新人教版初中数学8年级下册16章学案学案（二）

16.1.1从分数到分式

学教目标：1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。

2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号

感。

3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数

量关系的一类代数式。

学教重点：分式的概念和分式有意义的条件。

学教难点：分式的特点和分式有意义的条件。

学教过程：

一、温故知新：

1、什么是整式？，整式中如有分母,

分母中（含、不含）字母

2、下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？

3、阅读“引言”，“引言”中出现的式子是整式吗？

4、自主探究：完成P2的“思考”，通过探究发现，上、上、—幽、一”一与分

a520+v20-v

数一样，都是的形式，分数的分子A与分母B都是,

并且B中都含有。

5、归纳：分式的意义：«

代数式一、-----一、一、---------、------都是__________。分数有意乂

axas20+v20-v

的条件是。那么分式有意义的条件是。

二、学教互动：

例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

b-3m(n+p)

(1)5x-7(2)3x2-l(3)

2a+l7

x2一孙+y224

(5)—5(6)(7)(8)

2x-l75b+c

例2、P3的“例1”填空：

2

（1）当x_________时，分式已有意义

3x

（2）当x时，分式」二有意义

x—\

(3)当b时，分式」一有意义

5-3/7

(4)当x、y满足关系时，分式直立有意义

例3、x为何值时，下列分式有意义？

2

X/、x~—6x+5a-4

(1)(2)-------(3)

X—1x2+l。+2

三、拓展延伸:

例4、x为何值时,下列分式的值为0?

X—1x2-9

(1)②---kH

X+1%+3x-l

四、课堂小结

P6的“练习”和P11的1、2、3

五、反馈检测：

-/、x+y/、3入、x1…x2+AT+y2,、a-b

1、下列各式中，(1)——-(2)——(3)-----(4)------>>(5)----

x-yx+13x7i5

3

(6)0.(7)-(x+y)

整式是，分式是o(只填序号)

x

2、当小_____时，分式——没有意义。

X+2

r2-l

3、当x=时，分式^―的值为0。

x+1

4、当*=时，分式注的值为正，当*=时，分式上二'•的值为非负数。

/a2+1

5、甲,乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则。小时相遇;若同而行则b小时甲追

上乙,那么甲的速度是乙的速度的()倍.

ba+bb-ab+a

6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式.如果一次乒乓球比赛有

x名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有

场

7、使分式尸-3没有意义的x的取值是()

x"—x—6

A.-3B.-2C.3或一2D.±3

五、小结与反思：

6.L2分式的基本性质(1)

学教目标：1、能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质。

2、理解并掌握分式的基本性质，能进行分式的等值变形。

学教重点：分式的基本性质及其应用。

学教难点：利用分式的基本性质，判断分式是否有意义。

学教过程：

一、温故知新：

1、小学里学过的分数的基本性质的内容是什么？

由分数的基本性质可知，如数cWO,那么±22c—4c=-4

33c5c5

2、你能通过分数的基本性质猜想分式的基本性质吗？试一试归纳：分式的基

本性质：_________________________________________________

用式子表示为__________________________________________________

3、分解因式(1)X2-2X=(2)3x2+3xy=

(3)a2-4=(4)a2-4ab+b2=

二、学教互动：

1、例1、P5的“例2”

2、填空：(1)现=—、(2)=一。

aaby3(y+z)y+z

3、例2、下列分式的变形是否正确？为什么？

⑴f、⑵工丝竺。

xxa+ba-b^

八3,

2a-b

4、例3、不改变分式的值，使分式；~二的分子与分母各项的系数化为整数

—a+b

3

三、拓展延伸：

四、例4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号：

_2x/、3m

⑴为(2)——(3)——

3y一4〃

一4〃z/、-2a

(4)(5)----(6)

5〃—3b-2a

四、反馈检测：

1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号:

