高中物理人教版必修二教学案第七章第8节机械能守恒定律

第8节机械能守恒定律

1.动能和势能统称为机械能，即E=Ek+Ep。

2.在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能

可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫做机

械能守恒定律。

3.机械能守恒定律的表达式为：Eu+Ep尸Ek2+Ep2或

AEk=-\Ep.

在只有重力做功时，重力势能与动能相互转化，二

者之和保持不变；在只有系统内的弹力做功时，弹

性势能和动能相互转化，二者之和保持不变。

5.机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功。

课前自主学习，基稳才能楼高

一'动能与势能的相互转化

1.动能与重力势能间的转化

只有重力做功时，假设重力做正功，那么重力势能转化为动能；假设重力做鱼功，那

么动能转化为重力势能。

2.动能与弹性势能间的转化

只有弹力做功时，假设弹力做正功，那么弹性势能转化为动能；假设弹力做负功，那

么动能转化为弹性势能。

3.机械能

动能和势能（包括重力势能和弹性势能）统称为机械能，即E=Ek+Ep。

二'机械能守恒定律

1.推导

物体自由下落过程中经过4、8两位置，如下图。

o

2.内容

在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化,而总的机械能保持

不变。

3.守恒条件

物体系统内只有重力或弹力做功。

4.常用表达式

(l)Eki+Ei>i=£k2+Ei>2。

(2)Ek2~gki=£Di~gi>2,即AEk=—AEn。

(3)A&=­AEB。

1.自主思索一判一判

(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转换。(J)

(2)物体的机械能肯定是正值。(X)

(3)合力为零，物体的机械能肯定守恒。(X)

(4)合力做功为零，物体的机械能肯定守恒。(X)

(5)只有重力做功，物体的机械能肯定守恒。(J)

2.合作探究——议一议

(1)的诗词中曾写到“一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕”。试分析成吉思汗在弯弓

射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？

提示：箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能

转化；下落过程中，重力势能又向动能转化。

(2)用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆

回来时，会打到鼻子吗？试试看，并解释缘由。

提示：不会打到鼻子。联想伽利略的抱负斜面试验，假设没有阻力，铁锁刚好能回到

初位置，遵循机械能守恒定律。假设存在阻力，机械能损失，铁锁速度为零时的高度低于

开头下落时的高度，铁锁肯定不能到达鼻子的位置。

字课堂讲练设计，举一能通类题

机械能守恒的推断

6通知识

1.对机械能守恒条件的理解

(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内

能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，那么系统的机械能守恒。

(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，详细表现如下：

①只受重力作用，例如全部做抛体运动的物体机械能守恒。

②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示。

图甲中，小球在摇摆过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力那么只有重力做功，小

球的机械能守恒。

图乙中，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和4、B间的弹力

做功，4、3组成的系统机械能守恒。但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来

说是外力，A的机械能不守恒。

图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系

统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特殊留意。

2.推断机械能守恒的方法

(1)做功分析法(常用于单个物体)

只有重力对

物

体

物体做功

械

机

明确各力

守

能

|体受力|做功状况或者有其他

恒

力对物体做功,

J但W其=0

（2）能量分析法（常用于多个物体组成的系统）

[WtSl只有动能、重力系统机械

|量种类|势能、弹性势能今能守恒

演题组

1.如下图，以下四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中

的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的。图A、B中的尸为木块所受的外力，方向如图

中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在四个图所示的运

动过程中机械能守恒的是（）

解析：选C依据力的做功状况来推断机械能守恒的条件是只有重力（弹力）做功。在图

A、B中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力尸，因外力F做功，故机械能不守恒。

图D中因有摩擦力做功，机械能亦不行能守恒。只有图C中除重力做功外，其他力不做功,

故机械能守恒。

2.物体在平衡力作用下，以下说法正确的选项是（）

A.物体的机械能肯定不变

B.物体的机械能肯定增加

C.物体的机械能肯定削减

D.以上说法都不对

解析：选D物体在平衡力的作用下，保持静止状态或匀速直线运动状态。假如保持

静止状态，机械能不变。假如保持匀速直线运动状态，就有多种状况：当物体在水平面上

做匀速直线运动时，物体的高度和速度都不变，那么它的动能和势能也不变，所以机械能

不变；当物体向上做匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但物体的位置上升，势

能增加，所以机械能增加；当物体向下做匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但

物体高度降低，势能减小，所以机械能减小。一对平衡力做功之和为零，物体动能不变，

所以物体在平衡力作用下只能保证速度不变，不能保证高度不变，机械能可能增加，可能

削减，也可能不变。

3.如下图，一轻弹簧固定于0点，另一端系一重物，将重物从与悬点。在同一水平

面且弹簧保持原长的4点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由4点

摆向最低点8的过程中，以下说法正确的选项是()

