数学史与数学教育教材

第一讲：数学的起源与早期发展数概念的形成:

大约300,000年前

一定物群之间的一一对应关系从计数到记数:

刻痕记数等(30000年前)

书写记数(5000年前)捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）甲骨文数字

(1600B.C.)形的抽象几何学的不同文化起源古代埃及—土地丈量古代中国—天文观测古代印度—宗教礼仪

河谷文明与数学的起源尼罗河两河流域—幼发拉底河与底格里斯河恒河与印度河长江与黄河

古埃及的数学非洲的尼罗河是世界上最长的河流之一．早在公元前3000年左右，在这条河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隶制国家，其地理位置与现在的埃及区别不大．打猎、渔业及畜牧业是古埃及人最初的谋生方式．一年一度的尼罗河的洪水给这片谷地带来了肥沃的淤泥，那些以游牧为生的古埃及人便在这里定居下来，由狩猎转向耕种．在发展农业的同时，手工业与贸易也随之迅速发展起来，这些都推动了自然科学各学科知识的积累．

法老时代的尼罗河流域图

作为世界七大奇迹之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔，大约建于公元前2500年左右．该金字塔呈正四棱锥形，底面正方形面向东西南北四个正方向，边长230.5m，塔高146.6m(现高约137m)．近年来，科学家们通过使用精密的仪器对这一金字塔进行了测量，惊奇地发现，其底基正方形边长的相对误差不超过1：14000，即不超过2cm；四底角的相对误差不超过1：27000，即不超过12″，四个方向的误差也仅在2′～5′之间，这些都说明当时的测量水平已相当高.

胡夫金字塔（公元前2500年左右）流传至今的古埃及文献，大部分是以僧侣文书写在纸草上保存下来的，人们通常称其为纸草书.保存至今有关数学的纸草书主要有两种，都是公元前2000年前后的作品。

一种是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸草书，这是由英国人兰德1858年搜集到的；兰德纸草书长544cm,宽33cm,共载有85个问题。

另一种收藏于俄国莫斯科美术博物馆，被称为莫斯科纸草书，这是由俄罗斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的.莫斯科纸草书长544cm,宽8cm，共载有25个问题.莱茵德纸草书(1650B.C.)

大英博物馆莫斯科纸草书(1890B.C.)莫斯科普希金博物馆罗赛塔石碑

(1799发现)1799年，拿破仑远征军的士兵在距离亚历山大城不远的记述的古港口罗赛塔地方发现一块石碑，碑上刻有三种文字——希腊文、埃及僧侣文和象形文记述的同一铭文。19世纪初，法国文字学家商博良和英国物理学家托马斯·杨

利用这块碑文，破译了古埃及文字。古埃及人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号.在当一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，即遵守加法的法则。古埃及的记数制与算术古埃及人已有了分数的概念，但他们仅使用单位分数也就是分子为1的分数。在整数上方简单地画一个长椭圆，就表示该整数的倒数。只有2/3是一个例外.

1/7:

2/3:古埃及的记数制与算术古埃及人的乘法运算与除法运算是通过叠加来进行的．例如计算：26×33．他们先将33的倍数列表，然后从左边一列中选取出和为26的数2，8和16，再将右边一列中它们各自对应的数相加，即将66，264，528相加得到858即为所求．又如计算：19÷8．他们将8的倍数与部分列表，再从右边一列中选取出其和为19的16，2，1这三个数，并将其对应的左边一列中的三个数2，1/4,1/8相加即为所求。古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，其解法是试位法．例如对于方程

，先给

选定一个数值，譬如说7，于是

，而不是24，因为8必须乘以3才是24，故

的正确的值一定是7乘以3即21．古埃及人还用它来解二次甚至更高次的方程．例如在卡洪(Kahun)发现的一份大约是公元前1950年的纸草书中记载了下列问题：将给定的100单位的面积分为两个正方形，使二者的边长之比为4:3．设此二正方形的边长分别为

，且

，由题设

首先取,则

，

此时

而不是100，因此

的取值需修正．事实上，只需将原数值加倍，即可得方程的解

古埃及的代数在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载．如兰德纸草书中有这样一个问题：今将10斗麦子分给10个人，每人依次递降l／8斗，问各得多少?这是已知一个等差数列的前若干项和、项数以及公差求其各项的问题．

兰德纸草书中给出一个阶梯图形(如图)，对此，数学史家康托尔是这样解释的：在一个人的财产中，有七间房子，每间房子里七只猫，每只猫能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麦，而每穗大麦又能长出七俄斗大麦，问这份财产中房子、猫、老鼠、麦穗和麦子总共有多少?按照这样的解释，显然是一个公比为7的等比数列求和问题，阶梯图形给出的是这个数列中的各项．古埃及人在建筑规模宏大的教堂、金字塔和修建复杂的灌溉系统时，都需要测量；尼罗河水泛滥后冲刷去了许多边界标记，洪水退后也需要重新勘测土地的界线;……所有这一切，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景．因此，古埃及人的几何学知识较为丰富.