-2ma

(1)、(2)

n

m—1,、a2-4a—2,、ab+ab~ah

2、填空：(1)--------=—(2)-------=、(3)=—

ab(\-777)ab(。+2----------------3+3b

3、若把分式上-中的x、y都扩大3倍，那么分式的值是

工一丁

4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数。

(1)-(2)(3)

-2x-1—x+3%+1

5、下列各式的变形中，正确的是()

b-aab-aab-\b

A-=2B.-----=-

aaac-\c

-3a3a0.5x5x

C.二D.----=—

1-bb-\y2y

6、下面两位同学做的两种变形，请你判断正误,并说明理由.

甲生：x_y=(x_y)(x+)，)=J_y2；

x+y(x+y)2(x+y)2'

7小x—y(x-y)2(x-y)2

x+y(x+y)(x-y)/_/

五、小结与反思：

16.1.2分式的基本性质(2)——(约分)

学教目标：1、进一步理解分式的基本性质，并能用其进行分式的约分。

2、了解最简分式的意义，并能把分式化成最简分式。

3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。

学教重点：分式的约分。

学教难点：利用分式的基本性质把分式化成最简分式。

学教过程：

一、温故知新：

1、分式的基本性质是：用式子表示。

2、分解因式：(1)X2—y2、(2)x2+xy、(3)9a2+6ab+b2、(4)x2+x-6,

自主探究：P8的“思考

归纳：分式的约分定义：_____________________________________

最大公因式：所有相同因式的最次暴的积

最简分式：______________________________________________________

二、学教互动：

1、例1、P9的“例3”

通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是什么？

2、例2、约分：

m2-5m+6m2-2m-15x2+6x+9

⑴-----r(2)1---(-3-)----

m~+，〃一6m~+4"?-21X2-9

三、拓展延伸:

约分：

m~-5m+6〃>2〃15、J-)/,

(1)、(2)(3)

m~+m-6m2+4/n-21x2+2xy+y2

四、反馈检测：

约分：

,、-2\a3bc5x-2v

(1)——(2)——-------——-

56aWd25x2-20xy+4y2

a2-16,、M2一15根+5o

---------、(4)-----------

a"+8a+16机~+17机+70

m'-3m+2

(5)

tn2-m

五、小结与反思:

6.1.2分式的基本性质(3)(通分)

学教目标：1、了解分式通分的步骤和依据。

2、掌握分式通分的方法。

3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。

学教重点：分式的通分。

学教难点：准确找出不同分母的分式的最简公分母。

学教过程

一、温故知新：

1、分式的基本性质的内容是用式子表示

2、计算：-+-,运算中应用了什么方法？这个方法的依据是什么？

23

4、猜想：利用分式的基本性质能对不同分母的分式进行通分吗？

自主探究：P8的“思考

归纳：分式的通分：_________________________________________________________

二、学教互动：

例1、P7的"例4”。

最简公分母：________________________________________________________________

通分的关键是准确找出各分式的

X—22x-35

例2、分式的最简公分母()

(1)2(1—X)，1

A.(x-1)2B.(x-1)3\(x-l)D.(xT)'(1-x)3

例3、求分式一!一、2、简公分母，并通分。

ci—bci~—。b~

三、拓展延伸：

P8的"练习”的2.

五、反馈检测：

a-161x2

1、通分：(1)--r-,——、_______________、(3)—_____

6ab29a2bc+2。+1'。2-1x'x+l'3x

2、通分：(1)」一,」一(2)

,上(3)工,」一

Q—11—CI2x+2-3ab\5crbc

3、分式--------,---,--------的最简公分母是)

a"—2。+1a—1Q~+2Q+1

4

A.(Q--1)~B.(o'*—1)(Q_+1)C.(tz~+1)D.(tz—l)

五、小结与反思；

16.2.1分式的乘除(一)