心/

/

M/

穹，

人-7

4

A.重物的机械能守恒

B.重物的机械能增加

C.重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变

D.重物与弹簧组成的系统机械能守恒

解析：选D重物由A点下摆到3点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了

负功，所以重物的机械能削减，应选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力

做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物削减的重力势能，等于重物获得的

动能与弹簧的弹性势能之和，应选项C错误，D正确。

考点二

©通知识

1.运用机械能守恒定律的根本思路

(1)选取讨论对象——物体系统或物体。

(2)依据讨论对象所经受的物理过程，进行受力、做功分析，推断机械能是否守恒。

(3)恰当地选取参考平面，确定讨论对象初、末状态的机械能。

(4)依据机械能守恒定律列方程，进行求解。

2.对几种表达式的理解

(1)&1+41=及2+品2。这里应留意等式不是指某两个特殊的状态，而是过程中的每一

状态机械能的总量都是守恒的，但我们解题时往往选择与题目所述条件或所求结果相关的

状态建立方程式。另外表达式中吗是相对的，建立方程时必需选择适宜的参考平面，且每

一状态的岛都应是对同一参考平面而言的。

(2)AEk=-AEp,系统动能的增加量等于系统重力势能的削减量，可以不选择参考平面。

(3)AE.=-AEB,将系统分为4、8两局部，A局部机械能的增加量等于另一局部8的

机械能的削减量，可以不选择参考平面。

3.机械能守恒定律和动能定理的比拟

机械能守恒定律动能定理

E\=E2

表达式A&=—AEpW=A&

A&=-A&

重力或弹力做功的过程是动能与势合外力对物体做的功是动能变化的

物理意义

能转化的过程量度

应用范围只有重力或弹力做功无条件限制

关注守恒的条件和初末状态机械能的形

动能的变化及合外力做功状况

角度式及大小

谟方法

［典例］如下图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧必和抛物线瓦组成，圆

弧半径0a水平，〜点为抛物线顶点。h=2m,s=y［2m.取重力加速度大小g=10m/s?。

ao----

(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在左段轨道运动时，与轨道之间无相

互作用力，求圆弧轨道的半径；

(2)假设环从b点由静止因微小扰动而开头滑下，求环到达c点时速度的水平重量的大

小。

［审题指导］

(1)小环运动过程中只有重力做功，机械能守恒。

(2)小环在加段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，说明小环的运动为平抛运动。

(3)要想求得环到达c点时速度的水平重量的大小，应先确定c点速度与水平方向的夹

角。

［解析］(1)小环在反段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，即小环在该段以某一

初速度初,做平抛运动，运动轨迹与轨道8c重合，故有s=v“

,1,

h=2gt

从ab滑落过程中，小环机械能守恒，选b点为参考平面，那么有"+0

$2

联立三式可得7?=77=0.25mo

（2）小环在下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，小环机械能守恒，再选c点为参

考平面，那么有0+，〃且力=5282+0

由于小环滑到C点时与竖直方向的夹角等于⑴问中做平抛运动过程中经过C点时速度

与竖直方向的夹角,

Vb

设为仇那么依据平抛运动规律可知sin，=

7Vb?+2gh

依据运动的合成与分解可得sin

0c

联立可得v*+="曾m/s

［答案］(1)0.25m(2)当用m/s

机械能守恒定律表达式的敏捷选取

（1）单个物体机械能守恒的问题，可应用表达式Eki+Epi=Ek2+Ep2或AEk=-AEp列式

求解。

（2）两个物体组成的系统机械能守恒的问题，假设一个物体的动能、势能都在增加，另

一个物体的动能、势能都在减小，可优先考虑应用表达式A&=-AE»列式求解；假设两个

物体的动能都在增加（或减小），势能都在减小（或增加），可优先考虑应用表达式AEk=-AEp

列式求解。

。通题组

1.质量为30kg的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的距离是2.5m。小孩的

父亲将秋千板从最低点拉起L25m高度后由静止释放，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对

秋千板的压力约为（）

