苏教版初升高一初数学预习专题10三角形-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

专题10三角形专题专题综述课程要求初中对三角形的研究比较多，但是集中在研究三角形的全等与相似以及直角三角形等特殊情况。高中对三角形的研究就上升到了一般三角形的研究，对于任意的三角形都能去解决边角问题。同时，结合三角函数，可以更好的去解三角形。课程要求课程要求《初中课程要求》1、了解三角形的基本概念及其性质；2、全等三角的相关概念；3、相似三角形的相关概念；4、直角三角形的相关概念。《高中课程要求》三角恒等变换；解三角形。知识精讲知识精讲高中知识储备：三角形高中知识储备：三角形备：绝对值三角形的”“四心”：=1\*GB3①重心：三角形三边中线的交点；=2\*GB3②垂心：三角形三边高的交点；=3\*GB3③内心：内切圆圆心，到三边距离相等，三角形三条角平分线交点；=4\*GB3④外心：外接圆圆心，到三个顶点距离相等，三角形三条边的垂直平分线交点。2.含120°角的等腰三角形：三边之比为13.边长为a的等边三角形：高为边长的32倍，即32a典例剖析典例剖析例题1．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长．变式训练变式训练1.如图，连接四边形的对角线，已知．（1）求证：是直角三角形；（2）求四边形的面积．能力提升能力提升1.如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，AC平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形：（2）若，且，求的长．对点精练对点精练1．如图，已知四边形是矩形，点在上，，点在上，且与交于点，则（）A． B． C． D．2．如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为（）A．2 B．3 C．2或3 D．2或3．已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（）A．， B．，C．， D．，4．下列说法错误的是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形，顺次连接其四边的中点，所得四边形是矩形C．若三角形的三边长的比为5∶12∶13，则这个三角形是直角三角形D．若，则a≥05．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．7．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为______．8．如图，在平行四边形中，平分交于点，过点作的垂线交于点，若，，则______．9．如图，点为正方形边上一动点，，，将点绕点顺时针旋转到点，若、分别为、中点，则的最小值为___．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD＝4，AB＝10，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）则△PMN面积是________．（2）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，△PMN面积的最大值为________．11．如图中，，分别是的高和角平分线，，．求和的度数．12．如图，已知中，，．（1）画出的高和；（2）若，求的长：（3）求的值．13．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为F，BF与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，求BE的长．14．如图，中，，是边上的高，是边上的高，．求证：（1）；（2）．15．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．专题10三角形专题专题综述课程要求初中对三角形的研究比较多，但是集中在研究三角形的全等与相似以及直角三角形等特殊情况。高中对三角形的研究就上升到了一般三角形的研究，对于任意的三角形都能去解决边角问题。同时，结合三角函数，可以更好的去解三角形。课程要求课程要求《初中课程要求》1、了解三角形的基本概念及其性质；2、全等三角的相关概念；3、相似三角形的相关概念；4、直角三角形的相关概念。《高中课程要求》三角恒等变换；解三角形。知识精讲知识精讲高中知识储备：三角形高中知识储备：三角形备：绝对值三角形的”“四心”：=1\*GB3①重心：三角形三边中线的交点；=2\*GB3②垂心：三角形三边高的交点；=3\*GB3③内心：内切圆圆心，到三边距离相等，三角形三条角平分线交点；=4\*GB3④外心：外接圆圆心，到三个顶点距离相等，三角形三条边的垂直平分线交点。2.含120°角的等腰三角形：三边之比为13.边长为a的等边三角形：高为边长的32倍，即32a典例剖析典例剖析例题1．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证；（2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可【详解】（1）四边形是矩形因为折叠，则是等腰三角形（2）四边形是矩形,设，则因为折叠，则，,在中即解得：【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．变式训练变式训练1.如图，连接四边形的对角线，已知．（1）求证：是直角三角形；（2）求四边形的面积．【答案】（1）△ACD是直角三角形；（2）【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，再利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形即可；