学教目标

1.理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行简单的分式乘除运算；

2.经历探索分式的乘除法运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性。

3培养学生的观察、类比、归纳能力和与同伴合作交流的情感

学教重点：掌握分式的乘除运算

学教难点：正确运用分式的基本性质约分

学教过程：

一、温故知新:

阅读课本Pl314

与同伴交流，猜一猜2x4=---=八c不为一

acac

观察上面运算，可知：

分数的乘法法则：__________________________________________________________

分数的除法法则：__________________________________________________________

你能用类比的方法的出分式的乘除法法则吗？

分式的乘法法则：___________________________________________________________

分式的除法法则：___________________________________________________________

用式子表示为：即2x4=-v-=-x-^=这里字母a,b,c,d都是

aCacad

整数，但a,c,d不为.

二、学教互动：

例1、计算：｛分式乘法运算,进行约分化简，其结果通常要化成最简分式或整式｝

(1)3T(2)£12._L_⑶3H二6X+9

3y2x3a-2a-+2ax-3x-4

例2计算：(分式除法运算，先把除法变乘法)

a-[,]

(1)3后更(2)-----------(3)

Xxy-yx+xa2-4a+4a2-4

三、课堂小测

1.计算：

、2h-4a2

(1)--------

a4Z?c2

x2-].x+1

(3)

yy2

(5)(a2—a)^-^―(6)!注

a-1yy

2.代数式王生+山有意义的x的值是（）

x-3x-4

A.xW3且xW—2B.x#3且xW4

C.x¥3且xW—3D.xW-2且x¥3且xW4

3.甲队在〃天内挖水渠。米，乙队在机天内挖水渠b米，如果两队同时挖水渠，要

挖x米，需要多少天才能完成？（用代数式表示）

Y~Y

4.若将分式一—化简的一^,则x应满足的条件是（）

X+XX+1

A.x〉0B.x<0C.X/OD.xH—1

,,.八q机？+4〃z+4m2+2m„

5.若m等于它的倒数，则分式——；------+---------的值为________

m~-4m-2

a2-1a2—a«-2,a-2x+2y10加

6.计算(1)

a2+2a+la+\。+3a2+6a+95a2bx2-y2

五.小结与反思:

16.2.1分式的乘除（二）

学教目标：

1.能应用分式的乘除法法则进行乘除混合运算。

2.能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除混合运算。

3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。

学教重点：掌握分式乘除法法则及其应用

学教难点：掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算

学教过程：

一、温故知新：

阅读课本P|2-13

1.分式的约分：____________________________________________

最简分式：____________________________________________

下列各分式中，最简分式是（）

A34（x-y）B-―-c♦+1口.入/

85（x+y）x+yx2y+xj2（x+y）2

2.分解因式：x2y-2xy2+y3=3

3x2-na2b2-0.Qi=

2,x~+2.xH—_4y~+x+2y=

2

、、皿,、3515

3.计算(1)—x—^--=

264

4.分数乘除法混合运算顺序是什么？______________________________________

分式的乘除法混合运算与分数的乘除法混合运算类似

你能猜想出分式的乘除法混合运算顺序吗？

二、学教互动：

例1.计算（先把除法变乘法，把分子、分母分解因式约分，然后从左往右依

次计算）

X1-4r+43-r

注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式。

三、随堂练习

1.计算

a-2-4

(2)(ab—fr')4-------

a+3a2+6a+9

2.已知饱-6+1|+卜〃-|'=0.求占司（占）（/）］的值

四.反馈检测：

111

1.已知：X4-=3,则XH-----=

XX

2.计算（二1的结果是（）

16-加~m-4m-

18z+而2舟8战

4.先化简，再求值:

+2x—8(x—2x+4

其中X---

x3+2x2+xIxx+\5

五.小结与反思：

16.2.1分式的乘除（三）

学教目标：

1.能应用分式的乘除法，乘方进行混合运算。

2.能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除乘方混合运算。

3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。

学教重点：掌握分式乘除法法则及其应用

学教难点：掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算

学教过程：

一、温故知新：

阅读课本Pl4-I5

1.分式的乘除法法则：___________________________________________

.a2aaa'3_色.色.色_=川

2.观察下列运算：b~b*b-P-'bbbbb3'