A.0B.200NC.600ND.1000N

解析：选C小孩由最高点运动到最低点的过程中机械能守恒，有mgh=^mv*2,在最

低点由牛顿其次定律产一"名=丁，解得尸=600N,C正确。

2.（2017•江苏高考）如下图，三个小球A、5、C的质量均为机，A与5、C间通过钱链

用轻杆连接，杆长为LB.C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长。现A

由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角a由60。变为120。。4、8、C在同一竖直平面内

运动，弹簧在弹性限度内，忽视一切摩擦，重力加速度为g。那么此下降过程中（）

A.A的动能到达最大前，B受到地面的支持力小于33?g

B.4的动能最大时，8受到地面的支持力等于务阳

C.弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下

D.弹簧的弹性势能最大值为坐,"gL

解析：选AB在A的动能到达最大前，A向下加速运动，此时A处于失重状态，那么

整个系统对地面的压力小于3”?g,即地面对8的支持力小于A项正确；当A的动能

最大时，A的加速度为零，这时系统既不失重，也不超重，系统对地面的压力等于3mg,

即8受到地面的支持力等于%唔，B项正确；当弹簧的弹性势能最大时，4减速运动到最低

点，此时4的加速度方向竖直向上，C项错误；由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能

最大值等于A的重力势能的削减量，即为"吆(Acos30°—Leos60°)=^.1ingL,D项错误。

3.如下图，在竖直平面内有由;圆弧和;圆弧5c组成的光滑固定轨道，两者在最

低点B平滑连接。AB弧的半径为R,BC弧的半径为一小球在A点正上方与A相距5处

由静止开头自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。

(1)求小球在B、A两点的动能之比；

(2)通过计算推断小球能否沿轨道运动到C点。

解析：(1)设小球的质量为机，小球在A点的动能为ERA,

由机械能守恒定律得

设小球在B点的动能为Ekih同理有EkH=，"g苧②

由①②式得等=5。③

⑵假设小球能沿轨道运动到C点，那么小球在C点所受轨道的正压力N应满意N20

④

设小球在C点的速度大小为vc9

7)(L

由牛顿其次定律和向心加速度公式有N+ing=m-^-(§)

2

由④⑤式得，Vc应满意mgWm”并⑥

D1

由机械能守恒定律得/砥刁⑦

由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。

答案：(1)5(2)能沿轨道运动到C点

考点三物体系统的机械能守恒

［典例］如下图，质量分别为3kg和5kg的物体4、B,用轻绳连接跨在一个定滑轮

两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，5物体距地面0.8m,求：

(1)放开5物体，当5物体着地时A物体的速度;

(2)8物体着地后A物体还能上升多高？(g取10m/s2)

［解析］(1)方法一：由Ei=&。

对4、8组成的系统，当8下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面,

2

那么mBgh=mAgh+^mA+niB)vo

,2(〃5一小)Ag1/2X(5-3)X10k

v=\jmA+mB\l3+5m/s=2m/so

方法二：由AE«=AEp减，得

2

mBgh—mAgh=刎A+mB)v9

得0=2m/So

方法三：由A&玷=AEB减,得

m/tgh-=niAgh+协加

得v=2m/so

(2)当3落地后，A以2m/s的速度竖直上抛，那么A上升的高度由机械能守恒可得

_1an0A222

niAVA11

niAgh'~2，.2g—2X10m=0.2mo

［答案］(1)2m/s(2)0.2m

值得关注的连接体问题中的两个关系

(1)距离关系。也就是相互连接的两物体发生的位移关系。当一个物体上升另一个物体

下降时，上升的竖直距离和下降的竖直距离不肯定相等，肯定要依据几何关系找出它们之

间的距离关系。

(2)速度关系。也就是两物体间的速度大小关系。假设是通过轻杆或轻绳连接的连接体,

那么它们沿着杆或绳子方向上的速度大小相等，依据这种速度关系找出它们之间的速度大

小关系；通过轻杆连接的连接体，往往都是共轴，相同时间内转过的角度相等。

。通题组

1.(多项选择)如下图，光滑细杆A3、AC在A点连接，A8竖直放置，AC水平放置，两

相同的中心有小孔的小球M、N,分别套在A8和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉

直，现由静止释放"、N,在运动过程中以下说法中正确的选项是()