（2）计算出△ABC和△ACD的面积，再求和即可．【详解】解：（1）∵∠B=90°，∠BAC=30°，BC=1，∴AC=2BC=2，又CD=2，，∴AC2+CD2=8，AD2=8，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形．（2）∵AC=2，BC=1，∴，∴S四边形ABCD==．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，含30°角的直角三角形的性质，正确得出AC的长是解题关键．能力提升能力提升1.如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，AC平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形：（2）若，且，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可；【详解】（1）证明：∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．∴，∴．∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．（2）解：由（1）知，四边形是菱形，，∴，．∵，∴，．∵，，∴四边形是平行四边形．∴，．∴．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，结合勾股定理计算是解题的关键．对点精练对点精练1．如图，已知四边形是矩形，点在上，，点在上，且与交于点，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设BM=CD=a，DN=CM=b，利用勾股定理分别表示出DM与BN的值即可解答．【详解】解：设BM=CD=a，DN=CM=b，∴BC=a+b，NC=a-b，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=90°，在Rt△DCM和Rt△BCN中，由勾股定理得，，，，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，关键是设出相等边，利用勾股定理表示出所求边．2．如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为（）A．2 B．3 C．2或3 D．2或【答案】D【分析】根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后分别求出相应的a的值即可．【详解】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ，∵AC=6，AB=14，∴PB=6，AP=AB-AP=14-6=8，∴BQ=8，∴8÷a=8÷2，解得a=2；当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，．∵AC=6，AB=14，∴BQ=6，AP=BP=7，∴6÷a=7÷2，解得a=，由上可得a的值是2或，故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答．3．已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得，，，可得；，可得，由大角对大边可得；利用，可得，即，由上可得正确选项．【详解】解：≌，，，，，．，，．．，，即．．，．故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．4．下列说法错误的是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形，顺次连接其四边的中点，所得四边形是矩形C．若三角形的三边长的比为5∶12∶13，则这个三角形是直角三角形D．若，则a≥0【答案】A【分析】根据选项逐一判断正误，找出符合题意的选项即可；【详解】A.一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法错误，符合题意；B.对角线互相垂直的四边形，顺次连接其四边的中点，所得四边形是矩形，因为顺次连接其四边的中点，构成的四边形是平行四边形，邻边互相垂直则所得的四边形是矩形；说法正确，不符合题意C.若三角形的三边长的比为5∶12∶13，则这个三角形是直角三角形，设若三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形；说法正确，不符合题意；D.，则若，则a≥0说法正确，不符合题意故选A【点睛】本题考查了菱形的判定定理，矩形的判定定理，勾股定理逆定理，二次根式的性质，绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．5．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意易得BD=CD，然后根据三角形周长公式及题意可直接进行求解．【详解】解：∵为中线，∴BD=CD，∵，，∴，，∴；故选B．【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键．6．如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．【答案】【分析】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，证明△ABC≌△ADC（SSS），由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，求出∠EBC=45°，由直角三角形的性质求出CE和AC的长即可．【详解】解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，∵∠BAD=60°，∠BCD=30°，∴∠EAC=∠BAD=30°，∠ACB=∠BCD=15°，∴∠EBC=∠BAC+∠ACB=30°+15°=45°，∴BE=CE，∵BC=4cm，∴CE=BC=cm，∴AC=2CE=cm，故答案为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．