分式的乘方法则：公式：文字叙述：

请同学们叙述分数乘方乘除混合运算顺序：

分式乘方乘除混合运算法则顺序：____________________________________________

二、学教互动：

三、拓展延伸

1.下列分式运算，结果正确的是（）

m4n4m

A----'-----=—

n5m3n

2

la4a2(3x、,3/

C.D

a-b

.1x~6x+9x+3.,,

2.已知：尤=一，求-----------4---------的值.

xx-3x"+6x+9

3.已知〃2+34+1=0,求

(1)a+~-⑵两!；

aa~

4.已知〃力,x,y是有理数，且,一4+（丁+。）2=0,

一―Pa~+〃y-Z?x+/ra~+ax-\-by-b~

求式子----------------+----------------的值.

x+ya+b

四.课堂检测:

r24-1*

1.化简，一X的结果为________

X"4~2x+1

X4-1X+3

2.若分式三!■子土二有意义，则x的取值范围是______

元+2x+4

3.有这样一道题：“计算,二2x+l+与j__x的值,其中x=2004甲同学把

x2-lx2+x

“x=2004”

错抄成“x=2040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？

z、5/2、4

4.计算，生一乙"_〃一）

\n）（m）

五.小结与反思：

16.2.2分式的加减（一）

学教目标：

1、经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理

2、会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力

3、不断与分数情形类比以加深对新知识的理解

学教重点：同分母分数的加减法

学教难点：通分后对分式的化简

学教关键点：找最简公分母

学教过程：

一、温故知新：阅读课本P|516

1.计算并回答下列问题

1234

①一+―+—+—=21

5555若3-3

2、同分母分数如何加减？____________________________________________

3、猜一猜，同分母的分式应该如何加减？（与同分母分数加减进行类比）

4、把你猜想的结论用数学符号表示出来_____________________________________

二、学教互动

例L计算：

2

,、ab~+2ab3天x+y

(1)+-------------\

a+ba+b2x-y2x-y点拨：

如果结果不是最简

2y_3y+l

例2.计算：(1)分式，怎么办？

x-]\—X

6x3x-8-x+6

(2)+-----------------------------

5x—77—5x7—5x1

三、拓宽延伸

1、填空题

八、3745a4/?

(1)———-4-—二•⑵-------------1----------------

2cl+3b—3b—2a

2、在下面的计算中，正确的是（）

A.—+——------------“20

2a2b2(Q+h)acac

c+111+—!—=o

C.D.

aaaa-bh-a

3、计算：

252+x—1

(1)(2)（3）.-a+b

xa+b

4..老师出了一道题“化简：三三+与土”

x+2x-4

(x+3)(x—2)x—2~Fx—6—x—2x2-8

小明的做法是：原式二

x2-4X2-4x2-4x2-4,

小凫的做法是：原式=(x+3)(x—2)+(2—=+工—6+2—x=%2—4；

口x+3x~2x+31x+3—11

小芳的做法是：原式=-------------------=------------=--------=1.

x+2(x+2)(x-2)x+2x+2x+2

其中正确的是（）

A.小明B.小亮C.小芳D.没有正确的

四、反馈检测：

22

1、化简」------J的结果是（)