A.M球的机械能守恒

B.M球的机械能减小

C.M和N组成的系统的机械能守恒

D.绳的拉力对N做负功

解析：选BC因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M

球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，

A、D错误。

2.如下图的是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面。一根不行伸长的细线两端分

别系着物体A、B,且，=由图示位置从静止开头释放物体A,当物体8到达圆柱顶

解析：由于圆柱面是光滑的，故系统的机械能守恒。系统重力势能的削减量

AEp<=肛40­—mngR,

2

系统动能的增加量\Ek>t=^(mA+mB)v,

由AEpj<=A£k增，得

2

mA(rY—mBgR=^(mA+inB)v,

又niA=2mB,

2

联立以上两式得v2=^(n—l)gR,

对物体8应用动能定理得，细线的张力对物体5做的功

1、.加+2

w=5加皿十根HgR=­§一机sgR。

.加+2

答案：一厂而昭R

课后层级训练，步步提升能力

一、基础题偏熟

1.关于机械能守恒的表达，正确的选项是()

A.做匀速直线运动的物体机械能不肯定守恒

B.做变速直线运动的物体机械能不行能守恒

C.合外力为零时，机械能肯定守恒

D.只有重力对物体做功，物体的机械能不肯定守恒

解析：选A物体做匀速直线运动，意味着所受合外力为零，但并不肯定满意机械能

守恒的条件，应选项A正确，C错误；只要满意机械能守恒的条件，不管物体做变速直线

运动，还是变速曲线运动，机械能均守恒，应选项B错误；只有系统内的重力对物体做功

时，机械能肯定守恒，应选项D错误。

2.自由下落的物体，其动能与位移的关系如下图，那么图中直线的斜率表示该物体的

A.质量B.机械能

C.重力大小D.重力加速度

解析：选C由机械能守恒定律，Ek=mgh,动能Ek与位移无的关系图线的斜率表示

该物体的重力大小，选项C正确。

3.如下图，质量为，〃的小球以速度内离开桌面。假设以桌面为零势能面，那么它经过

A点时所具有的机械能是（不计空气阻力）（）

mghB.^invo2—mgh

C.pnvo2D.pnvo2+mg（H~h）

解析：选C由机械能守恒定律可知，小球在A点的机械能与小球在桌面上的机械能

相等，其大小为；，〃如2,故C正确。

4.（2017•全国卷H）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。

一小物块以速度。从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下

端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为（重力加速度大小为g）（）

解析：选B设轨道半径为R,小物块从轨道上端飞出时的速度为力，由于轨道光滑，

依据机械能守恒定律有，/igX2R=%?02一/noF,小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对

