数学史第二节课教材

中外数学发展史上海市市东中学杨锋第二讲古埃及、美索不达米亚1一、古埃及数学

埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200年左右，形成一个统一的国家。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。2公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小；胡夫金子塔底周长与高之比为2等等。3研究埃及数学的依据古埃及人创造出了几套文字，其中一套是象形文字．“象形文字”这个词源于希腊文，意思是神圣的文字．直到基督降生的年代，埃及在纪念碑文和器皿上还刻有象形文字．自公元前2500年左右起，开始使用象形文字的缩写，称作僧侣文(hieraticwriting)．4

现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书（见上右彩图）；一卷藏在伦敦，叫做兰德纸草书，一卷藏在莫斯科。埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。51．兰德纸草书埃及的数学原典就是由象形文字书写而成，其中，对考察古埃及数学有重要价值的是“兰德纸草书”，这部纸草书是在埃及古都---底比斯(Thebes)的废墟中发现的．1858年由兰德(A．H．Rhind)购买，尔后，遗赠给伦敦大英博物馆．因此，叫做兰德纸草书．这种纸草书长约550厘米、宽33厘米，摹本出版于1898年．这部纸草书是根据底比斯人统治埃及时(约公元前1800年以后)写成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾写道，此书是根据埃及王国时代(公元前2000---前1800)的材料写成的．6这部纸草书的出现，对埃及的文化产生了重要影响，对数学的发展和传播起到了一定的作用．全书分成三部分，一是算术；二是几何；三是杂题．共有85题．记载着埃及人在生产、生活中遇到的实际问题．例如，对劳动者酬金的分配；面积和体积的计算；不同谷物量的换算等等．其中，也含有纯数学知识问题．例如，分数的难题计算等等．72．莫斯科纸草书记载着古埃及数学的另一部古典书籍是莫斯科纸草书，此书是由俄罗斯收藏者于1893年获得，约20年后，即1912年转藏于莫斯科图书馆．这部纸草书长约550厘米、宽8厘米，共记载着25个问题．由于卷首遗失，书名无法考证．总之，研究埃及数学主要是依据如上两部书，当然，也可能还有其它的有关资料，有待于进一步发现与考证．8埃及数学的主要内容

根据埃及纸草书的记载，古埃及人对算术、代数、几何等数学知识已经有了初步认识，并能做简单地应用．现简要介绍如下：9一、算术古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处，具有简单而又纯朴的风格，并且使用了十进位制．古埃及人是用象形文字来表示数的，例如10根据史料记载，上述象形文字似乎只限于表示107以前数．由于是用象形文字表示数，进行相加运算是很麻烦的，必须要数“个位数”、“十位数”、“百位数”的个数．但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算过程比较简便．11乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加．例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着12×12的计算方法，是从右往左读的．右边用现代数字表示，这就是倍增法(duplatio)．12随着分数范围的不断扩大，计算方法的不断改进，埃及人用“单位分数”(分子是1的分数)来表示分数：对一般分数则拆成“单位分数”表示①．例如，(用现代符号表示)13二、代数在兰德纸草书中，因为求含一个未知量的方程解法在埃及语中发“哈喔”(hau)音，故称其为“阿哈算法”．“阿哈算法”实际上是求解一元一次方程式的方法．兰德纸草书第26题则是简单一例．用现代语言表达为：

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埃及人对“级数”也有了简单的认识，在纸草书中，用象形文字写出一列数7，49，343，2401，16807，并与之对应一列词：“图画”，“猫”，“老鼠”，“大麦”，“容器”，最后，给出和数为19607．实际上，这是公比为7的等比数列．对此，有的数学史家解释为：“有7个人，每人有7只猫，每只猫能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麦，每穗大麦种植后可以长出7容器大麦．”从这个题目中，可以写出怎样的一列数，它们的和是多少？这种题目就涉及到求数列和的问题．15三、几何埃及人创建的几何以适用工具为特征，以求面积和体积为具体内容．他们曾提出计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、建筑中所用石料和其它材料多寡等法则．埃及人能应用正确的公式来计算三角形、长方形、梯形的面积．把三角形底边二等分，乘以高；同样，把梯形两平行边之和二等分，乘以高分别作为三角形和梯形的面积．另外，埃及人还能对不同的面积单位进行互相换算．16在埃及埃特夫街的赫尔斯神殿的文书中，记载着很多关于三角形和四边形面积计算问题，如图1．1．但是，他们把四边形二对边之和的一半与另二对边和的一半之积作为其面积，这显然是不对的，只是长方形时，这才是正确的计算公式．17埃及人曾采用s＝(8d/9)2(其中s是圆的面积、d是圆的直径)来计算圆的面积．由此得到：能把π值精确到小数点后一位，在那个时代，应该说是一件了不起的事，巴比伦人在数学高度发展时期，还常常取π＝3．18

