高中数学青年教师解题比赛试卷

中学数学青年老师解题竞赛试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.全卷共5页,

满分为150分.考试时间120分钟.

n第I卷（选择题共60分）

Hv

-*

参考公式:

三角函数和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式

sin6+sin0=2sin"cos仁S台=5（c'+。）/其中C，、C分别表示

22

sinO-sin。=2cos上、下底面周长,/表示斜高或母线长

22

-£

八」-e+。e—0嚏体=/炳+S>7

cos夕+cos。=2cos—广cos台体的体积公式:

2

6+0,0-<b

cos。一cos。=-2sin------sin------其中S'、S分别表示上、下底面积，力表示高

22

3

s，三

题号—>二总分

171819202122

分数

、

「

二

J一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

-d

是符合题目要求的.每小题选出答案后，请填下表中.

题号123456789101112

答案

（1）常数T满意sin（T+x）=-cosx和tg（T-x）=ctgr,则T的一个值是（）.

TTIT

(A)-n(B)TV(C)--(D)-

22

(2)在等差数列｛/｝中，q+34+小=120,则2a9-的值为().

(A)24(B)22(C)20(D)-8

(3)设点P对应复数是3+3i,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐

标系，则点P的极坐标为().

(A)(3"芝|(B)13立用(C)134)(D)1年

(4)设A、8是两个非空集合，若规定：A—5=月/eB｝,则A—

等于().

(A)B(B)ACIB(C)AU8(D)A

(5)函数)=/(x)的图象与直线x=l的交点个数为().

(A)0(B)1(C)2(D)0或1

(6)设函数/(x)=Asin(<yx+>)(其中A>0⑷>0,xeR),则/(0)=0是/(x)为

奇函数的().

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(7)如图，在斜三棱柱ABC—A4G中，NB4C=90°,BCt±AC,过C;作

GaJ•底面ABC,垂足为“，则().R

(A)”在直线AC上(B)”在直线AB上X.

(C)”在直线BC上(D)”在△ABC内BC

(8)电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超

过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费则通话收S(元)与通话

时间r(分钟)的函数图象可表示为().

(A)(B)(C)(D)

22r22

(9)以椭圆工+工=1的右焦点为圆心,且与双曲线\一Jv=1的渐近线相

169144916

切的圆的方程为().

(A)x2+y2-10x+9=0(B)x2+y2-10x-9=0

(C)x2+/+10x-9=0(D)x2+/+10x+9=0

(10)已知(l+2x)"的绽开式中全部项系数之和为729,则这个绽开式中含/项

的系数是().

(A)56(B)80(C)160(D)180

(11)A3是过圆锥曲线焦点F的弦，/是与点F对应的准线，则以弦AB为直

径的圆与直线/的位置关系().

(A)相切(B)相交(C)相离(D)由离心率e确定

(12)定义在R上的函数y=/(-x)的反函数为丁=广依)，则旷=/(6是().

(A)奇函数(B)偶函数

(C)非奇非偶函数(D)满意题设的函数/(x)不存在

第n卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横

线上.

(13)函数y=sinX[TC<X<—)的反函数是.

(14)已知抛物线的焦点坐标为(2,1),准线方程为2x+y=0,则其顶点坐标为

A

(15)如图，在棱长都相等的四面体A—BCD中，

E、F分别为棱A。、3C的中点，则直线B//\r\D

AF.CE所成角的余弦值为.rxi/X

C

(16)甲、乙、丙、丁、戊共5人参与某项技术竞赛，决出了第1名到第5名

的名次.甲、乙两名参赛者去询问成果，回答者对甲说：“很缺憾，你

和乙都没拿冠军”，对乙说：''你当然不是最差的.”请从这个回答分析，

5人的名次排列共可能有种不同状况(用数字作答).

三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

(17)(本小题满分10分)

已知复数"=cosA+2icos2C,其中A、C为△ABC的内角，且三个内角

2

鼠满意2B=A+C.试求的取值范围.

施

郢

（18）（本小题满分12分）

已知曲线C上的任一点M（x,y）（其中x20），到点A（2,0）的距离减去它到

y轴的距离的差是2,过点A的一条直线与曲线C交于P、。两点，通过点P和坐标原点的直

线交直线x+2=0于N

（I）求曲线C的方程；

（II）求证：N0平行于x轴.

（19）（本小题满分12分）

是否存在一个等差数列&},使对随意的自然数〃，都有2"•ata2…%=

(20)(本小题满分12分)

如图，△ABC是一个遮阳棚，点A、3是地面上

南北方向的两定点，正西方向射出的太阳(用点

。表示)光线OCD与地面成锐角0.

(I)遮阳棚与地面成多少度的二面角时，

才能使遮影△A3。面积最大？

(II)当AC=3,BC=4,AB=5,6=30°时，试求出遮影△A3。的最

大面积.