运动分解有：x=0if,2R=&P,求得了='/-16，?一含）+器，因此当R—标=0,即/?=£

时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误。

5.从地面竖直上抛两个质量不同的小球，设它们的初动能相同，当上升到同一高度时

（不计空气阻力，选抛出点为参考面），那么（）

A.所具有的重力势能相等

B.所具有的动能相等

C.所具有的机械能不等

D.所具有的机械能相等

解析：选D因两小球质量不等，由重力势能表达式Ep=mg/?可知，上升到同一高度

时，所具有的重力势能不相等，选项A错误；上升过程中只有重力做功，故小球机械能守

恒，因初始动能相同，机械能相等，故上升到同一高度时机械能相等，从而动能不相等,

选项B、C均错误，D正确。

6.（多项选择）两个质量不同的小铁块4和8,分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧

面的顶点滑向底部，如下图。假如它们的初速度都为0,那么以下说法正确的选项是（）

A,下滑过程中重力所做的功相等

B.它们到达底部时动能相等

C,它们到达底部时速率相等

D.它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等

解析：选CD小铁块A和5在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，那么由mgH

=^mv2,得。=也由，所以4和8到达底部时速率相等，故C、D正确；由于A和6的

质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B

错误。

二、易错题每B月

7.小球尸和Q用不行伸长的轻绳悬挂在天花板上，尸球的质量大于Q球的质量，悬挂

尸球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如下图。将两球由静止释

放。在各自轨迹的最低点，（）

、、、、、、、、、、、、、、、、

.OQ

A.尸球的速度肯定大于Q球的速度

B.尸球的动能肯定小于Q球的动能

C.尸球所受绳的拉力肯定大于Q球所受绳的拉力

D.尸球的向心加速度肯定小于Q球的向心加速度

解析：选C两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守

恒，取轨迹的最低点为零势能点，那么由机械能守恒定律得，叫七=51。2,V=yl2gL,因

<LQ,那么。pVs,又，那么两球的动能无法比拟，选项A、B错误；在最低点绳

的拉力为尸，那么尸一『话=机7，那么尸=3『kg,因那么夕2>鼠，选项C正确；

F—mg

向心加速度a=~=2g,选项D错误。

8.（多项选择）一蹦极运发动身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面

还有数米距离，如下图。假定空气阻力可忽视，运发动可视为质点，以下说法正确的选项

是（）

A.运发动到达最低点前重力势能始终减小

B.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加

C.蹦极过程中，运发动、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒

D.蹦极过程中，重力势能的转变与重力势能零点的选取有关

解析：选ABC运发动到达最低点前，重力始终做正功，重力势能始终减小，A正确；

蹦极绳张紧后的下落过程中，运发动所受蹦极绳的弹性力方向向上，所以弹性力做负功，

弹性势能增加，B正确；蹦极过程中，由于只有重力和蹦极绳的弹性力做功，因而运发动、

地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒，C正确；重力势能的转变只与高度差有关，与重

力势能零点的选取无关，D错误。

三、能力题⑥通

9.（多项选择）如下图，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为

2”?的小球，B处固定质量为“，的小球，支架悬挂在。点，可绕过。点并与支架所在平面

相垂直的固定轴转动，开头时与地面相垂直。放手后开头运动，在不计任何阻力的状况

下，以下说法正确的选项是（）

A.A处小球到达最低点时速度为0

B.A处小球机械能的削减量等于B处小球机械能的增加量

C.B处小球向左摇摆所能到达的最高位置应高于A处小球开头运动时的高度

D.当支架从左向右回摆时，4处小球能回到起始高度

解析：选BCD因A处小球质量大，位置高，所以三角支架处于不稳定状态，释放后

支架就会向左摇摆。摇摆过程中只有小球受到的重力做功，故系统的机械能守恒，B、D正

确；设支架边长是，那么A处小球到最低点时小球下落的高度为:L,8处小球上升的高

度也是［乙，但4处小球的质量比8处小球的大，故有%的重力势能转化为小球的动能，

因而此时A处小球的速度不为0,A错误；当A处小球到达最低点时有向左运动的速度，

还要连续向左摆，6处小球仍要连续上升，因此3处小球能到达的最高位置比A处小球的

最高位置还要高，C正确。

10.如下图，固定的竖直光滑长杆上套有质量为的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹

簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开头下滑，弹

簧原长为L,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2〃未超过弹性限度），那么在圆环下滑

到最大距离的过程中（）

:WVW/Om

A.圆环的机械能守恒

B.弹簧弹性势能变化了小，"gL

C.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零

D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变

解析：选B圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力

势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度/?=小，依据机械

能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了AEp=mgh=y[3mgL,选项B正确；圆环释放后，圆

