19.百师联盟2021届高三一轮复习联考(一)理数全国卷III试题【解析版】

试卷第=page11页，总=sectionpages33页试卷第=page11页，总=sectionpages33页百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）理数全国卷III试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设，其中是虚数单位，则（）A． B．2 C．1 D．【答案】C【分析】先根据完全平方公式和复数的运算计算出，再根据复数的模的求法解出即可.【详解】解：因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模的求法，属于基础题.2．已如集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，再利用集合的交运算即可求解.【详解】解：集合或，所以，故选：A.【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数型复合函数的定义域，考查了基本运算能力，属于基础题.3．已知向量，，若，，则在上的投影为（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】先由题意，根据向量数量积的坐标表示，求出，再由向量投影的计算公式，即可得出结果.【详解】因为，，，所以，解得，所以，，所以在上的投影为.故选：A.【点睛】本题主要考查求向量在另一个向量上的投影，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量数量积的几何意义即可，属于基础题型.4．方程所表示曲线的大致形状为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】取，解得，令，解得，故排除C、D选项，又函数图象不是圆，从而得出答案.【详解】解：令，解得，令，解得，故排除C、D选项；易知该函数图象不是圆，排除B选项，又因为点满足条件，故选：A.【点睛】本题考查根据曲线方程选择曲线的图形，属于基础题.5．命题：“，”的否定形式为（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据含一个量词的命题的否定方法直接得到结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“，”的否定形式为：，，故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定，难度容易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.6．已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性，特殊值，及函数的取值范围依次判断，利用排除法，即可得出结果.【详解】解：由图象知，该函数为偶函数，排除B选项；当时，，而，排除A选项；令，所以，排除C选项，故选:D.【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数图像和性质，考查数形结合的能力，属于中档题.7．设函数与的图象关于直线对称，其中，且.则，满足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知函数图象上任意一点关于对称点在函数的图象上，代入利用对数的运算性质即可求解.【详解】解：设是函数图象上任意一点，则它关于直线对称的点在函数的图象上，所以，即，故选：C.【点睛】本题考查了互为反函数的性质，考查了基本知识的掌握情况以及基本运算能力，属于基础题.8．如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是（）A．该弹簧振子的振幅为B．该弹簧振子的振动周期为C．该弹簧振子在，和时的振动速度最大D．该弹簧振子在和时的位移不为零【答案】B【分析】周期是振子完成一次全振动的时间，振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图象直接读出周期和振幅，根据振子的位置分析其速度和加速度大小，振子处于平衡位置时速度最大，在最大位移处时，加速度最大.【详解】由图象及简谐运动的有关知识知，设其振动周期为T，则，解得，振幅，当或时，振动速度为零；该弹簧振子在和时的位移为零，故选：B【点睛】本题结合振动图象考查了振幅和周期的概念以及质点振动的速度，位移，要能结合x-t图象进行分析，属于中档题.9．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（）A．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期B．当时，的值域为；当时，的值域为C．为偶函数D．在实数集的任何区间上都不具有单调性【答案】B【分析】设任意，，利用周期的定义可判断A；根据值域的定义可判断B；利用偶函数的定义可判断C；实数的稠密性，函数值在和之间无间隙转换可判断D.【详解】解：设任意，，则，，A选项正确；易知的值域为，B选项错误；若，则，所以，若，则，所以，C选项正确；由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，两个无理数之间也有有理数，其函数值在和之间无间隙转换，所以无单调性；综上，故选：B.【点睛】本题考查了函数的基本性质，考查了基本知识的掌握情况，同时考查了分析能力、理解能力，属于基础题.10．设锐角三角形三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理知，即，则，化简可得，再根据角的范围可求出答案.【详解】解：因为，即，由余弦定理知，因为三角形为锐角三角形，所以，结合正弦定理得，，则，化简得：；因为，，所以，，即，故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理进行边角的互化，求边的范围，属于中档题.11．若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得做出函数简图，数形结合得，设函数的最小正周期为，由于，故，，再解不等式即可得答案.【详解】如图作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，因为，则，，结合有且，解得.故选：B．【点睛】本题考查三角函数的性质，考查数形结合思想与推理运算能力，是中档题.12．已知函数的导函数为，任意均有，且，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，求出导数，利用可得，进而可得，即得，利用导数讨论的变化情况，即可求出t的范围.【详解】设函数，则，因为，则，设，则，所以，即，，，则在单调递减，在单调递增，，又要使函数有两个零点，等价于曲线与有两个交点，所以实数的取值范围为故选:D．