..,,即..,.故选:B.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质.利用全等三角形对应角相等,对应边相等是解题的关键.4.下列说法错误的是()A.一组邻边相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形,顺次连接其四边的中点,所得四边形是矩形C.若三角形的三边长的比为5∶12∶13,则这个三角形是直角三角形D.若,则a≥0【答案】A【分析】根据选项逐一判断正误,找出符合题意的选项即可;【详解】A.一组邻边相等的平行四边形是菱形,故原说法错误,符合题意;B.对角线互相垂直的四边形,顺次连接其四边的中点,所得四边形是矩形,因为顺次连接其四边的中点,构成的四边形是平行四边形,邻边互相垂直则所得的四边形是矩形;说法正确,不符合题意C.若三角形的三边长的比为5∶12∶13,则这个三角形是直角三角形,设若三角形的三边长,根据勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形;说法正确,不符合题意;D.,则若,则a≥0说法正确,不符合题意故选A【点睛】本题考查了菱形的判定定理,矩形的判定定理,勾股定理逆定理,二次根式的性质,绝对值的意义,熟练掌握以上知识点是解题的关键.5.如图,在中,,,为中线,则与的周长之差为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】根据题意易得BD=CD,然后根据三角形周长公式及题意可直接进行求解.【详解】解:∵为中线,∴BD=CD,∵,,∴,,∴;故选B.【点睛】本题主要考查三角形的中线,熟练掌握三角形的中线是解题的关键.6.如图,在四边形中,,.若,,,则对角线的长为____________cm.【答案】【分析】过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,证明△ABC≌△ADC(SSS),由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,求出∠EBC=45°,由直角三角形的性质求出CE和AC的长即可.【详解】解:过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,∵∠BAD=60°,∠BCD=30°,∴∠EAC=∠BAD=30°,∠ACB=∠BCD=15°,∴∠EBC=∠BAC+∠ACB=30°+15°=45°,∴BE=CE,∵BC=4cm,∴CE=BC=cm,∴AC=2CE=cm,故答案为.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质,证明△ABC≌△ADC是解题的关键.7.如图,将沿对角线折叠,使点落在点处,若,则为______.【答案】120°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出,由三角形的外角性质求出,再由三角形内角和定理求出即可.【详解】解:四边形是平行四边形,,,由折叠的性质得:,,;故答案为:.【点睛】题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;解题的关键是:熟练掌握平行四边形的性质,求出的度数是解决问题的关键.8.如图,在平行四边形中,平分交于点,过点作的垂线交于点,若,,则______.【答案】4【分析】先过点E作EG//AB,根据平行四边形的性质、角平线线的性质证明出△ABE≌△AGE,得到BA=BE=GA=GE,再利用直角的性质,通过等量代换得到,最后得出结论.【详解】解:如图所示,过点E作EG//AB,∵四边形是平行四边形,∴AB//DC,AD//BC,∴∠BAE=∠AEG,∠GAE=∠BEA,∵平分∴∠BAE=∠GAE,∴∠BAE=∠AEG=∠GAE=∠BEA,∴BA=BE,GA=GE∵AE=AE,∴△ABE≌△AGE(ASA)∴BA=BE=GA=GE,∵AE⊥EF,∴∠AEG+∠GEF=90°,∠AEB+∠FEC=90°,∵∠AEG=∠BEA,∴∠GEF=∠FEC,∵GE//DC,∴∠GEF=∠EFC,∴∠FEC=∠EFC,∴,∴AB=BE=5-1=4,故答案为:4.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、垂直的性质,解决本题的关键是作出辅助线,利用平行的性质进行等量代换.9.如图,点为正方形边上一动点,,,将点绕点顺时针旋转到点,若、分别为、中点,则的最小值为___.【答案】【分析】过N作NG⊥BC于G,由将点绕点顺时针旋转到点,可得∠MPN=90°=∠B=∠NGP,PM=PN,可证△MBP≌△PGN(AAS),可得BP=GN=1,可知当点M在运动时,点N都在距离BC为1的直线上运动,由CN≥NG,可得当CN=NG时EF最小,EF最小=最小=.【详解】解:过N作NG⊥BC于G,∵将点绕点顺时针旋转到点,四边形ABCD为正方形,∴∠MPN=90°=∠B=∠NGP,PM=PN,∴∠BMP+∠MPB=90°,∠MPB+∠NPG=90°,∴∠BMP=∠GPN,在△MBP和△PGN中,,∴△MBP≌△PGN(AAS),∴BP=GN=1,∴当点M在运动时,点N都在距离BC为1的直线上运动,∵CN≥NG,当CN=NG时EF最小,∵E,F分别为PN与PC的中点,∴EF//CN,且EF=,当点N在CD上时CN最小=1,∴EF最小=最小=.故答案为:.【点睛】本题考查图形旋转性质,正方形性质,三角形全等判定与性质,点到直线的距离,中位线性质,掌握图形旋转性质,正方形性质,三角形全等判定与性质,点到直线的距离,中位线性质是解题关键.10.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,AD=4,AB=10,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)则△PMN面积是________.(2)把△ADE绕点A在平面内自由旋转,△PMN面积的最大值为________.【答案】【分析】(1)利用三角形的中位线得出且,进一步可证明为等腰直角三角形,再利用三角形面积计算公式计算即可;(2)要使△PMN面积最大,PN值则要最大,则BD的值要最大,故当时最大,求出面积即可.【详解】解:(1)点P,N是BC,CD的中点,,点P,M是CD,DE的中点,,,,,,即,,为等腰直角三角形,故,故答案为:;(2)由(1)可知为等腰直角三角形,则,最大时,面积最大,即最大时,面积最大,点D在BA的延长线上,,,∴△PMN面积的最大值;故答案为:.【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定与性质,解题的关键是熟练运用三角形中位线定理,能够正确求出的最大值.11.如图中,,分别是的高和角平分线,,.求和的度数.【答案】∠CAE=34°,∠C=70°【分析】首先在△AED中利用三角形内角和定理计算出∠AED=76°,再根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE=∠AED,进而算出∠BAE的度数,从而得到∠CAE的度数,再根据∠CAD=∠CAE-∠DAE可以算出∠CAD的度数,进而得到∠C的度数.【详解】解:∵AD⊥BC,∴∠ADE=90°.
又∵∠DAE=14°.∴∠AED=76°,∵∠B+∠BAE=∠AED,∴∠BAE=∠AED-∠B=76°-42°=34°.∴∠CAE=∠BAE=34°,∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=34°-14°=20°,∴∠C=90°-20°=70°.【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理,以及三角形的高和三角形的角平分线,关键是掌握三角形内角和为180°.12.如图,已知中,,.(1)画出的高和;(2)若,求的长:(3)求的值.【答案】(1)见解析;(2);(3)【分析】(1)根据钝角三角形高的画法,即可画出三角形的高;(2)利用等面积的方法,即可求出答案;(3)由等面积的方法,得到,即可得到答案.【详解】解:(1)如图:(2),,;(3).【点睛】本题考查了基本作图,画三角形的高,以及三角形的面积计算方法,解题的关键时熟练利用面积相等的方法进行解题.13.如图,将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠,点C落在同一平面内,落点记为F,BF与AD交于点E,若AB=4,BC=8,求BE的长
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