在上述两种纸草书的110个问题中，有26个是几何问题，其中大部分是计算土地的面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关．例如，古埃及人知道，任何三角形的面积均为底与高的乘积的一半；圆的面积等于直径的8/9的平方，由此可知，他们把圆周率近似地取为3.16；直圆柱的体积为底面积与高的乘积．古埃及的几何学在兰德纸草书中有这样一个问题：“已知金字塔的陡度为每肘五手又一指(一肘为七手，一手为五指)，底面边长为140肘，求其高．”在莫斯科纸草书中还有这样一个问题：“如果告诉你一个截顶金字塔的垂直高度为6，底边为4，顶边为2，求其体积．”

古埃及人的算法是：4的平方为16，4的二倍为8，2的平方是4，把16，8和4相加得28，取6的三分之一为2，取28的二倍为56，则它的体积就是这个数．由此我们可以看出，古埃及人是通过具体问题说明了高为h、底边长为a和b的正四棱台的体积公式是

古巴比伦，又称美索波达米亚，位于亚洲西部的幼发拉底与底格里斯两河流域，大体上相当于今天的伊拉克。大约是在公元前3000年左右，古巴比伦人在这里建立起了自己的奴隶制王国。在过去相当长的一段时间内，人们对于古巴比伦数学的认识是通过古希腊文化中的零星资料得到的。19世纪后期，考古学家开始发掘美索波达米亚遗址。在发掘的过程中，人们发现了数以万计的不同时期的泥板，它们是用胶泥制成的。一块完整的泥板与手掌的大小差不多，上面写有符号。这种符号是用断面呈三角形的尖棍刻写的，呈楔形，故人们称之为楔形文字。古巴比伦的数学普林顿322号泥板书(1600B.C.)古巴比伦人很早就有了数的写法，他们用楔形文字中较小（竖写）

的

代表1，较大的（竖写）

代表60.由此可知，古巴比伦人的记数系统是60进制.他们还用较小的（横写）

代表10，较大的（横写）

代表100.

古巴比伦人也使用分数，他们总是用60作分母，例如

作为分数来记时可以表示20/60，而

作为分数来记时可以表示21/60=20/60+1/60.因此,古巴比伦人的分数系统是不成熟的.古巴比伦的记数制与算术与古埃及人相仿，古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的.在已发现的泥板书中，大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表.倒数表用于把除法转化为乘法进行，指数表和插值法一起用来解决复利问题的.例如，设有本金为1，利率为20%，问需要多久即可使利息与本金相等.这需要求解指数方程由指数表，古巴比伦人首先确定出

的取值范围是：

然后使用一次插入法求出4与

的差，相当于：

故得(年)．

在公元前2000年前后，古巴比伦数学己出现了用文字叙述的代数问题．如英国大不列颠博物馆13901号泥板记载了这样一个问题：“我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二得,求该正方形的边长．”这个问题相当于求解方程该泥板上给出的解法是：1的三分之二是，其一半是,将它自乘得,并把它加到

上得，其平方根是，再从中减去

的一半得，于是

就是所求正方形的边长。古巴比伦的代数这一解法相当于将方程

的系数代入公式

求解，只不过在计算时用的是60进制．又如，已知两个正方形的面积之和为1000，其中一个正方形的边长为另一个正方形的边长的

减去10，求这两个正方形的边长．设较大的正方形的边长为

，则另一正方形的边长为

，故只需解二次方程古巴比伦人将这一解法所需的步骤简单地叙述为“平方10，得100；1000减去100，就得900，开平方得30”，求得该正方形的边长为30，另一个正方形边长为10．这就是说，古巴比伦人那时可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式．由于他们没有负数的概念，二次方程的负根不予考虑．至于他们是如何得到上述这些解法的，泥板书上没有具体说明．他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法．在一块泥板上，他们给出这样的数表，它不仅包含了从1到30的整数的平方和立方，还包含这个范围内的整数组合

，专家经研究认为，这个数表是用来解决形如

的三次方程的．

此外，在洛佛尔博物馆的一块泥板上，人们还发现了两个级数问题．用现代形式可表述为最令人感兴趣的是哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板，该泥板已缺损了一部分，在残留的部分上刻有三列数，专家研究认为：这是一张勾股数(即

的整数解)表，并且极有可能用到了下列参数式：

这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就．在古巴比伦人的心目中，几何是不重要的，因为实际中的几何问题都很容易转化为代数问题．他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的．例如古巴比伦人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了长方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面积的计算．他们还掌握了长方体以及特殊梯形为底的直棱柱体积计算的一般规则，他们知道取直径的三倍为圆周的长，取圆周平方的1/12为圆的面积，还用底和高相乘求得直圆柱的体积．在泥板中有足够的证据表明，古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领.但他们错误地认为，圆台或棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积．这一事实表明，古巴比伦的计算方法还是经验型的，这些结果都没有经过证明．古巴比伦的几何在公元前5000年到公元前4000年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法，他们的年历是从春分开始的，一年有12个月，第一个月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13个月作为闰月．一个星期有7天，这7天是以太阳、月亮和金、木、水、火、土七星来命名的，每个星神主管一天，如太阳神主管星期日．因此，所谓“星期”也就是指星的日期，我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代所创立的，这种表示方法在今天的英语单词中还能找到一些痕迹．此外，圆周分为360度，每度60分，每分60秒，1小时60分，1分60秒的记法，也是来自古巴比伦．古巴比伦的天文学小结