（21）（本小题满分14分）

甲、乙、丙三种食物维生素A、8含量及成本如下表:

项目甲乙丙

维生素A（单位/千克）600700400

维生素8（单位/千克）800400500

成本（元/千克）1194

酸某食物养分探讨所想用x千克甲种食物、y千克乙种食物、z千克丙种食物

配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000

磔单位维生素A试用x、y表示混合物的成本M（元）；并确定x、y、z的值,

使成本最低.

(22)(本小题满分14分)

定义在(一1,1)上的函数f(x)满意：①对随意x、yw(-1,1),都有/(》)+/()，)=/[]三

②当xe(-l,O)时，有/(x)>0.

证明：(I)函数/(x)在(-1,1)上的图象关于原点对称；

(II)函数/(x)在(-1,0)上是单调减函数；

(111)伊总卜…

中学数学青年老师解题竞赛试卷

参考答案

一、选择题：

题号1234567891()1112

答案cABBDcBcAcDD

2

二、填空题：(13)y=7r-arcsinx,xe[-1,0](14)1,(15)-(16)54

3

三、解答题:

（17）（本小题满分10分）

解：由AABC的内角关系之二:2灯=5=60。=华

又〃=cosA+2zcos2g=cosA+z(l+cosC)

1+cos2A1+cos2c

贝ijI”-f|=Vcos2A+cos2C-------------+-------------

22

1+g(cos2A+cos2C)

1—-cos(A—C)

〜A-C=120°-2C

由4+。=120。=/、=>-1200<A-C<120°

A,Ce(0°J20°)

n-g<cos(A-C)<1

历

从而《\u—/|为^^求.

（18）（本小题满分12分）

（I）解：由题设知：曲线C上随意一点M（x,y）到定点A（2,0）距离等于它到直线x=-2的距离.

由抛物线定义知：

曲线C的方程为V=8x…

（注：若不限制心0,抛物线C还可为y=0（x<0）,即x轴负半轴）

（II）证明：①当过点A的直线不与x轴垂直时，斜率Kpq存在,

设P。方程为），=《-2）

y2=^X尸/斗_]6=0

由<

y=k(x-2)k

n=T6

又直线OP方程为y=

Xp…浮一2

而点N在直线OP上，也在直线x=-2上

।rvp”=4-(-2)=—

麻.叽司二.]

)(\而处为=-16

(证0、N点纵坐标相等)=以=%

故NO〃x轴

②当过点A的直线P。与x轴垂直时，结论明显成立

(19)(本小题满分12分)

解：若存在一个等差数列｛〃“｝满意题设，则

〃=1时，有2〃]=En〃[=1；

〃=2时，有2?a。=厅ng=3；

3

〃=3时，有2ala2a3=n%=5.

・・・猜想存在这样的一个数列｛an｝的通项为%=2〃-1(〃eN)

以下用数学归纳法证明：

(1)当〃=1时，卬=1满意%=2〃-1

(2)假设〃=H2£N)满意题设，

即2"./2…耿=既成立

当〃=2+1时,…4-a〃+i=26>%+1

=2(24+1).成

即…(2Z—1*2左+1)=2(2%.1・2.3-5…(2%—0(2%+1))

=2(k+抽+2)…(无+k)-(2k+1)

=(%+2)(%+3)…(&+1〉(％+%+*%+%+2)

=片2)

则”=z+i也成立.

综上(1)、(2)知a,,=2〃—1对〃eN都有2%〃2…4=石：成立.

。、太阳

(20)(本小题满分12分)

E'

AB

(I)解：设”为点。在地面的射影,

D

连结HD交AB于E.

则NCOE=e,且0"，平面AB。]

』OH1AB、

48<=平面48。」-nAB，平面O”O

又A3是南北方向，CD是西东方向，则CD，AB-

JABLOE=>DE是△A3。中AB边上的高

^[ABLCE且NCEO是C—AB—O的平面角.

在△A3。中，要使面积最大，只须OE最大

rp

而△CDE中，由正弦定理。E=-------sin/OCE.（目标函数中sindCE均为定值）

sin。

所以，当NDCE=90°时.sinNDCE最大，则DE最大，

从而NCEO=90。—6时:遮影△4BO面积最大.

（II）解：当AC=3,BC=4,AB=5,6=30°时，

（S./=1•A5"=g5/=12为所求.

（21）（本小题满分14分）

（I）依题设知：M=1T+9y+4z

又x+y+z=100=z=100-x-y代入上式

则M=400+7x+5y为所求.

,、……"600x+700y+400z256000①

（ID由题设得《

800x+40（》+500z>63000②

将z=100-x-y分别代入①、②得：

j2x+3y>160

[3x-y>130

止匕时M=400+7x+5y

=400+2（2x+3y）+（3x-y）

>400+2-160+130

=85（）

当且仅当[2x+3,=160即（X=50时取等号

[3x-y=130[y=20

答:当x=50千克，y=20千克，z=30千克成本最低为850元.

（22）（本小题满分14分）

证明：⑴由条件①可取>=一工€（-1,1）,则/（6+/（7）=/（0）、

再取y=0e（-1,1）,则f（x）+/（0）=f（x）J=