【点睛】本题考查构造函数，利用导数研究零点问题，属于中档题.二、填空题13．已知复数的虚部为零，为虚数单位，则实数________.【答案】【分析】先对复数化简，再由复数的虚部为零，列方程可求得结果【详解】解：，因为其虚部为零，所以，.故答案为：.【点睛】此题考查复数的除法运算，考查复数的有关概念，属于基础题14．已知，且，则________.【答案】【分析】由已知条件，结合同角正余弦的关系可求，又由诱导公式知即可求值.【详解】由，∴，又，即，，∴结合，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了同角的三角函数关系，结合诱导公式求三角函数值，属于基础题.15．函数，的最小值为________.【答案】【分析】令，可得，根据对勾函数的性质可得在单调递减，由函数的单调性即可求解.【详解】解：令，因为，所以，，令，由对勾函数的性质易知，在单调递减，即，所以函数在上的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了对数型复合函数的最值、利用函数的单调性求最值，考查了基本运算能力，属于基础题.16．设函数，若关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】作出函数的图象，设，设关于有两个不同的实数根、，可得知、，进而可知关于的二次方程在区间内有两个不等的实根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】作出函数的简图如图，令，要使关于的方程有且仅有个不同的实根，则方程有两个不同的实数根、，且由图知、，设，则有，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于难题.三、解答题17．已知顶点在坐标原点，始边在轴正半轴上的锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角的终边.（1）求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函数的定义可得，，再利用二倍角的正弦公式即可求解.（2）由，利用两角和的余弦公式可得，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】解：（1）由题意得，，所以，.（2），化简得，因为，所以，，.【点睛】本题考查了三角函数的定义、三角恒等变换、正弦函数的性质，需熟记公式，属于基础题.18．已知函数，.（1）若是函数的零点，求的值；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由，代入计算即可求得的值；（2）令，讨论的取值范围，结合定义域及复合函数的单调性依次讨论，,,,即可得出结果.【详解】解：（1）要使为函数的零点，即有，解得.（2）令，①当时，函数的定义域为，，因为在单调递减，由复合函数的单调性知，在上单调递减；②当时，由解得，，（i）当时，函数的定义域为，因为在单调递增，在单调递减，由复合函数的单调性知，在单调递增，在单调递减；（ii）当时，函数的定义域为，因为在单调递增，在单调递减，由复合函数的单调性知，在单调递增，在单调递减；（iii）当时，，不满足题意，无意义；（iv）当时，函数的定义域为，因为在单调递减，在单调递增，由复合函数的单调性知，在单调递减，在单调递增.【点睛】本题考查函数的零点，考查含有参数的复合函数的单调性的问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.19．已知函数的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设函数的最小正周期为，根据可求出，，根据可求出；（2）根据周期变换得到，然后求出在上的最小值，将不等式有解化为，再解关于的一元二次不等式可得解.【详解】（1）由题意得的最大值为2，最小值为，设函数的最小正周期为，则，解得，所以，，因为的图象过点，所以，即，因为，所以，.（2）因为将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，所以，当时，，则，因为不等式在上有解，即有，解得，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了根据三角函数的图象求解析式，考查了由图象变换求解析式，考查了不等式有解问题，属于中档题.20．2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件元，在收到平台投入的万元赞助费后，商品的销售量将增加到万件，为气象相关系数，若该销售商出售万件商品还需成本费万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润万元与平台投入的赞助费万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）（2）若对任意万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？【答案】（1），；（2）当满足时，该销售商才能不亏损．【分析】（1）根据总利润=赞助费+出售商品利润和已知得解；（2）由题得在上恒成立，设，利用导数求出函数的最大值即可得解.【详解】（1）由题意得，．（2）要使对任意（万元）时，该销售商才能不亏损，即有，变形得在上恒成立，而，设，，令解得，所以函数在单调递减，在单调递增，，因为，所以有，解得，即当满足时，该销售商才能不亏损．【点睛】本题主要考查函数和不等式的应用，考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．已知函数，，.（1）若函数在处的切线斜率为，求的值；（2）若任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出，根据题意，解方程即可求解.（2）求出，，令解得，，讨论或或或，求出函数的单调区间，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题即可.【详解】解：（1）因为，所以，因为函数在处的切线斜率为，所以，解得.（2）由（1）知，，，令解得，，①当时，，在上，，所以，单调递减；在上，，所以，单调递增；要使任意，恒成立，即有，解得，不满足；②当时，在上，，，所以，单调递增；在上，，，所以，单调递减；在上，，，所以，单调递增；要使任意，恒成立，即有，解得，不满足；③当时，结合②易知，在单调递增；在单调递减；在单调递增；要使任意，恒成立，即有，解得，所以，满足；④当时，在单调递增；在单调递减；要使任意，恒成立，即有，解得，所以，满足；综上：的取值范围为.）【点睛】本题考查了导数的几何意义、根据函数的斜率求参数值、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想以及分类讨论