y-xy-x

（A）-x-y（B）y-x(C)x-y(D)x+y

2、甲、乙2港分别位于长江的上、下游，相距skm,一艘游轮往返其间，如果游

轮在静水中的速度是akm/h,水流速度是bkm/h,那么该游轮往返2港的时间差

是多少？

5a+6b33-4。a+3b

3、计算:(1)----------F-----------------------

3a°be3ba2c3cba2

（2）---%2-x-l

x-1

五.小结与反思：

16.2.2分式的加减（二）

学教目标：

1、分式的加减法法则的应用。

2、经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理

3、结合已有的数学经验解决新问题，获的成就感。

学教重点：异分母分式的加减混合运算及其应用。

学教难点：化异分母分式为同分母分式的过程；

学教过程：

一、温故知新：

阅读课本P16

1、对比计算并回答下列问题

,,„111„21

计w算①一+一+—=②------=

23434

2.①、异分母的分数如何加减？②、类比分数，猜想异分母分式如何加减？

你能归纳出异分母分式加减法的法则吗？

3.什么是最简公分母？___________________________________________________

x—22元—3

下列分式二^的最简公分母为(

4.23)

U-1)'(1-X)X-1

A.(x-1)2B.(x-1)3C.(x-1)D.(x-1)2(1-x)

5.议一，议

有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.

小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变

成了同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。

,313x4aa12aa13。13

小明na：一+——=-----+------=―y+—7=-7=—

a4aa-4a4a-a4a~4a~4a4a

,占313x4112+113

a4aa-44a4a4a

你对这两种做法有何评判？与同伴交流。

发现：异分母的分式转化、同分母的分式

的加减通芬的加减

通分的关键是找最简公分母

二、学教互动：

例1计算：注意：分子相加减时，如果被减式分子是一个多项式，先用括号括起来，

再运算，可减少出现符号错误：分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式)。

(1)—(2)3+纥竺(3)—3-

三、拓展延伸

Q1〈

1、填空(1)上+=________(2)式子------+、的最简公分母_

x-yy-x4x2y6x

2mm-n

2、计算丁二-----二丁的结果是()

2m+nn+2m

ABCD

3.阅读下面题目的运算过程

x—32x—32(x—1)

x2-1-7+X~(x+l)(x-l)-(x+l)(x-l)①

=x—3-2(x—1)②

—x—3—2x+2③

=-x—1------------------------------

上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号.

(1)错误的原因...

(2)本题正确的结论.

注意：1、“减式”是多项式时要添括号！

2、结果不是最简分式的应通过约分化为最简分式或者整式。

112233

4、观察下列等式：=l—2x--2--,3x--3--,……

223344

(1)猜想并写出第n个等式；

(2)证明你写出的等式的正确性；

四、反馈检测：

1、下列各式中正确的是()

(A)阜*/c、Z?ab-a

(B)-----二------------

XXXabah

小、4尤4y,211

(C)----+-^-=4；(D)

x-yy-xX2-1-X^T-X+1

b2c小、21

2、计算⑴彳+%⑵+不

11-x6

(3)------1-----------；---(4)------—

x—36+2xx~—92x2y4y2

五.小结与反思：

16.2.2分式的加减(三)

学教目标：

1.灵活应用分式的加减法法则。

2会进行比较简单的分式加减乘除混合运算。

3.结合已有的数学经验解决新问题，获的成就感和克服困难的方法和勇气。

学教重点：分式的加减乘除混合运算及其应用。

学教难点：分式加减乘除混合运算。

学教过程：

一、温故知新：

阅读课本P|7-18

1.同分母的分式相加减：______________________________________________________

异分母的分式相加减：先，化为分式，然后再按同分母分式的

加减法法则进行计算。

分式加减的结果要化为

2.分数的混合运算顺序是：___________________________________________________

你能猜想出分式的混合运算顺序吗？试一试

分式的混合运算顺序是：______________________________________________________

二、学教互动：

13x

例1(1)---

6x-4y6x+4y4y2-9x2

I2a+\

⑵

a—1a~+ci—2

x+2x-1)+三

例2分式的混合运算:

x~-2xx"—4x+4x关键是要正确的使用相

应的运算法则和运算顺

三、拓展延伸1.计算

序；正确的使用运算律。

3a尽量简化运算过程；

(1)⑵

2y2y3x。+2a结果必须化为最简分式

混合运算的特点：

⑶一^8⑷邛是整式运算、因式分解、

ax-ayby-bxQ+3d+分式运算的综合运用，

综合性强。

x—3AB

2.若---------------------=----------1---------，求A、B的值.