古代美索不达米亚数学与埃及数学主要是解决各类具体问题的实用知识，处于原始算法积累时期。几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。埃及纸草书和巴比伦泥版文书中汇集的各种几何图形面积、体积的计算法则，本质上属于算术的应用。古代实用算法积累到一定阶段，对它们进行系统整理与理论概括必然形成趋势，但这一任务并不是由早期河谷文明本身来担当的。向理论数学的过渡，是大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的，历史学家常称之为“海洋文明”，带来了初等数学的第一个黄金时代，即以论证几何为主的希腊数学时代。印度数学

地处恒河流域的印度与古巴比伦、埃及和中国一样，也是人类文明的发样地之一。印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化。大约在5000年前印度人就兴建起了具有相当规模的城市与宫殿，并且有了书写、计算和度量衡的体系。由于印度以农业为经济来源，很早就开始观察星象，编造历书，因而带动了数学研究。另外，印度是一个宗教盛行的国家，释迦牟尼创建的佛教曾流传到中国等地，这一教派的“绳法经”在科学文化方面有较高的水平，也是在数学史上有意义的为数不多的宗教作品之一。公元3世纪至12世纪是印度数学的繁荣时期，而其繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学家兼数学家。他们主要是：

阿耶波多

婆罗门笈多

摩诃毗罗

婆什迦罗阿耶波多写了一部关于天文学的著作《阿耶波多文集》，其中有一章专讲数学，介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题，他得出了圆周率为3.1416的较精确的近似值。婆罗门笈多30岁时写成一部重要著作《婆罗门修正体系》，包括“算术讲义”、“不定方程讲义”等章，其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容，并讨论了二次方程，线性方程组及一次和二次不定方程的解法。他还利用内插公式造了一张正弦表，其著作曾译成阿拉伯文，对伊斯兰教国家的数学和天文学都产生过重大影响。

摩诃毗罗著有《数学九章》一书，其内容主要是算术运算、开平方和开立方、二次方程及组合问题，也讲到解二次不定方程等。

婆什迦罗著有《丽罗娃提》和《算法本原》。这两部著作除了整理前人的成果之外还论述了有理数的四则运算、线性方程组和不定方程。他指出二次方程有两个根，并对形如

的二次不定方程提出解法。他的著作还被译成波斯文，影响很大。

在印度数学中最值得称道的是印度数码和10进位值制记数法。人们所说的“阿拉伯数码”实际上最早是由印度人发明的，这是他们对数学乃至整个人类文化的重要贡献．印度数码的完善是经历了漫长的发展过程．印度的算术印度古代数码字的演变印度人也很早就引进了负数．婆罗门笈多在628年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则．婆什伽罗在《根的计算》中又进一步讨论了负数，他把负数叫做“负债”或“损失”，并用在数码上加一点表示负数，在数码的右下方加一点表示减号，例如

(用现代数码表示)即－3－2＝5；

即3－(－2)＝5．不过，当一个问题得出正负两个解的时候，他会解释说：“负数解不合适，因为人们不赞成负数，故应舍弃．”印度人分数的概念也是较早的，除了在天文学中的分数仍沿用巴比伦的60进制记号外，他们在其他场合都用整数之比表示分数．他们会对分数进行四则运算，在分数相加减时取分母的乘积为公分母而不求它们的最小公倍数．在著名的巴克沙里手稿中，印度人将分子记在分母之上，无分数线分隔．在带分数的情形，则把整数部分写在分子之上．例如：开平方和开立方的方法最早见于阿耶波多的著作．当开方不尽时，他们用近似值表示，如巴克沙里手稿中取

他们还给出了相当于婆什伽罗“按照整数那样”对无理数进行运算，并给出具体的运算法则．在阿耶波多的著作中还给出了一些级数求和公式，

例如遗憾的是，我们还不能搞清楚他们是如何得到这些计算公式的。

印度数学家使用缩写文字和记号来记述代数方程，有时也用于其他场合．他们使用符号的程度大体上要比丢番图的简写代数稍有进步，不过两者使用的符号是完全不同的．例如婆什伽罗使用“yavat-tavat”(那么多)的前两个字母“ya”表示未知数，在含有多个未知数的场合，再使用表示颜色的词，如用calaca(黑)，nilaca(蓝)，pitaca(黄)，lohitaca(红)，haritaca(绿)等的前两个字母表示其他未知数．不过，不同数学家使用的符号也不尽相同．

印度的代数印度数学家常用假设法作为解方