数列的函数特性 课时作业 高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.1.2数列的函数特性

一、选择题1．对于数列,若,,（）,则下列说法正确的是()A. B.数列是单调递增数列C.数列是等差数列 D.数列是等差数列2．已知在数列中，，则数列的最小项是()A.第1项 B.第3项、第4项 C.第4项 D.第2项、第3项3．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.4．已知数列的通项公式为，则数列的前30项中最大项和最小项分别是()A.， B.， C.， D.，5．下列数列中，为递减数列的是()A. B. C. D.6．已知数列的通项公式为,若是递增数列,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.7．已知，则“”是“数列是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．已知数列的通项公式，记为数列的前n项和，若使取得最小值，则()A.5 B.5或6 C.10 D.9或10二、多项选择题9．下列是递增数列的是()A. B. C. D.10．下列四个数列中的递增数列是()A.1，，，，…B.，，，…C.-1，，，，…D.1，，，…，11．已知函数，设数列的通项公式为，则此数列()A.图象是二次函数的图象B.是递减数列C.从第3项往后各项均为负数D.有两项为1三、填空题12．已知数列是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是__________.13．已知，则数列的最大项的值为_________.14．若，则数列的最大项是第__________项.四、解答题15．已知数列的前项之积为，且．（1）求数列和的通项公式；（2）求的最大值．16．在数列中，且是递增数列，求实数k的取值范围.17．已知数列中,(,且).(1)若,求数列中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.18．在数列中,.(1)求证：数列先递增后递减；(2)求数列的最大项.19．已知数列中，（且）.（1）若，求数列中的最大项和最小项的值.（2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.

参考答案1．答案：ACD解析：对A,由题意,,故,故A正确;对B,因为,,,故B错误;对C,,故数列是等差数列,故C正确;对D,,故数列是等差数列,故D正确.故选：ACD.2．答案：D解析：根据题意，在数列中，，，根据二次函数的单调性得数列的最小项是第2项和第3项.故选D.3．答案：D解析：根据题意，，要使是递增数列，必有即可得.故选D.4．答案：A解析：，当时，，为正值，且随n的增大而减小，则在上是递减数列；当时，，为负值，且随n的增大而减小，则在上是递减数列.故数列的前30项中最大项是，最小项是.故选A.5．答案：D解析：对于A，，数列为递增数列，A不合题意；对于B，，当时，数列递增，当时，数列递减，B不合题意；对于C，，数列为递增数列，C不合题意；对于D，，数列为递减数列，D符合题意.故选D.6．答案：C解析：因为是递增数列,由时,可得,,所以当,,即,解得,又,所以,解得或(舍)综上:,即实数a的取值范围是.故选:C.7．答案：A解析：充分性：，因为的对称轴为，所以在单调递增，所以的最小值为，因为，所以，所以，即数列是递增数列，“”是“数列是递增数列”的充分条件，必要性：显然，当时，为递增数列，“”是“数列是递增数列”的不必要条件，综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.故选：A.8．答案：D解析：根据二次函数的性质：，当时，，当时，，当时，，所以，故当或10时，取得最小值.故选：D.9．答案：BC解析:对于A,,,,是摆动数列,不符合题意;对于B,,,,符合题意;对于C,,,,当时,,符合题意;对于D,,,,当时,,不符合题意;故选:BC.10．答案：CD解析：对于A，数列1，，，，…为递减数列，故不符合题意；对于B，数列，，，…为周期数列，且，故不符合题意；对于C，数列-1，，，，…为递增数列，故符合题意；对于D，数列1，，，…，为递增数列，故符合题意.故选：CD.11．答案：BC解析：由题意得，由数列与函数的关系可知，数列的图象是分布在二次函数图象上的离散的点，如图所示，故A错，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，只有第2项为1，从第3项往后各项为负数项，所BC正确，D错误，故选：BC12．答案：解析：因为数列是递增数列，所以对于任意，，则，化为，恒成立.因为数列单调递减，所以恒成立.13．答案：9解析：，当时，最大，其值为9.14．答案：8解析：，其对应的二次函数为，对称轴为，但n为正整数，所以离最近的整数为8，所以在第8项取最大值.故答案为：8.15．答案：（1）（2）解析：（1）①，∴②，由①②可得，由①也满足上式，∴③，∴④，由③④可得，即，∴，∴．（2）由（1）可知，则，记，∴，∴，∴，即单调递减，∴的最大值为．16．答案：因为所以所以.

又数列是递增数列，

所以，

即即，

又，所以，

故k的取值范围为.解析：17．答案：(1)(,且),.结合函数的单调性,可知；.数列中的最大项为,最小项为.(2).对任意的,都有成立,并结合函数的单调性,.即实数的取值范围为.解析：18．答案：(1)令,即,整理得,解得.令,即,整理得,解得.所以数