高安二中联考高二数学下学期期末试卷 理（含解析）-人教版高二数学试题

-学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分）1．复数z满足（1+i）2•z=﹣1+i，其中i是虚数单位．则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．[1，2]3．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．34．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）6．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣3，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为（）A．2， B．4，3 C．4， D．2，17．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A． B．4 C． D．68．已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞19．某企业打算在四个候选城市投资四个不同的项目，规定在同一个城市投资的项目不超过两个，则该企业不同的投资方案有（）A．204种 B．96种 C．240种 D．384种10．若不等式|x+|＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．2＜a＜3 B．1＜a＜2 C．1＜a＜3 D．1＜a＜411．给出下列四个结论：①若命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0；②“（x﹣3）（x﹣4）=0”是“x﹣3=0”的充分而不必要条件；③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；④若a＞0，b＞0，a+b=4，则的最小值为1．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足＞0，f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x则下列判断一定正确的是（）A．f（1）＜f（0） B．f（3）＞e3•f（0） C．f（2）＞e•f（0） D．f（4）＜e4•f（0）二、填空题（每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知函数f（x）=xn的图象过点（3，），则n=．14．已知随机变量X服从正态分布N（0，δ2），且P（﹣2≤x≤0）=0.4，则P（x＞2）=．15．二项式（2x2﹣）n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式的第3项的系数为．16．无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“和谐数”，如88，545，7337，43534等都是“和谐数”．两位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，988，9999，共90个；由此推测：八位的“和谐数”总共有个．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点所在直线的极坐标方程．18．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．19．十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，得到情况如下表：男公务员女公务员生二胎4020不生二胎2020（1）是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取3位30到40岁的男公务员，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望．附：K2=P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82820．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F分别是SC，BC的中点．（Ⅰ）证明：SD⊥AF；（Ⅱ）若AB=2，SA=4，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

-学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分）1．复数z满足（1+i）2•z=﹣1+i，其中i是虚数单位．则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设出复数z，利用复数相等，求解复数z，然后判断复数对应点所在象限即可．【解答】解：复数z=x+yi，满足（1+i）2•z=﹣1+i，可得2i（x+yi）=﹣1+i，解得x=，y=，z=（，），复数对应点在第一象限．故选：A．2．已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁RP=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁RP）∩Q=（1，2），故选：C．3．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+2）=﹣3，故选：C．4．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．5．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．6．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣3，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为（）A．2， B．4，3 C．4， D．2，1【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】本题可将平均数和方差公式中的x换成3x﹣2，再化简进行计算．【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5=2×5=10．∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是：′=[（3x1﹣2）+（3x2﹣2）+（3x3﹣2）+（3x4﹣2）+（3x5﹣2）]=[3×（x1+x2+…+x5）﹣10]=4，S′2=×[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x5﹣2﹣4）2]，=×[（3x1﹣6）2+…+（3x5﹣6）2]=9×[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x5﹣2）2]=3．故选B．7．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A． B．4 C． D．6【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．8．已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1【考点】映射．【分析】设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根，用判别式表示方程无实根，即判别式小于0，解出k的值．【解答】解：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根∴△=（﹣2）2﹣4•（2﹣k）＜0，1﹣2+k＜0∴k＜1，故选B9．某企业打算在四个候选城市投资四个不同的项目，规定在同一个城市投资的项目不超过两个，则该企业不同的投资方案有（）A．204种 B．96种 C．240种 D．384种【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论，①每个城市恰有一个项目，②有一个城市两个项目，另两个城市1个项目，③恰有两个城市，每个城市2个项目，分别计算其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，要在4个候选城市投资4个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则分3种情况讨论，每个城市恰有一个项目：A44=24．有一个城市两个项目，另两个城市1个项目：C41C32A42=144．恰有两个城市，每个城市2个项目：C42A42=72共24+144+72=240种，故选：C．10．若不等式|x+|＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．2＜a＜3 B．1＜a＜2 C．1＜a＜3 D．1＜a＜4【考点】不等关系与不等式．【分析】不等式对于一切非零实数x均成立⇔|a﹣2|+1＜．，利用基本不等式可得．再利用绝对值不等式的解法即可得出．【解答】解：∵不等式对于一切非零实数x均成立，∴|a﹣2|+1＜．∵≥2，当且仅当|x|=1时取等号．∴|a﹣2|+1＜2，即|a﹣2|＜1，∴﹣1＜a﹣2＜1，解得1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．故选C．11．给出下列四个结论：①若命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0；②“（x﹣3）（x﹣4）=0”是“x﹣3=0”的充分而不必要条件；③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；④若a＞0，b＞0，a+b=4，则的最小值为1．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用命题的否定即可判断出；②由x﹣3=0⇒（x﹣3）（x﹣4）=0，反之不成立，充分必要条件即可判断出；③由逆否命题的意义即可得出；④若a＞0，b＞0，a+b=4，则=化简再利用基本不等式即可得出．