在计算体积方面，经考察兰德等纸草书发现，埃及人已经知道立方体、柱体等一些简单图形体积的计算方法，并指出立方体、直棱柱、圆柱的体积公式为“底面积乘以高”．

19有材料证实，在埃及几何中，最突出的一项工作是发现截棱锥体的体积公式，(锥体的底是正方形)，此公式若用现代数学符号表示为：

其中h是高，a和b是下、上底的边长．20埃及文明在历史王朝更迭中表现出一种静止的特征，这种静止特征也反映在埃及数学上的发展上。兰德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化。加法运算和单位分数始终是埃及算数的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复。古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似关系往往不作明确区分，这又使他们的实用几何带上了粗糙的色彩。这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展。公元前4世纪希腊人征服埃及之后，这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。21二、美索不达米亚数学

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西亚美索不达米亚地区（即底格里斯河与幼发拉底河流域）是人类早期文明发祥地之一。一般称公元前19世纪至公元前6世纪间该地区的文化为巴比伦文化,相应的数学属巴比伦数学。这一地区的数学传统上溯至约公元前二千年的苏美尔文化,后续至公元1世纪基督教创始时期。24

大约在公元前1800年前，在两河流域建立了巴比伦王国Babylonia)，首都巴比伦(Babylon)是今日伊拉克的一部分，位于巴格达南面约100公里．大约在公元前4000年左右，苏默人(Sumerians)开始在两河流域(古代称美索波达米亚Mesopotamia)定居，大约在公元前3000年创造了自己的文化．到了公元前1700年左右，在汉穆拉比(Hammurabi)王统治期间国势强盛，文化得到了高度发展，以制定一部法典而垂名后世．25

古代巴比伦人是用祖传的泥板书记载数学内容的，然而，保存下来的泥板书却没有埃及纸草书那样多．可能是因为泥板书靠太阳或火烧烘干，遇到风吹雨淋，难于保存原样．另外，巴比伦人的书写字迹也阻碍了长篇论著的编撰．26对巴比伦数学的了解，依据于19世纪初考古发掘出的楔形文字泥板,有约300块是纯数学内容的，其中约200块是各种数表,包括乘法表、倒数表、平方和立方表等。27在巴比伦泥板书中，引人注目的是普林顿322号．这是哥伦比亚大学普林顿(G．A．Plimpton)收集馆的第322号收藏品．此泥板书是在公元前1900年至前1600年间用古巴比伦字体写的．28普林顿322号是保存下来的一块残缺不全的泥板书，但仍然保存着大体形状，只是左边掉下一块，靠右边中间部分也有一个很深的洞，左上角也脱落了一片，但可以清楚地看到，有三列比较完整的数字，不妨用现代符号(10进位)表出，如图2.1．29经过对图表的认真分析，就会发现：两列中的对应数字(除了4个例外)构成一个边长为整数的直角三角形的斜边和一个直角边．现在人们把象(3，4，5)这样的，能组成直角三角形三条边的一组正整数称为毕氏三数(Pythagoreantriple)．在这样一组数中，若除1以外，没有其它因子，就称它为素毕氏三数．30记数法与进位制一百多年前，人们发现巴比伦人是用楔形文字(Cuneiform)来记数的．他们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚如石，以便保存下来进行数学知识交流．由于字的形状象楔子，所以人们称为楔形文字．31

大约在公元前1800～前1600年间，巴比伦人已使用较系统的以60为基数的数系（包括60进制小数）。对小于60的整数，使用1(▼)和10(

)两种记号表示，如25=2(10)+5=；对大于60的数,用位置制记数法,如

524551=2(60)3+25(60)2+42(60)+31=

由于没有表示零的记号，这种记数法是不完善的。

32巴比伦人的代数知识相当丰富,主要用文字表达,偶尔使用记号表示未知量。有一道最古老的问题是:已知正方形面积与边长的差为14；30〔60进位制数,即14(60)+30=870〕,求正方形边长。

这相当于求解方程x2-px＝q（此时p＝1，q＝870）。巴比伦人的解法是依次计算

,得到解为30。

33这与现代用公式解这类方程的过程一致（但他们尚无负数概念，解方程只求正根）。在公元前1600年前的一块泥板上,记录了许多组毕达哥拉斯三元数组(即勾股数组，（见彩图）。巴比伦人还讨论了某些三次方程和可化为二次方程的四次方程。

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巴比伦的几何属于实用性质的几何，多采用代数方法求解。他们有三角形相似及对应边成比例的知识。用公式

(с为圆的周长)求圆面积,相当于取π=3。在一块约公元前1600年的泥板上,记有的近似值

1+24/60+51/602+10/603=1