7．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为______．【答案】120°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出即可．【详解】解：四边形是平行四边形，，，由折叠的性质得：，，；故答案为：．【点睛】题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；解题的关键是：熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．8．如图，在平行四边形中，平分交于点，过点作的垂线交于点，若，，则______．【答案】4【分析】先过点E作EG//AB，根据平行四边形的性质、角平线线的性质证明出△ABE≌△AGE，得到BA=BE=GA=GE，再利用直角的性质，通过等量代换得到，最后得出结论．【详解】解：如图所示，过点E作EG//AB，∵四边形是平行四边形，∴AB//DC，AD//BC，∴∠BAE=∠AEG，∠GAE=∠BEA，∵平分∴∠BAE=∠GAE，∴∠BAE=∠AEG=∠GAE=∠BEA，∴BA=BE，GA=GE∵AE=AE，∴△ABE≌△AGE（ASA）∴BA=BE=GA=GE，∵AE⊥EF，∴∠AEG+∠GEF=90°，∠AEB+∠FEC=90°，∵∠AEG=∠BEA，∴∠GEF=∠FEC，∵GE//DC,∴∠GEF=∠EFC,∴∠FEC=∠EFC,∴,∴AB=BE=5-1=4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、垂直的性质，解决本题的关键是作出辅助线，利用平行的性质进行等量代换．9．如图，点为正方形边上一动点，，，将点绕点顺时针旋转到点，若、分别为、中点，则的最小值为___．【答案】【分析】过N作NG⊥BC于G，由将点绕点顺时针旋转到点，可得∠MPN=90°=∠B=∠NGP，PM=PN，可证△MBP≌△PGN（AAS），可得BP=GN=1，可知当点M在运动时，点N都在距离BC为1的直线上运动，由CN≥NG，可得当CN=NG时EF最小，EF最小=最小=．【详解】解：过N作NG⊥BC于G，∵将点绕点顺时针旋转到点，四边形ABCD为正方形，∴∠MPN=90°=∠B=∠NGP，PM=PN，∴∠BMP+∠MPB=90°，∠MPB+∠NPG=90°，∴∠BMP=∠GPN，在△MBP和△PGN中，，∴△MBP≌△PGN（AAS），∴BP=GN=1，∴当点M在运动时，点N都在距离BC为1的直线上运动，∵CN≥NG，当CN=NG时EF最小，∵E，F分别为PN与PC的中点，∴EF//CN，且EF=，当点N在CD上时CN最小=1，∴EF最小=最小=．故答案为：．【点睛】本题考查图形旋转性质，正方形性质，三角形全等判定与性质，点到直线的距离，中位线性质，掌握图形旋转性质，正方形性质，三角形全等判定与性质，点到直线的距离，中位线性质是解题关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD＝4，AB＝10，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）则△PMN面积是________．（2）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，△PMN面积的最大值为________．【答案】【分析】（1）利用三角形的中位线得出且，进一步可证明为等腰直角三角形，再利用三角形面积计算公式计算即可；（2）要使△PMN面积最大，PN值则要最大，则BD的值要最大，故当时最大，求出面积即可．【详解】解：（1）点P，N是BC，CD的中点，，点P，M是CD，DE的中点，，，，，，即，，为等腰直角三角形，故，故答案为：；（2）由（1）可知为等腰直角三角形，则，最大时，面积最大，即最大时，面积最大，点D在BA的延长线上，，，∴△PMN面积的最大值；故答案为：．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理，能够正确求出的最大值．11．如图中，，分别是的高和角平分线，，．求和的度数．【答案】∠CAE=34°，∠C=70°【分析】首先在△AED中利用三角形内角和定理计算出∠AED=76°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE=∠AED，进而算出∠BAE的度数，从而得到∠CAE的度数，再根据∠CAD=∠CAE-∠DAE可以算出∠CAD的度数，进而得到∠C的度数．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°．

又∵∠DAE=14°．∴∠AED=76°，∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED-∠B=76°-42°=34°．∴∠CAE=∠BAE=34°，∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=34°-14°=20°，∴∠C=90°-20°=70°．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，以及三角形的高和三角形的角平分线，关键是掌握三角形内角和为180°．12．如图，已知中，，．（1）画出的高和；（2）若，求的长：（3）求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据钝角三角形高的画法，即可画出三角形的高；（2）利用等面积的方法，即可求出答案；（3）由等面积的方法，得到，即可得到答案．【详解】解：（1）如图：（2），，；（3）．【点睛】本题考查了基本作图，画三角形的高，以及三角形的面积计算方法，解题的关键时熟练利用面积相等的方法进行解题．13．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为F，BF与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，求BE的长