【解答】解：①利用命题的否定可得：若命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，正确；②由x﹣3=0⇒（x﹣3）（x﹣4）=0，反之不成立，因此“（x﹣3）（x﹣4）=0”是“x﹣3=0”的必要非充分条件，故不正确；③由逆否命题的意义可得：命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”，因此正确；④若a＞0，b＞0，a+b=4，则===1，当且仅当a=b=2时取等号，因此的最小值为1，因此正确．综上可知：只有①③④正确．故选：C．12．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足＞0，f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x则下列判断一定正确的是（）A．f（1）＜f（0） B．f（3）＞e3•f（0） C．f（2）＞e•f（0） D．f（4）＜e4•f（0）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造g（x）=，再求出g′（x），判断g（x）的单调性，再根据已知条件，判断即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）满足＞0，∴当x＜1时，f′（x）﹣f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．∴g（﹣1）＞g（0）．即∵f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x∴f（3）=f（﹣1）e4＞e﹣1f（0）•e4=e3f（0）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知函数f（x）=xn的图象过点（3，），则n=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），代入点的坐标，求出n的值即可．【解答】解：∵函数f（x）=xn的图象过点（3，），∴3n=，解得n=．故答案为：．14．已知随机变量X服从正态分布N（0，δ2），且P（﹣2≤x≤0）=0.4，则P（x＞2）=0.1．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．【解答】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（﹣2≤x≤0）=0.4，∴P（﹣2≤x≤2）=0.8则P（ξ＞2）=（1﹣P（﹣2≤x≤2））=0.1，故答案为：0.1．15．二项式（2x2﹣）n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式的第3项的系数为80．【考点】二项式系数的性质．【分析】由展开式中第3项与第4项的二项式系数相等可得，从而求得n值，再代入通项得答案．【解答】解：由题意可得，∴n=5．则展开式的第3项的系数为．故答案为：80．16．无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“和谐数”，如88，545，7337，43534等都是“和谐数”．两位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，988，9999，共90个；由此推测：八位的“和谐数”总共有9000个．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“和谐数”的定义和特点，一位的“和谐数”有10个，二位的“和谐数”有9个，三位的“和谐数”有9×10个，四位的“和谐数”有9×10个，五位和六位的“和谐数”总共有9×10×10个，位和八位的“和谐数”总共有9×10×10×10=9000个，从而得出结论．【解答】解：根据“和谐数”的定义，“和谐数”的首位和末尾是相同的，故两位或两位以上的“和谐数”的末尾不能为0，故末尾和首位有9种选择，其余的有10种选择．对于位数是偶数的“和谐数”，其中有一半位数确定了，这个数就确定了．对于位数是奇数的“和谐数”，最中间的那位数字可任意取，有10种方法．故一位的“和谐数”有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个；二位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共9×10=90个；四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共9×10=90个；故五位和六位的“和谐数”总共有9×10×10=900个，七位和八位的“和谐数”总共有9×10×10×10=9000个，故答案为：9000．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点所在直线的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由消去θ，得C1的直角坐标方程，再将x=ρcosφ，y=ρsinφ代入能求出C1的极坐标方程．（2）先求出C2的直角坐标方程，和C1的直角坐标方程联立，求出C1、C2的交点所在直线方程，由此能求出其极坐标方程．【解答】（1）解：∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），∴由消去θ，得C1的直角坐标方程：（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，即x2+y2﹣6x﹣8y+9=0将x=ρcosφ，y=ρsinφ代入得C1的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosφ﹣8ρsinφ+9=0．（2）解：∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，由ρ=4sinθ，得C2的普通方程为：x2+y2﹣4y=0，由，得：6x+4y﹣9=0，∴C1、C2的交点所在直线方程为6x+4y﹣9=0∴其极坐标方程为：6ρcosθ+4ρsinθ﹣9=0．18．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，¬q也为假命题，最后取交集即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，即命题P：a＞1或a＜﹣3；∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，∴4+（a﹣1）2＜8的内部，解得：﹣1＜a＜3，即命题q：﹣1＜a＜3，由pΛq为假命题，¬q也为假命题，∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．19．十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，得到情况如下表：男公务员女公务员生二胎4020不生二胎2020（1）是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取3位30到40岁的男公务员，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望．附：K2=P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2＜3.841，可得结论．（2）男公务员生二胎的概率为=，X～B（3，），由此求得X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）由于K2===＜3.841，故没有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．（2）题意可得，男公务员生二胎的概率为=，X～B（3，），X的分布列为X0123PE（X）=3•=2．20．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F分别是SC，BC的中点．（Ⅰ）证明：SD⊥AF；（Ⅱ）若AB=2，SA=4，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥BC．SA⊥AF．推出AF⊥平面PAD．然后利用直线与平面垂直的性质定理证明AF⊥SD．（Ⅱ）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一法向量，平面AEC的一法向量，通过斜率的数量积求解二面角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，可得△ABC为正三角形．因为F为BC的中点，所以AF⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．…因为SA⊥平面ACDB，AE⊂平面ABCD，所以SA⊥AF．而SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD且SA∩AD=A，所以AF⊥平面PAD．又SD⊂平面SAD，…所以AF⊥SD．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AF，AD，AS两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为SC，BC的中点，所以，，所以．设平面AEF的一法向量为，则因此取Z1=﹣1，则，…因为BD⊥AC，BD⊥SA，SA∩AC=A，所以BD⊥平面AEC，故为平面AEC的一法向量，且，…所以，…由于二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．…21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）直接求出a，b；（2）利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件；（3）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）【解答】所以k的取值范围是：（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣，y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）