环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具

有向上的加速度，合力不为零，选项C错误。

“冲浪运动"，滑板运发动可在不同的滑坡上滑行。如下图，a机de为同一竖直平面内

依次平滑连接的滑行轨道，其中bed是一段半径R=2.5m的圆弧轨道，。点为圆心，c点

为圆弧的最低点。运发动脚踩滑板从高"=3m处由静止动身，沿轨道自由滑下。运发动连

同滑板可视为质点，其总质量股=6（）kg。忽视摩擦阻力和空气阻力，取g=10m/s2,求运

发动滑经c点时轨道对滑板的支持力的大小。

解析：运发动从开头滑下至C点，由机械能守恒定律得,①

运发动滑至最低点时，由牛顿运动定律和向心力公式得Bs一帆g斤②

由①②得FN=，〃S（1+竿）=2040No

答案：2040N

R,质量分别为M和皿〃＞，"）的两个小球（可看做质点）用不行伸长的细线相连。现将M

由静止沉着器边缘内侧释放，如下图，试计算M滑到容器底时，两小球的速率。

解析：将M和，“看做一个整体，整体在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，当M

滑到容器底时，M下降的高度为K,由几何关系知胆上升的高度为g/?,设M滑到容器底

时的速率为0,依据运动的合成与分解,"的速率为挈7。

依据机械能守恒定律有:

MgR-m2

4(M—y[i”i)gR

解得v=

m+2M

m的速率坐o=/2（知一人,"）版

m+2M'

2(M—y[2m)gR

答案：，〃的速率:-—m+2M-一

4(M—也m)gR

M的速率:

m+2M

重难点强化练（五）动能定理与机械能守恒定律的综合应用

1.（多项选择）滑块以速率S靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到动身点时速

率变为力，且。2＜。1。假设滑块向上运动的位移中点为4,取斜面底端重力势能为零，那么

（）

A.上升时机械能减小，下降时机械能增大

B.上升时机械能减小，下降时机械能也减小

C.上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方

D.上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方

解析：选BC由也可知，斜面与滑块间有摩擦，无论上升还是下降时，都有机械

能损失，故B正确。动能和势能相等时，由于连续上升要克服摩擦阻力，增加的重力势能

小于此时的重力势能，那么该点位于A点上方，故C正确。

2.（多项选择）如下图，一个质量是25kg的小孩从高为2m的滑梯顶端由静止滑下，滑

究竟端时的速度为2m/s（g取10m/s2）o关于力对小孩做的功，以下结果正确的选项是

)