(X+l)(x-1)x+1x—1

3..已知：“+匕+c=0,求。(』+,)+伏工+!)+乙(,+!)+3的值

bccaab

四、反馈检测

1、分式」一+―1—的计算结果是()

a+\。(〃+1)

。+1。+1aa

,1114nm

2.已知一+—=----求一+一的值.

mnm+nmn

3.填空

小1624

(1)y=_______;(2)—-------1---=_______

。+39—x+2%x—4

五.小结与反思：

16.2.2分式的混合运算(四)

学教目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.

学教重点：熟练地进行分式的混合运算.

学教难点：熟练地进行分式的混合运算.

学教过程

一、温故知新：(D说出有理数混合运算的顺序.

(2)分式的混合运算与有理数的混合运算顺序相同

1

计噂(1)(-I.1(2)(y丫/疔

计算：(1)(2)

分析：这两道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序:

先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是

最简分式.

X

(3)探究此题怎样计算：-——x+1(4)fl1^-―

X+1Vx+1)x+1

二、学教互动：计算

/、/x+2x—1、4—x

(1)---------)+——

x-2xx-4x+4x

［分析］这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“一”号提到

分式本身的前边).

242

(/八2)--%-----y-x-y--：----x----

'乙'x-yx+yx4-y4,2x+y2

［分析］这道题先做乘除，再做减法。［分析］先乘方再乘除，然后

加减。

三、拓展延伸：计算：

1X1a2

⑴-9-------------7------⑵a

x~—6x+99—2x+6a-1

四、反馈检测

小2。+3/?2bcr—9。-3

(1)------+----⑵

a-bb-a4一62。+4

?24

(3)匕一二(4)。+2+----

x+yx-ya-2

五小结与反思

16.2.3负整数指数鬲(-)

学教目标：

1.知道负整数指数幕。一"=々(aWO,n是正整数).

2.掌握负整数指数幕的运算性质.

学教重点：掌握整数指数幕的运算性质.

学教难点：灵活运用负整数指数幕的运算性质

学教过程：

一、温故知新：

1、正整数指数累的运算性质是什么？

(1)同底数的幕的乘法：

(2)塞的乘方：____________________________

(3)积的乘方：____________________________

(4)同底数的基的除法：

(5)商的乘方：____________________________

(6)0指数幕，即当aWO时，«°=1.

2、探索新知：

在a"'+a"中，当加=”时，产生0次累，即当aNO时，。。=1。那么当加＜〃时,

521

25

会出现怎样的情况呢？如计算：52+55=52-5=5-35^5=-?=^-

由此的出：5-3=*

“3〃31

3535235

当aWO时，a^-a=a~=a~a^a=—=—：-7=—由此的至U：

a'a'a

q1

a-=—(aNO)。

a~

因此规定负整数指数累的运算性质：当n是正整数时，an=—（a#0）.

an

即1纳米=*

如1纳米=10力米,米

填空：4-2=

(9=________,

(a反2)-2

fV3

计算:|-3|+2-1-2006°=

2

二、学教互动：（1）将（3*2*7丫・（2/。-2丫的结果写成只含有正整数指数幕的形

式一（分析：应用推广后的整数指数事的运算性质进行计算，与用正整数指数累的运

算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幕时，要写成分式形式）.

（2）用小数表示下列各数

⑴3.5x10-5(2)2-'x3+|-2|-f-1\0

7

三、拓展延伸:

1

选择：1、若a=—0.32,b=—3",c_口。

一可，d=3

A.a<b<c<dB.b<a<d<c

C.a<d<c<