A.重力做的功为500J

B.合外力做功为50J

C.克服阻力做功为50J

D.支持力做功为450J

解析：选AB重力做功与路径无关，WG=，〃g/z=25X10X2J=500J,A项正确；合

外力做功有W=AEk=%i"=；X25X22J=50J,B项正确；W=WG+W»=50J,所以W

M=-45（）J,即克服阻力做功为450J,C项错误；支持力始终与速度垂直，不做功，D项

错误。

3.（多项选择）目前，在地球四周有很多人造地球卫星围着它运转，其中一些卫星的轨

道可近似为圆，且轨道半径渐渐变小。假设卫星在轨道半径渐渐变小的过程中，只受到地

球引力和淡薄气体阻力的作用，那么以下说法正确的选项是（）

A.卫星的动能渐渐减小

B,由于地球引力做正功，引力势能肯定减小

C.由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变

D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小

解析：选BD由于空气阻力做负功，卫星轨道半径变小，地球引力做正功，引力势能

肯定减小，动能增大，机械能减小，选项A、C错误B正确。依据动能定理，卫星动能增

大，卫星克服阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减

小，所以卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小，选项D正确。

4.（多项选择）如下图，竖直弹簧下端与地面固定，上端拴接一小球，小球在竖直力尸作

用下，将弹簧压缩。假设将力厂撤去，小球将向上弹起，直到速度变为零为止。在小球上

升过程中（）

A.小球动能先增大后减小

B.小球动能与弹簧弹性势能之和先减小后增大

C.小球动能与弹簧弹性势能之和不断减小

D.小球动能减小为零时，重力势能最大

解析：选ACD撤去力尸时，弹力大于重力，小球所受合外力向上，加速度向上，小

球向上做加速运动，当弹力减小到与重力平衡时，加速度为零，速度最大，之后，弹力小

于重力，合外力向下，加速度向下，小球向上做减速运动，直至速度减为零，故整个过程

中小球动能先增大后减小，选项A正确；因上升过程中，重力始终对小球做负功，因此，

小球的动能与弹簧弹性势能之和不断减小，选项B错误，C正确；由以上分析可知，小球

速度减为零时，上升至最大高度，即重力势能最大，应选项D正确。

5.小球从肯定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。

取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。以下速度。和位置x的关系图像

中，能描述该过程的是（）

解析：选A由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为E,小球离地面高度

1。2F

为x时速度为己，那么有机gx+］机浮=E,可变形为工=一西+前，由此方程可知图像为开

口向左、顶点在（毒，0）的抛物线，应选项A正确。

6.如下图，一滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开头滑下，当滑到最低点时，关于滑块

的动能大小和对轨道的压力，以下说法正确的选项是（）

A.轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大

B.轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关

C.轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越小

D.轨道半径变化时，滑块的动能和对轨道的压力都不变

解析：选B设滑块滑到最低点时的速度为。，由机械能守恒定律得,咫/?=）加2,故

轨道半径越大，滑块在最低点时的动能越大；滑块对轨道的压力FN=mg+^~=3mg,与

半径的大小无关。应选项B正确。

7.如下图，固定在竖直平面内的光滑圆轨道A3CQ,其A点与圆心等高，D点为最高点，

。〃为竖直方向上的直径，AE为水平面。今使小球自4点正上方某处由静止释放，且从A

处进入圆轨道运动，只要适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点。（不计空

气阻力）。那么小球通过。点后（）

A.肯定会落到水平面AE上

B.肯定不会落到水平面AE上

C.肯定会再次落到圆轨道上

D.可能会再次落到圆轨道上

解析：选A小球在轨道内做圆周运动，通过最高点时的最小速度为砺，离开轨道后

小球做平抛运动，假设竖直方向下落r,那么水平方向的最小位移s=^X'借=<ir,所

以小球只要能通过最高点O,就肯定会落到水平面AE上。应选项A正确。

8.如图，一半径为R、粗糙程度到处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径尸OQ水平。

一质量为，”的质点自尸点上方高度R处由静止开头下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到

轨道最低点N时，对轨道的压力为4〃?g,g为重力加速度的大小。用W表示质点从尸点运

动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。那么（）

•m

PQ

Lr

A.W=^mgR,质点恰好可以到达Q点

B.W>^mgR,质点不能到达Q点

C.W=LngR,质点到达Q点后，连续上升一段距离

D.忌机gR,质点到达Q点后，连续上升一段距离

解析：选C设质点到达N点的速度为0N,在N点质点受到轨道的弹力为尸N,那么

尸N—"吆=器一，尸N=FN'=4mg,那么质点到达N点的动能为EkN=；，"？A，2=/ngK。质点

由开头至N点的过程，由动能定理得《1夕2/?+叫=£^、，一0,解得摩擦力做的功为叼=一;

mgR,即克服摩擦力做的功为W=-Wf=^mgRo设从N到Q的过程中克服摩擦力做功为

W',那么W'<W。从N到Q的过程，由动能定理得一，"gR-W'=%«汝2-3Msy2,即；,〃gR

2

-W'=|mrQ,故质点到达Q点后速度不为0,质点连续上升一段距离。选项C正确。

9.（多项选择）如图，滑块a、b的质量均为,〃，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相

距h,b放在地面上。a、b通过较链用刚性轻杆连接，由静止开头运动。不计摩擦，a、b

可视为质点，重力加速度大小为g。那么（）

A.a落地前，轻杆对5始终做正功

B.a落地时速度大小为啦赢

C.a下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D.a落地前，当a的机械能最小时，〃对地面的压力大小为胆g

解析：选BD由题意知，系统机械能守恒。设某时刻a、B的速度分别为人、vb.此

时刚性轻杆与竖直杆的夹角为0,分别将为、力分解，如图。由于刚性杆不行伸长，所以

沿杆的分速度。〃与0〃’是相等的，即o“cos，=①,sin0。当a滑至地面时，=90°,此时

=0,由系统机械能守恒得机=解得0a=\j2gh,选项B正确。同时由于方初、末

速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对6先做正功后做负功，选项A错误。

杆对b的作用先是推力后是拉力，对a那么先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的

向下的拉力作用时大于g,选项C错误。〜的动能最大时，杆对a、〃的作用力为零，此时

a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以》对地面的压力大小为"?g,选项D正确。正

确